Fourierovi redovi

Rješavajući valnu jednadžbu, uvaživši rubne uvjete, dobili smo rješenja oblika

$$u_n(x,t)=\sin \lambda_n\,x\,\cos c\,\lambda_n\,t,$$   ili$$\hspace{1cm} u_n(x,t)=\sin \lambda_n\,x\,\sin c\,\lambda_n\, t.$$

Problem oscilacija žice je potpuno zadan tek kad zadamo još i početne uvjete. Na pr.

$$u(x,0) = \alpha(x),\hspace{1cm}\frac{\textstyle{\partial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x).$$

Općenito niti jedna od funkcija $u_n$ ne zadovoljava početne uvjete. Zato rješenje tražimo u obliku linearne kombinacije. Funkcije su linearno nezavisne, i ima ih beskonačno mnogo, pa linearna kombinacija postaje beskonačni red

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\,\sin \lambda_n\,x\,\cos c\,\lambda_n\,t + B_n\,\sin \lambda_n\,x\,\sin c\,\lambda_n\, t$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty} \sin \lambda_n\,x\,\left(A_n\,\cos c\,\lambda_n\,t + B_n\,\sin c\,\lambda_n\,t\right).$$

Ako je $u$ rješenje koje zadovoljava početne uvjete, onda mora biti

$$u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\,\sin \lambda_n\,x = \alpha(x).$$

Da li postoje takvi $A_n$ da vrijedi ova jednakost? Za kakve funkcije postoje $A_n$ takvi da vrijedi ova jednakost? Ovakva pitanja i još mnoga druga dovode nas do pojma Fourierovih redova.

Funkcije

$$\sin \lambda_n\,x = \sin \frac{n\,\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots$$

su periodične, i period je broj $\tau>0$ takav da vrijedi

$$\sin \frac{n\,\pi}{\ell}(x + \tau) =... ...,\tau\right) = \sin \frac{n\,\pi}{\ell}x, \quad\quad \forall x \in \mathbb{R}.$$

Odatle slijedi

$$\frac{n\,\pi}{\ell}\,\tau = 2\,\pi\hspace{1cm}\Rightarrow\hspace{1cm}\tau = \frac{2\,\ell}{n}.$$

Svaka od ovih funkcija ima period $2\ell,$ jer je višekratnik perioda također period, pa se nadamo da pomoću njih možemo prikazati svaku periodičku funkciju $f$ perioda $2\ell.$ No, pomoću njih se mogu prikazati samo neparne funkcije, jer je sinus neparna funkcija.

To ograničenje izbjegavamo tako da dodamo i odgovarajuće kosinusne funkcije. Tako funkciju $f$ nastojimo napisati u obliku

$$f(x) = \frac{a_0}{2}+a_1\cos \frac{\pi\,x}{\ell}+a_2\cos \frac{2\,\pi\,x}{\ell}+\cdots+a_n\cos \frac{n\,\pi\,x}{\ell}+\cdots$$

$$+b_1\sin \frac{\pi\,x}{\ell}+b_2\sin \frac{2\,\pi\,x}{\ell}+\cdots+b_n\sin \frac{n\,\pi\,x}{\ell}+\cdots\;,$$

tj.

$$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k\cos \frac{k\,\pi\,x}{\ell}+b_k\sin \frac{k\,\pi\,x}{\ell}\right),$$ (2.20)

gdje su koeficijenti $a_0,$ $a_k,b_k,\;k=1,2,3,\ldots$ neodređeni. Da bismo koeficijente odredili tako da vrijedi ova jednakost, koristimo jedno važno svojstvo trigonometrijskih funkcija

$$\int_{-\ell}^{\ell}\,\sin \frac{n\,\... ...ll, & \mbox{ako je $m=n$} \\ 0, & \mbox{ako je $m\neq n$} \end{array} \right.,$$

$$\int_{-\ell}^{\ell}\,\cos\frac{n\,\p... ... & \mbox{ako je $m=n$} \\ 0, & \mbox{ako je $m\neq n$} \end{array} \right.,$$

$$\int_{-\ell}^{\ell}\, \sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,\cos \frac{m\,\pi\,x}{\ell}\,dx = 0.$$

Svojstvo izraženo formulama, u kojima je desna strana jednaka nuli, se zove ortogonalnost trigonometrijskih funkcija, a formule se zovu formule ortogonalnosti.

Sada računamo koeficijente tako da (2.21) integriramo po segmentu duljine perioda (ovdje je to $[-\ell,\ell]$), množimo redom s

$$\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell},$$   i$$\hspace{1cm} \sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell},\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots,$$

i zatim integriramo po istom segmentu. Zbog svojstva ortogonalnosti dobivamo

$$\int_{-\ell}^{\ell}\,f(x)\,dx = \frac{a_0}{2}\,2\,\ell,\quad \int_{-\ell}^{\ell}\,f(x)\,\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx = a_n\,\ell,$$

$$\int_{-\ell}^{\ell}\,f(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx = b_n\,\ell,\hspace{1cm} n=1,2,3,\ldots\ .$$

Da bi ove formule imale smisla, nužno je da $f$ bude integrabilna funkcija na segmentu $[-\ell,\ell].$ U tom slučaju su koeficijenti

$$% latex2html id marker 35018 \begin{cases}\displaystyle a_0 ... ...c{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx,\quad\quad n=1,2,3,\ldots\ . \end{cases}$$ (2.21)

Red oblika

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k\cos \frac{k\,\pi\,x}{\ell}+b_k\sin \frac{k\,\pi\,x}{\ell}\right)$$

se zove trigonometrijski red, a brojevi $a_0,a_1,a_2,\ldots,$ $b_1,b_2,b_3,\ldots$ se zovu koeficijenti trigonometrijskog reda. Trigonometrijski red je dan čim su dani njegovi koeficijenti. No, ako su koeficijenti trigonometrijskog reda dani formulama (2.22), onda se red zove Fourierov red funkcije $f,$ a koeficijenti se zovu Fourierovi koeficijenti.

Do sada smo stalno imali na umu periodičku funkciju $f,$ perioda $2\ell.$ Pretpostavimo da je funkcija $f$ definirana na skupu koji sadrži $[-\ell,\ell],$ da je integrabilna na $[-\ell,\ell],$ i da nije periodička. U tom slučaju također možemo izračunati Fourierove koeficijente i prema tome imamo Fourierov red. Budući da svaka funkcija u tom redu ima period $2\ell,$ i red će predstavljati periodičku funkciju perioda $2\ell,$ i to onu koja se iz dane dobije periodičkim proširenjem njezine restrikcije na segmentu $[-\ell,\ell]$ na cijeli $\mathbb{R}.$ Reći ćemo da je to red funkcije $f$ na $[-\ell,\ell].$