Neparne i parne funkcije.

Ako je $f$ neparna funkcija, onda je

$$\int_{-\ell}^0\,f(x)\,dx = \int_{\ell}^0\,f(-x)\,d(-x) = -\int_0^{\ell}\,f(x)\,dx,$$

pa je

$$a_0 = \frac{1}{\ell}\,\int_{-\ell}^{\ell}\,f(x)\,dx = \frac{1}{\ell}\,\left[\int_{-\ell}^0\, f(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,f(x)\,dx\right] = 0.$$

Također

$$\int_{-\ell}^0\,f(x)\,\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx = \int_{\ell}^0\, f(-x)\,\cos\frac{n\,\pi\,(-x)}{\ell}\,d(-x)$$

$$= -\int_0^{\ell}\, f(x)\,\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx,$$

pa je na sličan način

$$a_n = \frac{1}{\ell}\,\int_{-\ell}^{\ell}\,f(x)\,\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx = 0,$$   za $$n=0,1,2,3,\ldots\ .$$

Tako Fourierov red neparne funkcije sadrži samo sinuse

$$\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}.$$

Vrijedi i obrat. U ovom redu je svaki član neparna funkcija, pa ako ovaj red predstavlja neku funkciju, onda je ona također neparna.

Osim toga

$$\int_{-\ell}^0\,f(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx = \int_{\el... ...\pi\,(-x)}{\ell}\,d(-x) = \int_0^{\ell}\,f(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx,$$

pa je

$$b_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,f(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$$

Slično bismo u slučaju parnosti funkcije dobili $b_n=0,$ pa je Fourierov red takve funkcije oblika

$$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell},$$

s tim da je

$$a_0 = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,f(x)\,dx,\hspace{1cm} a_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,f(x)\,\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$$

Primjer 2.13   Treba naći Fourierov red po kosinusima funkcije $f(x)=\sin x$ na intervalu $\langle 0,\pi\rangle.$

Rješenje. Tu se radi o proširenju po parnosti prvog brijega sinusne funkcije. Period je $\pi,$ pa su Fourierovi koeficijenti

$$a_0 = \frac{2}{\pi}\,\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \frac{4}{\pi}.$$

Za $n>1$

$$a_n = \frac{2}{\pi}\,\int_0^{\pi} \sin x\,\cos n x\,dx = \left.{\... ... - n)x}{\left(n - 1\right) \, \left( 1 + n \right) \,\pi }}\right\vert _0^{\pi}$$

$$= {\frac{2\,\left( 1 + \cos n\pi \right) }{\pi\,(1 - {n^2})}} = {\frac{2\,\left( 1 + (-1)^n \right) }{\pi\,(1 - {n^2})}}.$$

$$a_n = \begin{cases} \frac{4}{\pi\,(1... ...n)},& \quad\text{za parne $n$} \\ 0,& \quad\text{za neparne $n.$} \end{cases}$$

Tako je Fourierov red

$$\frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\,\left( \frac{\cos 2x}{1\cdot 3} +... ...7} + \frac{\cos 8x}{7\cdot 9} + \frac{\cos 10x}{9\cdot 11} + \cdots\ \right).$$

Primjer 2.14   Naći Fourierov red funkcije

$$f(x)=\cos^3 x + \cos^2 x\,\sin x + \sin^3 x$$

na segmentu $[-\pi,\pi].$

Rješenje. Svaki sumand od $f$ je potencija ili produkt potencija trigonometrijskih funkcija perioda $2\pi,$ što je upravo duljina segmenta na kojem želimo napisati Fourierov red. U tom slučaju je dovoljno svaki od sumanada napisati pomoću linearne kombinacije trigonometrijskih funkcija višestrukog argumenta.

$$\cos^3 x = \cos^2 x\,\cos x = \frac{1}{2}\,(1+\cos 2\,x)\,\cos x,$$

$$\cos^2 x\,\sin x = \frac{1}{2}\,(1+\cos 2\,x)\,\sin x,$$

$$\sin^3 x = \sin^2 x\,\sin x = \frac{1}{2}\,(1-\cos 2\,x)\,\sin x.$$

Odatle

$$f(x) = \cos^3 x + \cos^2 x\,\sin x + \sin^3 x$$

$$= \frac{1}{2}\,\cos x + \frac{1}{2}\,\cos 2\,x\,\cos x + \frac{1}{2}\,\sin x + \frac{1}{2}\,\cos 2\,x\,\sin x$$

$$\quad + \frac{1}{2}\,\sin x - \frac{1}{2}\,\cos 2\,x\,\sin x$$

$$= \frac{1}{2}\,\cos x + \sin x + \frac{1}{4}\,(\cos 3\,x + \cos x)$$

$$= \frac{3}{4}\,\cos x + \sin x + \frac{1}{4}\,\cos 3\,x.$$

Dakle

$$a_1 = \frac{3}{4},\quad b_1 = 1,\quad a_3 = \frac{1}{4},$$

a ostali Fourierovi koeficijenti su jednaki nuli.