Svojstva skupa regularnih matrica.

1. Produkt regularnih matrica je regularna matrica i vrijedi $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$
2. Jedinična matrica $I$ je regularna, i $I^{-1}=I.$
3. $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1},$ za svaki $\lambda\neq 0.$
4. $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}.$
5. $(A^{-1})^{-1}=A.$
6. Ako je $A$ regularna matrica, onda je $\det A\neq 0.$

Nulmatrica množena s bilo kojom matricom daje nulmatricu, pa tako ne postoji njezin inverz. Dakle, nulmatrica je singularna. No to nije jedina singularna matrica kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 1.3   Matrica

$$A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$$

nema inverznu.

Rješenje. Iz primjera 1.1 se vidi da je

$$A\,\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\... ...nd{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right].$$

Pretpostavimo da postoji inverz $B$ matrice $A.$ Tada je

$$(B\,A)\,\left[\begin{array}{cc} 0 &... ...nd{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right].$$

S druge strane $B\,A=I,$ pa je

$$(B\,A)\,\left[\begin{array}{cc} 0 &... ...nd{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right].$$

Slijedi

$$\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ ... ...nd{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],$$

što je u kontradikciji s definicijom jednakosti matrica.

Može se dokazati da vrijedi

$$\det A=a_{i1}\,A_{1i}+a_{i2}\,A_{2i}+ \cdots + a_{in}\,A_{ni}$$

za svaki $i.$ No, ako algebarske komplemente elemenata jednog retka množimo s elementima drugog retka i zbrojimo, dobivamo nulu

$$a_{i1}\,A_{1j}+a_{i2}\,A_{2j}+ \cdots + a_{in}\,A_{nj}=0,$$   za $$j\neq i$$

To slijedi odatle što je lijeva strana jednaka determinanti u kojoj je umjesto $j$-tog retka napisan $i$-ti. Tako u determinanti imamo dva retka jednaka, pa je ona jednaka nuli. Dakle za svaki $i,j$ vrijedi

$$a_{i1}\,A_{1j}+a_{i2}\,A_{2j}+ \cdots + a_{in}\,A_{nj}=\delta_{ij} \,\det A.$$

Na lijevoj strani ove jednakosti se nalazi $ij$-ti element produkta matrice $A=[a_{ij}]$ i matrice $B=[A_{ij}].$ Vidimo da je

$$[a_{ij}]\,[A_{ij}] = \det A\,[\delta_{ij}],$$

tj.

$$A\,B = (\det A)\,I.$$

Odgovarajuće formule vrijede ako se uzmu stupci matrice $A$ umjesto redaka, pa se može slično dobiti formula

$$B\,A = (\det A)\,I.$$

Odavde je jasno da je

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,[A_{ij}].$$

Matrica $B = [A_{ij}]$ se zove adjunkta matrice $A.$

Na temelju ove diskusije može se zaključiti da vrijedi i obrat 6. svojstva skupa regularnih matrica 1.1.2, tj. da $\det A\neq 0$ povlači regularnost matrice. Tako vrijedi

6'. Matrica $A$ je regularna ako i samo ako je $\det A\neq 0.$