U općem slučaju se može dogoditi da neke vlastite vrijednosti budu višestruke. Razmotrimo sljedeći primjer.
Rješenje. Vlastite vrijednosti su
Za imamo vlastiti vektor
Za
imamo (iz (1.5))
0 | 0 | ||
0 | |||
Formula (1.6) se može shvatiti kao parametarske jednadžbe ravnine u prostoru, koja prolazi ishodištem i razapeta je vektorima
Na slici 1.17 je šatirana ravnina u kojoj je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću i također je povučen pravac na kojem je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću
Općenito se događa sljedeće. -struka vlastita vrijednost simetrične matrice vodi na sustav jednadžbi koji ima beskonačno mnogo rješenja određenih pomoću parametara. Izborom ovih parametara tako da jedan bude a ostali dobivamo linearno nezavisnih vektora. Ako tako napravimo za svaku višestruku vlastitu vrijednost, i dodamo vlastite vektore koji pripadaju jednostrukim vlastitim vrijednostima, dobit ćemo linearno nezavisnih vlastitih vektora simetrične matrice Od njih kao stupaca formiramo matricu Ona je regularna, i vrijedi
Ako među matricama sličnim matrici postoji dijagonalna, onda kažemo da se matrica može dijagonalizirati. Dijagonalizacija matrice je postupak nalaženja one regularne matrice koja ima svojstvo da je dijagonalna matrica.
U skladu s ovom definicijom, možemo zaključiti da se proizvoljna simetrična matrica može dijagonalizirati. U slučaju kad su vlastite vrijednosti međusobno različite, dijagonalizacija se vrši pomoću matrice čiji su stupci međusobno okomiti vlastiti vektori matrice
No, i u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti matrica se
može izabrati tako da su joj stupci međusobno okomiti. Doista, ako
su
linearno nezavisni vlastiti vektori, onda su vektori
dobiveni po formulama
Ideja Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije je jednostavna i prirodna. Prvi vektor ostavimo na miru. Njime je određen pravac. Drugi vektor projiciramo ortogonalno na taj pravac, i zatim tu projekciju odbijemo od drugog vektora. Time naravno dobivamo vektor koji je okomit na vektor na koji smo projicirali (sl. 1.18). S tako dobivenim vektorima razapnemo ravninu. Treći vektor projiciramo ortogonalno na tu ravninu, i odbijemo projekciju od njega. Time smo dobili vektor okomit na ravninu (sl. 1.19), itd.
Ako međusobno okomite vlastite vektore normiramo (podijelimo s njihovom duljinom), onda matrica čiji su stupci vektori postaje ortogonalna. U tom slučaju je pa je