Provođenje topline kroz štap

Neka su $\gamma$ i $\delta$ (v. 2.1.4) konstante, i neka je $\frac{\delta}{\gamma}=c^2.$ Tada je rubno-početni problem provođenja zadan kako slijedi

$$% latex2html id marker 35540 \begin{cases}\frac{\textstyle{\... ...\hspace{1cm} u(\ell,t)=0,& \\ [1mm] u(x,0) = g(x). \end{cases}$$ (2.29)

Rješenje tražimo u obliku

$$u(x,t) = X(x)\,T(t).$$

Uz ovu pretpostavku jednadžba postaje

$$X(x)\,T'(t) = c^2\,X''(x)\,T(t).$$

Podijelimo s $c^2X(x)T(t).$ Dobivamo

$$\frac{1}{c^2}\,\frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda^2.$$

Negativnost ove konstante se dokazuje kao kod valne jednadžbe (v. 2.3.3). Na isti način kao kod valne jednadžbe iz rubnih uvjeta dobivamo

$$\lambda_n = \frac{n\,\pi}{\ell},\hspace{1cm}X_n(x) = B_n\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$$

S druge strane

$$\frac{T'_n(t)}{T_n(t)} = -\left(\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2c^2.$$

Rješenje ove jednadžbe je

$$T_n(t) = C_n\,e^{-\left(\frac{n\,c\,\pi}{\ell}\right)^2\,t}.$$

Tako je

$$u_n(x,t) = X_n(x)\,T_n(t) = E_n\,e^{-\left(\frac{n\,c\,\pi}{\ell}\right)^2\,t} \sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$$

Ove funkcije rješavaju jednadžbu, i zadovoljavaju rubne uvjete. No da bi bio zadovoljen i početni uvjet, treba rješenje pretpostaviti u obliku beskonačnog reda (v. 2.3.3)

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} E_n\,e^{-\left(\frac{n\,c\,\pi}{\ell}\right)^2\,t} \sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$$

Početni uvjet daje

$$u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} E_n\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = g(x).$$

Dakle $E_n$ su Fourierovi koeficijenti funkcije $g$ proširene po neparnosti s $[0,\ell]$ na $[-\ell,\ell].$ Tako je

$$E_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\, g(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$$

Neka je jednadžba nehomogena

$$\frac{\textstyle{\partial^2 u(x,t)}}{\textstyle{\partial t^2}} = c^2\,\frac{\textstyle{\partial^2 u(x,t)}}{\textstyle{\partial x^2}} + f(x,t),$$

gdje je $f$ toplina po jedinici duljine podijeljena s toplinskim kapacitetom jedinice duljine štapa $\gamma.$ Uz iste rubne i početne uvjete rješenje pretpostavljamo u obliku

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} E_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$$

Neodređene koeficijente $E_n(t)$ ćemo odrediti tako da $u$ zadovoljava jednadžbu i početni uvjet.

$$\sum_{n=1}^{\infty} E'_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = -\sum_{... ..._n(t)\, \left(\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2 \sin\frac{n\,\pi}{\ell}x + f(x,t),$$

odnosno

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left[E'_n(t) + \left(c\,\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2E_n(t)\right] \,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = f(x,t).$$

Lijeva strana je Fourierov red, ako $t$ shvatimo kao parametar. Pretpostavimo da je

$$f(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$$

gdje je

$$A_n(t) = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\, f(x,t)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$$

Slijedi

$$E'_n(t) + \left(c\,\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2E_n(t) = A_n(t),\quad n=1,2,3,\ldots\ .$$

Početni uvjet nam daje

$$g(x) = u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} E_n(0)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$$

tj.

$$E_n(0) = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\, g(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx,\quad n=1,2,3,\ldots\ .$$

Tako smo dobili familiju diferencijalnih jednadžbi s pripadnim početnim uvjetima, čija rješenja daju neodređene koeficijente.

Primjer 2.18   Naći raspodjelu temperature u homogenom tankom štapu, duljine $\ell,$ bočno toplinski izoliranom, ako se na lijevom kraju održava temperatura $0,$ a na desnom se mijenja s vremenom po formuli $u(\ell,t)=a\,t.$ Početna temperatura štapa je $0.$

Rješenje. Rubno-početni problem glasi

$$% latex2html id marker 35609 \begin{cases} \frac{\textstyl... ...0,\qquad u(\ell,t)=a\,t,& \\ [1mm] u(x,0) = 0. \end{cases}$$

Najprije treba homogenizirati rubne uvjete. Očito funkcija

$$v(x,t) = u(x,t) - \frac{a\,t\,x}{\ell}$$

zadovoljava homogene rubne uvjete. Pripadni rubno-početni problem za $v$ je

$$% latex2html id marker 35615 \begin{cases} \displaystyle \... ...)=0,\qquad v(\ell,t)=0,& \\ [1mm] v(x,0) = 0. \end{cases}$$

Sada homogeniziramo jednadžbu. Stavimo

$$v(x,t) = z(x,t) + w(x),$$

gdje je $w$ rješenje problema

$$% latex2html id marker 35621 \begin{cases} \displaystyle c... ...x}{\ell} = 0,& \\ w(0) = 0,\qquad w(\ell) = 0. \end{cases}$$

Rješenje ovog problema je

$$w(x) = \frac{a\,x^3}{6\,c^2\,\ell} - \frac{a\,\ell\,x}{6\,c^2}.$$

Na taj način smo homogenizirali rubne uvjete i jednadžbu, ali se nehomogenost pojavila u početnom uvjetu. Tako $z$ rješava sljedeći rubno-početni problem

$$% latex2html id marker 35627 \begin{cases} \displaystyle ... ...\ell} - \frac{\left( a\,\ell\,x\right) }{6\,c^2}. \end{cases}$$

$$E_n = \frac{2\,a\,\ell^2\,\cos n\,\pi}{c^2\,n^3\,\pi^3},$$

pa je rješenje rubnog problema za $z$

$$z(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\,a\,\ell^2\,\cos n\,\pi}{c^2... ...^3}\, e^{-\left(\frac{n\,c\,\pi}{\ell}\right)^2\,t}\, \sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$$

Rješenje početnog problema je

$$u(x,t) = z(x,t) + \frac{a\,t\,x}{\ell} + \frac{a\,x^3}{6\,c^2\,\ell} - \frac{a\,\ell\,x}{6\,c^2},$$

dakle

$$u(x,t) = \frac{a\,t\,x}{\ell} + \frac{a\,x^3}{6\,c^2\,\ell} - \f... ...}\, e^{-\left(\frac{n\,c\,\pi}{\ell}\right)^2\,t}\, \sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$$