Ortogonalne matrice drugog reda

Ortogonalne matrice drugog reda možemo shvatiti kao funkcije (linearne operatore) koje preslikavaju ${\cal R}_{2}$ u ${\cal R}_{2}.$ Neka je

$$Q=\left[ \begin{array}{cc} q_{11} & q_{12} \\ q_{21} & q_{22} \end{array} \right]$$

proizvoljna ortogonalna matrica drugog reda. Ona preslikava kanonsku bazu u svoje stupce.

$$\left[ \begin{array}{cc} q_{11} & q... ...{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} q_{12} \\ q_{22} \end{array} \right]$$

Prema tome stupci su međusobno okomiti, i njihova duljina jednaka je $1,$ pa se pripadne točke nalaze na jediničnoj kružnici.

Uočimo prvi od njih. Prema upravo rečenom, postoji $\varphi\in \mathbb{R}$ takav da je

$$q_{11}=\cos \varphi,\hspace{1cm} q_{21}=\sin \varphi.$$

Slika 1.20: Djelovanje ortogonalne matrice u ravnini.

Budući da je drugi stupac okomit na prvi, pripadna točka se nalazi na jediničnoj kružnici na pravcu okomitom na radijvektor koji pripada prvom stupcu. Takvih točaka imamo dvije, kao što se vidi na sl. 1.20.