Interpretacija rješenja.

Pogledajmo što predstavljaju pojedine funkcije $u_n(x,t)$ od kojih je sastavljeno rješenje 2.26.

$$E_n\,\cos \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t + F_n\,\sin \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t =$$

$$\sqrt{E_n^2+F_n^2}\left(\frac{E_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}}\,\cos \fr... ...{\ell}t + \frac{F_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}}\,\sin \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t\right).$$

Budući da je

$$\left(\frac{E_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}}\right)^2 + \left(\frac{F_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}}\right)^2 = 1,$$

postoji $\varphi_n$ takav da je

$$\frac{E_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}} = \sin\varphi_n,\hspace{1cm} \frac{F_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}} = \cos\varphi_n,$$

pa je

$$E_n\,\cos \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t + F_n\,\sin \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t = \sqrt{E_n^2+F_n^2}\,\sin\left(\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t + \varphi_n\right).$$

Tako je

$$u_n(x,t) = A_n\,\sin\left(\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t + \varphi_n\right) \,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots{}\ ,$$

gdje je $A_n = \sqrt{E_n^2+F_n^2}.$

Za $n=1$ imamo

$$u_1(x,t) = A_1\,\sin\left(\frac{c\,\pi}{\ell}\,t + \varphi_1\right) \,\sin\frac{\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots{}\ .$$

U odnosu na varijablu $x$ ova funkcija ima temeljni period

$$\tau_1 = \frac{2\,\pi}{\frac{\pi}{\ell}} = 2\,\ell.$$

To znači da rubne točke $x=0$ i $x=\ell$ miruju, i zbog toga se zovu čvorovi, a ostale se gibaju sinkrono s frekvencijom

$$\omega{}_1 = \frac{c\,\pi}{\ell},$$

i s amplitudom

$$A_1\,\sin\left(\frac{c\,\pi}{\ell}\,t + \varphi_1\right).$$

Za $n=2$ imamo

$$u_2(x,t) = A_2\,\sin\left(\frac{2\,c\,\pi}{\ell}\,t + \varphi_2\right) \,\sin\frac{2\,\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots{}\ .$$

U odnosu na varijablu $x$ ova funkcija ima temeljni period

$$\tau_2 = \frac{2\,\pi}{\frac{2\,\pi}{\ell}} = \ell.$$

To znači da su sada čvorovi točke $x=0,$ $x=\frac{\ell}{2}$ i $x=\ell.$ Ostale se gibaju sinkrono s frekvencijom

$$\omega{}_2 = \frac{2\,c\,\pi}{\ell},$$

i s amplitudom

$$A_2\,\sin\left(\frac{2\,c\,\pi}{\ell}\,t + \varphi_2\right).$$

Za $n=3$ imamo čvorove $x=0,x=\frac{\ell}{3},x=\frac{2\,\ell}{3},x=\ell,$ frekvencija titranja je

$$\omega{}_3 = \frac{3\,c\,\pi}{\ell},$$

itd.

Ovakva titranja se zovu stojni valovi. Stvarno slobodno titranje je superpozicija ovakvih titranja. Kad se radi o napetoj žici, ona prilikom titranja proizvodi ton. Broj $\omega{}_1$ se zove frekvencija osnovnog tona, a ostale frekvencije se zovu frekvencije viših harmonika. Amplitude viših harmonika vrlo brzo opadaju prema nuli. Njihova distribucija daje boju proizvedenom tonu. Primijetimo na kraju da je frekvencija osnovnog tona

$$\omega{}_1 = \frac{\pi}{\ell}\,\sqrt{\frac{p}{\rho}}\,.$$

Primjer 2.16   Naći oscilacije napete homogene žice, duljine $\ell,$ učvršćene na rubovima, u sredstvu s otporom proporcionalnim brzini, ako su početni uvjeti kao u primjeru 2.15.

Rješenje. Rubni i početni uvjeti su kao u primjeru 2.15, a jednadžba glasi

$$\frac{\textstyle{\partial^2 u(x,t)}}{\textstyle{\partial t^2}} = ... ...l x^2}} - 2\,k^2\,\frac{\textstyle{\partial u(x,t)}}{\textstyle{\partial t}}.$$

Stavimo $u(x,t)=X(x)T(t),$ i podijelimo s $c^2X(x)T(t).$ Dobivamo

$${\frac{2\,k^2\,T'(t) + T''(t)} {c^2\,T(t)}} = {\frac{X''(x)}{X(x)}}.$$

Varijable su separirane, pa je svaka strana ove jednakosti konstanta. Kao i ranije zaključujemo da je ta konstanta negativna, i da su vlastite vrijednosti

$$\lambda_n^2 = \frac{n^2\,\pi^2}{\ell^2},\qquad n=1,2,3,\ldots\ ,$$

i vlastite funkcije

$$X_n(x) = \sin \frac{n\,\pi}{\ell}\,x,\qquad n=1,2,3,\ldots\ .$$

Vremenska jednadžba sada glasi

$${T_n}''(t) + 2\,k^2\,{T_n}'(t) + c^2\,\lambda_n^2\,{T_n}(t) = 0.$$

Ovo je obična linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima. Pretpostavka $T_n(t)=e^{r\,t}$ vodi na karakterističnu jednadžbu

$$r^2 + 2\,k^2\,r + c^2\,\lambda_n^2 = 0.$$

Rješenja su

$$r_1 = -k^2 - \sqrt{k^4 - c^2\,\lambda_n^2} ,\quad r_2 = -k^2 + \sqrt{k^4 - c^2\,\lambda_n^2}.$$

Ako je $k^2>c\,\lambda_n,$ tj. ako je otpor dovoljno velik, onda nema osciliranja. Ta fizikalno jasna činjenica se u matematičkom modelu pojavljuje tako da su $r_1$ i $r_2$ realni brojevi. Opće rješenje je u tom slučaju linearna kombinacija eksponencijalnih funkcija. Eksponencijalne funkcije nisu periodičke, pa tako nemamo oscilacije.

Pretpostavimo da je otpor dovoljno malen tako da je $k^2<c\,\lambda_n.$ Tada je

$$r_1 = -k^2 - i\,\sqrt{c^2\,\lambda_n^2 - k^4},\quad r_2 = -k^2 + i\,\sqrt{c^2\,\lambda_n^2 - k^4}.$$

Tako je

$$T_n(t) = C_1\,e^{(-k^2 - i\,\sqrt{c^2\,\lambda_n^2 - k^4})\,t} + C_2\,e^{(-k^2 + i\,\sqrt{c^2\,\lambda_n^2 - k^4})\,t},$$

što se pomoću Eulerove formule može napisati kao

$$T_n(t) = e^{-k^2\,t}\left(E_n\,\cos\sqrt{c^2\,\lambda_n^2 - k^4}\,t + F_n\,\sin\sqrt{c^2\,\lambda_n^2 - k^4}\,t\right).$$

Stavimo

$$\omega_n = \sqrt{c^2\,\lambda_n^2 - k^4} = \sqrt{\frac{c^2\,n^2\,\pi^2}{\ell^2} - k^4}.$$

Tada je rješenje oblika

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-k^2\,t}\left(E_n\,\cos \omega_n\,t + F_n\,\sin \omega_n\,t\right)\sin\frac{n\,\pi}{\ell}\,x.$$

Koeficijenti $E_n$ i $F_n$ se računaju kao i u primjeru 2.15.

Faktor $e^{-k^2\,t}$ teži k nuli kad $t\rightarrow\infty.$ Zato titranje postaje sve slabije kako $t$ raste. Tako imamo prigušene oscilacije.