Hamilton-Cayleyev teorem za simetrične matrice.

Dijagonalizacija simetrične matrice nam omogućava da teorem 8 dokažemo za simetrične matrice elegantno.

Uočimo najprije da je

$$A=X\,[\lambda_j\, \delta_{ij}]\,X^{... ... & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{array}\right]\,X^{-1}.$$

Odatle

$$A^2=X\,\left[\begin{array}{cccc} \l... ... & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{array}\right]\,X^{-1}=$$

$$= X\,\left[\begin{array}{cccc} \lam... ... \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^2 \end{array}\right]\,X^{-1}.$$

Indukcijom se može dokazati da općenito vrijedi

$$A^k= X\,\left[\begin{array}{cccc} ... ... \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^k \end{array}\right]\,X^{-1},$$   za $$k=1,2,\ldots\,.$$

Prema tome i za proizvoljni polinom $p$ vrijedi

$$p(A)= X\,\left[\begin{array}{cccc} ... ...\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & p(\lambda_n) \end{array}\right]\,X^{-1}.$$

Neka je sada $p_A$ karakteristični polinom matrice $A.$ Budući da su $\lambda_1,$ $\lambda_2,$ $\ldots,$ $\lambda_n,$ vlastite vrijednosti matrice $A,$ slijedi $p_A(\lambda_i) = 0$ za svaki $i.$ U tom slučaju je dijagonalna matrica na desnoj strani nulmatrica, pa je

$$p_A(A) = O.$$