Next: Dijagonalizacija simetrične matrice
Up: Problem vlastitih ...
Previous: Problem vlastitih ...
  Sadržaj
  Indeks
Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori
Definicija 13
Neka je
kvadratna matrica reda
Za broj
kažemo da
je
vlastita (svojstvena) vrijednost
matrice
a za vektor
kažemo da je
vlastiti (svojstveni)
vektor matrice
ako vrijedi
Skup svih vlastitih vrijednosti matrice se zove spektar matrice
Na slici 1.15 je prikazano nekoliko vektora i njihovih slika
dobivenih djelovanjem matrice
Uočite razliku između djelovanja na vektore
i na ostale vektore. Slike vektora
i
su ostale na pravcima
određenim s tim vektorima (original i slika su kolinearni), dok druge
vektore matrica zakreće.
Slika 1.15:
Djelovanje matrice drugog reda na vektore u ravnini.
|
Neka je
Tada je
također
Dakle, ako je
vlastiti vektor za vlastitu vrijednost
onda je i svaki s njim kolinearan vektor također vlastiti
vektor koji pripada istoj vlastitoj vrijednosti. (Na slici
1.15 su crticama označeni pravci čija svaka točka
predstavlja vrh nekog vlastitog vektora. Na jednom pravcu leže
vlastiti vektori koji pripadaju vlastitoj vrijednosti a na drugom
oni koji pripadaju vlastitoj vrijednosti )
Jednadžba
se može
drukčije napisati kao
Da se nađe
vlastiti vektor, potrebno je riješiti ovu matričnu jednadžbu. Ako
je
i
ta jednadžba se može
napisati kao sustav linearnih algebarskih jednadžbi
Ovo je homogen sustav i on ima netrivijalno
rješenje, ako i samo ako je determinanta sustava jednaka nuli. Dakle,
Ako raspišemo ovu determinantu i jednadžbu pomnožimo s
dobivamo algebarsku jednadžbu -tog reda
Ova jednadžba se zove karakteristična jednadžba matrice Polinom na
lijevoj strani se zove karakteristični polinom
matrice Pri tom je
Poznato je da algebarska jednadžba -tog reda ima općenito
kompleksnih rješenja, računajući njihovu kratnost. Ta rješenja su
vlastite vrijednosti.
Uvrštavanjem pojedinog rješenja u gornji homogeni sustav,
dobivamo sustav jednadžbi koji, zbog toga što je homogen i što je
determinanta jednaka nuli, ima beskonačno mnogo rješenja. To je u
skladu s činjenicom da je svaki vektor, kolinearan s vlastitim
vektorom, također vlastiti. Budući da vlastite vrijednosti mogu biti
kompleksni brojevi, kao rješenja tog sustava možemo dobiti
vektore čije su komponente kompleksni brojevi. Nas će prvenstveno
interesirati slučaj kada su vlastite vrijednosti i vlastiti vektori
realni.
Primjer 1.24
Nađimo vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice
Rješenje. Karakteristična jednadžba je
Vlastite vrijednosti su dakle
Za
pripadni vlastiti vektor dobivamo (iz
(1.5)) kao rješenje sustava
Iz druge jednadžbe imamo
Uvrstimo u treću i dobivamo
Tako je vlastiti vektor
Za
imamo sustav
Rješenja su
pa je vlastiti vektor
Za
imamo sustav
Rješenja su
pa je vlastiti vektor
Na slici
1.16 se vide vlastiti vektori i njihove slike.
Slika 1.16:
Vlastiti vektori i njihove slike (različite vlastite vrijednosti).
|
Prvi vektor je preslikan u samog sebe. Isto se događa sa svakim
drugim radijvektorom, kolinearnim s prvim
vektorom. Drugi se preslika u sebi suprotan, što se događa i sa
svakim s njim kolinearnim radijvektorom. Treći se preslika u
dvostruko dulji (rastegne se), što se događa i sa svakim s njim
kolinearnim radijvektorom. Vektor koji ne leži niti na jednom od
pravaca određenih ovim vektorima, biva preslikan u vektor koji
nije kolinearan sa svojim originalom.
Teorem 8
(Hamilton-Cayley)
Ako je polinom
karakteristični polinom matrice
onda je
tj.
Dokaz.
Next: Dijagonalizacija simetrične matrice
Up: Problem vlastitih ...
Previous: Problem vlastitih ...
  Sadržaj
  Indeks
2001-10-26