Ortogonalne matrice

Pogledajmo kako djeluje ortogonalna matrica $Q$ na prostoru ${\cal R}_{n}.$ Iz

$$Q\boldsymbol{x}\cdot Q\boldsymbol{y}= (Q\boldsymbol{x})^T\,Q\bold... ...dsymbol{y}= \boldsymbol{x}^T\,\boldsymbol{y}= \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}$$

slijedi da $Q$ čuva skalarni produkt. Ako stavimo $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x},$ dobivamo

$$Q\,\boldsymbol{x}\cdot Q\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x},$$

odakle

$$\Vert Q\boldsymbol{x}\Vert=\Vert\boldsymbol{x}\Vert,$$

tj. ortogonalna matrica čuva duljinu vektora. Također

$$\cos\angle(Q\boldsymbol{x},Q\boldsymbol{y})=\frac{Q\boldsymbol{x}... ...l{x}\Vert\,\Vert\boldsymbol{y}\Vert}=\cos\angle(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),$$

pa prema tome ortogonalna matrica čuva i kuteve do na predznak, jer je kosinus kao parna funkcija neosjetljiv na predznak.

Budući da je $Q^TQ=I,$ ortogonalna matrica je regularna i $Q^{-1}=Q^T.$ Nadalje, iz svojstava determinante (Binet-Cauchyjevog teorema) slijedi

$$\det (Q^TQ)=\det Q^T\,\det Q=(\det Q)^2=\det I=1.$$

Prema tome je $\det Q=\pm 1.$