Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori ortogonalnih matrica

Neka je $\lambda$ vlastita vrijednost, a $\boldsymbol{x}$ pripadni vlastiti vektor ortogonalne matrice $Q.$ Tada je

$$Q\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$$

Konjugirajmo ovu jednakost

$$Q\,\bar{\boldsymbol{x}}=\bar{\lambda}\,\bar{\boldsymbol{x}}.$$

Zbog svojstva ortogonalnih matrica,

$$Q\,\boldsymbol{x}\cdot Q\,\bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

$$\lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\lambda}\,\bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

$$\vert\lambda\vert^2\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

$$\left(\vert\lambda\vert^2-1\right)\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}=0.$$

Budući da je

$$\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}\neq 0,$$

slijedi $\vert\lambda\vert^2=1,$ tj. kompleksan broj $\lambda$ se nalazi na jediničnoj kružnici u Gaussovoj ravnini. Specijalno, ako je $\lambda$ realan broj, onda je $\lambda=1$ ili $\lambda=-1.$

Pogledajmo sada što se može reći o ortogonalnim matricama drugog i trećeg reda i o preslikavanjima koja one predstavljaju.