Svojstva determinanti.

1. Ako su svi elementi nekog retka ili stupca nule, onda je determinanta jednaka nuli.
2. Ako su ispod ili iznad glavne dijagonale nule, onda je determinanta jednaka produktu brojeva na glavnoj dijagonali.
3. Ako dva stupca ili dva retka zamijene mjesta, onda determinanta mijenja znak.
4. Ako su dva stupca ili dva retka jednaka, onda je determinanta jednaka nuli.
5. Ako nekom stupcu ili retku dodamo linearnu kombinaciju preostalih stupaca ili redaka, onda se determinanta ne mijenja.
6. Determinanta se množi brojem tako da se neki redak ili stupac pomnoži tim brojem.
7. (Binet-Cauchyjev teorem) Determinanta produkta dvije matrice jednaka je produktu determinanti, tj.
   $$\det (A\,B)=\det A\;\det B.$$

8. Ako je neki stupac ili redak linearna kombinacija preostalih stupaca ili redaka, onda je determinanta jednaka nuli.
9. $\det A=\det A^T.$

Primjer 1.2   Riješiti jednadžbu

$$\left\vert\begin{array}{cccc} x-1 &... ...\ x-1 & x-2 & x-3 & x-3 \\ x-1 & x-2 & x-3 & x-4 \end{array}\right\vert=0.$$

Rješenje. Da se vidi o kojoj se algebarskoj jednadžbi radi, treba izračunati determinantu. Umjesto računanja determinante po definiciji, jednostavnije je koristiti svojstva determinante. Množenjem prvog retka s $-1,$ i dodavanjem drugom, trećem i četvrtom retku, dobivamo

$$\left\vert\begin{array}{cccc} x-1 &... ... & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \end{array}\right\vert.$$

Izlučimo iz drugog, trećeg i četvrtog retka $-1.$ Zatim drugi redak pomnožen s $-1$ dodamo trećem i četvrtom retku da ispod glavne dijagonale dobijemo nule. Na isti način s trećim retkom ostvarimo nulu u četvrtom retku i trećem stupcu. Tako dobivamo

$$\left\vert\begin{array}{cccc} x-1 &... ... & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right\vert=1-x.$$

Prema tome jednadžba je

$$1-x = 0,$$

i rješenje je $x=1.$