Kvadratne matrice

Definicija 3   U kvadratnoj matrici $A=[a_{ij}]$ reda $n$ elementi $a_{11},a_{22},\ldots ,a_{nn}$ čine glavnu dijagonalu.

Zbroj elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice zovemo trag matrice i pišemo ${\rm tr\,}A.$ Dakle,

$${\rm tr\,}\,A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.$$

Kvadratne matrice imaju redaka koliko i stupaca, pa se mogu množiti u bilo kojem poretku, no i u tom slučaju produkt nije komutativan kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 1.1   Neka su dane matrice $A,B\in {\cal M}_{2},$

$$A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ ... ...t],\hspace{1cm}B=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right].$$

$$A\,B=\left[\begin{array}{cc} a & b ... ...\hspace{1cm}B\,A=\left[\begin{array}{cc} a & 0 \\ c & 0 \end{array}\right],$$

dakle $A\,B\neq B\,A.$

Definicija 4   Neka je $A$ kvadratna matrica. Matrica $A$ se zove

-

dijagonalna matrica, ako je $A=[a_{ij}\,\delta_{ij}],$ tj. ako su joj elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli,

-

skalarna matrica, ako je $A=[a\,\delta_{ij}],$ tj. ako je dijagonalna i ako su joj elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki,

-

gornja trokutasta, ako su joj elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli,

-

donja trokutasta, ako su joj elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli.

Skalarna matrica je dijagonalna, dok obrat naravno ne vrijedi. Nulmatrica $O$ i jedinična matrica $I$ su skalarne matrice. Dapače, svaka skalarna matrica ima oblik $\lambda\,I,$ gdje je $\lambda$ neki broj.

Budući da je $A\,I=I\,A$ za svaku kvadratnu matricu $A,$ bilo koja skalarna matrica komutira sa svakom matricom $A\in{\cal M}_{n}.$

Definicija 5   Neka je $A$ kvadratna matrica. Matrica $A$ se zove

-

simetrična matrica, ako je $A^T=A,$

-

antisimetrična matrica, ako je $A^T=-A,$

-

ortogonalna matrica, ako je $A^T\,A=I.$

Elementi na glavnoj dijagonali antisimetrične matrice su nule. Svaka kvadratna matrica se može na jedinstven način razložiti na zbroj simetrične i antisimetrične matrice:

$$A=\frac{1}{2}\,(A+A^T)+\frac{1}{2}\,(A-A^T).$$

Da je $A+A^T$ simetrična, a $A-A^T$ antisimetrična matrica, lako se vidi upotrebom gornjih svojstava.1.1.1