Homogenizacija rubnih uvjeta.

Želimo riješiti problem slobodnih oscilacija žice uz zadane nehomogene rubne uvjete.

$$% latex2html id marker 35443 \begin{cases}\frac{\textstyle{\... ...artial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x). \end{cases}$$ (2.26)

Najprije homogeniziramo rubne uvjete kao u 2.3.3. Na taj način homogeniziramo rubne uvjete, ali se pojavi nehomogena diferencijalna jednadžba

$$% latex2html id marker 35445 \begin{cases}\frac{\textstyle{\... ...artial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x). \end{cases}$$ (2.27)

Sada homogeniziramo jednadžbu na sljedeći način.

Rješenje pretpostavljamo u obliku

$$u(x,t) = v(x,t) + w(x),$$

gdje je $w$ rješenje stacionarnog rubnog problema

$$c^2\,w''(x) + h(x) = 0,\hspace{1cm}w(0)=w(\ell)=0.$$

Uvrstimo $u(x,t)$ u jednadžbu. Budući da $w$ ne ovisi o $t,$ imamo

$$\frac{\textstyle{\partial^2 v(x,t)}}{\textstyle{\partial t^2}} =... ...extstyle{\partial^2 v(x,t)}}{\textstyle{\partial x^2}} + w''(x)\right) + h(x),$$

$$\frac{\textstyle{\partial^2 v(x,t)}}{\textstyle{\partial t^2}} = c^2\,\frac{\textstyle{\partial^2 v(x,t)}}{\textstyle{\partial x^2}},$$

jer je $c^2w''+h=0.$

Rubni uvjeti ostaju isti, a početni uvjeti se mijenjaju

$$u(x,0)= v(x,0) +w(x) = \alpha(x),$$

pa je tako početni položaj

$$v(x,0) = \alpha(x) - w(x) = \alpha_1(x),$$

a početna brzina ostaje

$$\frac{{\partial v(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x),$$

jer $w$ ne ovisi o $t.$ Tako smo problem sveli na homogenu jednadžbu i homogene rubne uvjete, što smo već riješili.