Dijagonalizacija simetrične matrice. Različite vlastite vrijednosti.

Neka je $A\in{\cal M}_{n}$ simetrična matrica, i neka su njezine vlastite vrijednosti $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,$ međusobno različite. Tada $A$ ima $n$ međusobno okomitih vlastitih vektora $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n,$ i vrijedi

$$A\,\boldsymbol{x}_j = \lambda_j\,\boldsymbol{x}_j,\hspace{1cm}j=1,2,\ldots, n.$$

Neka je

$$\boldsymbol{x}_j = [x_{ij}] = \left[... ... x_{2j} \\ \vdots \\ x_{nj}\end{array} \right], \hspace{1cm}j=1,2,\ldots, n,$$

i neka je $X=[x_{ij}]$ matrica, čiji su stupci vektori $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n$

$$X = \left[\begin{array}{cccc} x_{11}... ...ts & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \end{array}\right].$$

Budući da su njezini stupci međusobno okomiti vektori, različiti od nulvektora, oni su linearno nezavisni, i prema tome je matrica $X$ regularna.

Imamo

$$A\,X=A\, \left[\begin{array}{cccc} ... ...}_1 & A\,\boldsymbol{x}_2 & \ldots & A\, \boldsymbol{x}_n \end{array} \right]=$$

$$\left[\begin{array}{cccc} \lambda_1... ..., x_{ij}]= [x_{ij}]\, [\lambda_j\,\delta_{ij}]= X\, [\lambda_j\,\delta_{ij}].$$

Matrica $[\lambda_j\,\delta_{ij}]$ je dijagonalna s vlasitim vrijednostima matrice $A$ na glavnoj dijagonali. Ako ovu jednadžbu pomnožimo s lijeva s $X^{-1},$ dobivamo

$$X^{-1}A\,X=[\lambda_j\, \delta_{ij}... ...& \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{array}\right].$$