Vlastite funkcije i vlastite vrijednosti

Valna jednadžba

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = p(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} + f(x,t)$$

opisuje oscilacije žice, longitudinalne oscilacije štapa i torzijske oscilacije štapa. Pretpostavimo da ne djeluje vanjska sila, $f(x,t) = 0,$ da su $\rho$ i $p$ konstante, i neka su zadani homogeni rubni uvjeti.

$$% latex2html id marker 34824 \begin{cases}\frac{\textstyle{\... ...^2}},& \\ [3mm] u(0,t)=0,\hspace{1cm} u(\ell,t)=0, \end{cases}$$ (2.17)

gdje je $c^2 = \frac{p}{\rho}.$ Budući da su oscilacije u pravilu periodična gibanja u odnosu na vrijeme, potražimo rješenja ovog rubnog problema u obliku

$$u(x,t)=X(x)\,\cos \omega t,$$   ili$$\hspace{1cm} u(x,t)=X(x)\,\sin \omega t.$$

Imamo

$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = -X(x)\,\omega^2\,\cos \omega t,$$

dok je

$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = X''(x)\,\cos \omega t.$$

Uvrstimo u jednadžbu

$$-X(x)\,\omega^2\,\cos \omega t = c^2\,X''(x)\,\cos \omega t,$$

i ako uzmemo u obzir rubne uvjete

$$u(0,t) = X(0)\,\cos\omega t = 0,\hspace{1cm}u(\ell,t) = X(\ell)\,\cos\omega t = 0,$$

dobivamo sljedeći rubni problem za običnu diferencijalnu jednadžbu

$$X''(x) + \left(\frac{\omega}{c}\right)^2\,X(x) = 0,\hspace{1cm} X(0) = 0,\,X(\ell) = 0,$$

$$% latex2html id marker 34841 \begin{cases}X''(x) + \lambda^2\,X(x) = 0,& \\ X(0) = 0,\quad X(\ell) = 0, \end{cases}$$ (2.18)

gdje je $\lambda = \frac{\omega}{c}.$ Ovo je obična linearna homogena diferencijalna jednadžba 2. reda. Njezina karakteristična jednadžba je

$$r^2 + \lambda^2 = 0,\hspace{1cm}r_{1,2} = \pm i\,\lambda$$

pa je opće rješenje

$$X(x) = A\,e^{i\,\lambda\,x} + B\,e^{-i\,\lambda\,x},$$

odakle, pomoću Eulerove formule

$$e^{\pm i\,\lambda\,x} = \cos\lambda\,x\pm i\,\sin\lambda\,x,$$

dobivamo opće rješenje

$$X(x) = C_1\,\cos\lambda\,x + C_2\,\sin\lambda\,x.$$

Iz $X(0)=0$ slijedi $C_1=0,$ pa je

$$X(x) = C_2\,\sin\lambda\,x.$$

Iz $X(\ell)=0$ slijedi

$$C_2\,\sin\lambda\,\ell = 0\hspace{1cm}\Rightarrow\hspace{1cm}\lambda\,\ell = n\,\pi,\;\;n \in Z.$$

Dakle imamo zapravo diskretan skup vrijednosti za $\lambda$

$$\lambda = \frac{n\,\pi}{\ell}\hspace{1cm}n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots\;.$$

Za $n=0$ dobivamo trivijalno rješenje (nulfunkciju), a negativni $n$-ovi ne daju ništa novo, jer je sinus neparna funkcija. Tako imamo

$$\lambda_n = \frac{n\,\pi}{\ell},\quad\quad n=1, 2, 3,\ldots\;.$$

Brojevi $\lambda_n^2, n=1,2,3,\ldots$ se zovu vlastite vrijednosti, a pripadne funkcije

$$X_n(x) = \sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,\quad n= 1, 2, 3,\ldots\ .$$

se zovu vlastite funkcije rubnog problema (2.19).

Tako rješenja problema (2.18) imaju oblik

$$u_n(x,t)=X_n(x)\,\cos c\,\lambda_n\,t,$$   ili$$\hspace{1cm} u_n(x,t)=X_n(x)\,\sin c\,\lambda_n\, t.$$

Primjer 2.10   Naći vlastite vrijednosti i vlastite funkcije rubnog problema

$$% latex2html id marker 34881 \begin{cases} X''(x) + \lambda^2\,X(x) = 0,& \\ X(0) = 0,\quad X'(\ell) = 0. \end{cases}$$

Rješenje. Kao u (2.19) opće rješenje jednadžbe je

$$X(x) = C_1\,\cos\lambda\,x + C_2\,\sin\lambda\,x.$$

Iz $X(0)=0$ slijedi $C_1=0,$ pa je

$$X(x) = C_2\,\sin\lambda\,x.$$

Iz $X'(\ell)=0$ slijedi

$$\lambda\,C_2\,\cos\lambda\,\ell = 0.$$

Odatle

$$\lambda\,\ell = \frac{\pi}{2} + n\,\pi,\quad\quad n=1,2,3,\ldots\ ,$$

pa je

$$\lambda{}_n = {\frac{(2\,n+1)\,\pi }{2\,\ell}},\quad\quad n=1,2,3,\ldots\ .$$

Tako su vlastite vrijednosti

$$\lambda{}_n^2 = {\frac{(2\,n+1)^2\,\pi^2 }{4\,\ell^2}},\quad\quad n=1,2,3,\ldots\ .$$

Vlastite funkcije su

$$X_n(x) = \sin{\frac{(2\,n+1)\,\pi }{2\,\ell}}x,\quad\quad n=1,2,3,\ldots\ .$$

Primjer 2.11   Naći vlastite vrijednosti i vlastite funkcije rubnog problema

$$% latex2html id marker 34904 \begin{cases} X''(x) + \lamb... ...) = 0,& \\ X(0) - X'(0) = 0,\quad X'(\ell) = 0. \end{cases}$$

Rješenje. Opće rješenje jednadžbe je

$$X(x) = C_1\,\cos\lambda\,x + C_2\,\sin\lambda\,x.$$

Iz $X(0)-X'(0)=0$ slijedi

$$X(x) = C_2\,\left(\cos\lambda\,x + {\frac{\sin\lambda\,x}{\lambda}}\right).$$

Iz $X'(\ell)=0$ slijedi

$$C_2\,\left(\cos\ell\,\lambda - \lambda\,\sin\ell\,\lambda\right) = 0,$$

odnosno

$${\rm tg}\,\ell\,\lambda = \frac{1}{\lambda}.$$ (2.19)

To je transcendentna (nije algebarska) jednadžba. Takve se jednadžbe u pravilu ne mogu elementarno rješavati, i gotovo uvijek se moramo zadovoljiti s približnim rješenjem. O približnom rješavanju jednadžbi bit će riječi u trećem poglavlju 3.2. Ovdje napomenimo samo toliko da su za $\ell=1$ prva tri rješenja približno

Slika: Rješenja jednadžbe ${\rm tg}\,\lambda=\frac{1}{\lambda}$

$${{\lambda_1}={0.860334}},\quad {{\lambda_2}={3.42562}},\quad {{\lambda_3}={6.4373}}.$$

Tako su prve tri vlastite funkcije približno jednake

$$X_1(x)= \cos 0.860334\,x + 1.16234\,\sin 0.860334\,x,$$

$$X_2(x) = \cos 3.42562\,x + 0.291918\,\sin 3.42562\,x,$$

$$X_3(x) = \cos 6.4373\,x + 0.155345\,\sin 6.4373\,x.$$

Slika 2.7: Vlastite funkcije