2. slučaj.

Ako je samo jedna realna vlastita vrijednost, onda postoji vektor $\boldsymbol{x}\in {\cal R}_{3}$ takav da je

$$Q\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x},\hspace{.5cm}{\rm ili}\hspace{.5cm}Q\,\boldsymbol{x}=-\boldsymbol{x}.$$

Neka je $\boldsymbol{y}$ okomit na $\boldsymbol{x}.$ Tada

$$Q\,\boldsymbol{x}\cdot Q\,\boldsymbol{y}= \pm\boldsymbol{x}\cdot Q\,\boldsymbol{y}= \pm\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}= 0,$$

pa se vidi da matrica $Q$ preslikava vektore koji su okomiti na $\boldsymbol{x}$ u vektore koji su i dalje okomiti na $\boldsymbol{x}.$ To znači da točke u ravnini kroz ishodište okomitoj na pravac kroz radijvektor pridružen vektoru $\boldsymbol{x}$ ostaju nakon preslikavanja u toj ravnini. Preslikavanje u toj ravnini se može opisati ortogonalnom matricom drugog reda. Ta matrica nema realne vlastite vrijednosti, jer bi ih u protivnom matrica $Q$ imala više od jedne. Tako ova matrica drugog reda predstavlja rotaciju. Dakle, u ovom slučaju imamo ove tipove

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & ... ...sin {\varphi } \\ 0 & \sin {\varphi } & \cos {\varphi } \end{array} \right].$$

Te matrice predstavljaju rotaciju u prostoru oko osi kroz ishodište (sl. 1.25) i rotaciju u prostoru oko osi kroz ishodište zajedno sa simetrijom u odnosu na ravninu rotacije (sl. 1.26).

Slika 1.25: Rotacija oko osi kroz ishodište.

Slika 1.26: Simetrija u odnosu na ravninu i rotacija oko osi okomite na tu ravninu.

Uočite da smo i u slučaju ortogonalnih matrica trećeg reda dobili samo rotacije i simetrije.