Ako je zadana vanjska sila po jedinici duljine onda treba
riješiti sljedeći rubni problem
(2.28)
gdje je
Uzimajući u obzir rezultate prethodne točke, 2.3.3,
rješenje (2.29) možemo pretpostaviti u obliku
Ovom formom rješenja pretpostavljamo da se rješenje može razviti u
red po vlastitim funkcijama rubnog problema. Neodređene funkcije
određujemo pomoću jednadžbe i početnih uvjeta. Kad
uvrstimo u jednadžbu, dobivamo
odnosno
Za svaki ovo je Fourierov
red po sinusima za funkciju shvaćenu kao funkciju od
Neka je
gdje je
Slijedi
Nadalje
pa je
Analogno
pa je
Tako imamo familiju
diferencijalnih jednadžbi s početnim uvjetima
i svaka daje jedno
rješenje što zatim uvrstimo u formulu za
Primjer 2.17
Riješiti rubno-početni problem
Rješenje. Imamo
Dakle
diferencijalne jednadžbe za koeficijent glase
Budući da su početni uvjeti homogeni, početni uvjeti za ovu
familiju diferencijalnih jednadžbi su također homogeni