Primjer 3.

Odrediti dijagram momenata savijanja na jednostrano upetoj gredi kojoj se desni, klizni zglobni ležaj `spustio' za $\Delta_{v}^{}$.

(Duljina grede je l, a modul elastičnosti E i moment tromosti I konstantni su po cijeloj njenoj duljini.)

U rješavanju sistema sa zadanim prisilnim pomacima treba razlikovati dva slučaja:

(1)

osnovni je sistem odabran tako da je hvatište jedne od sila koje zamjenjuju raskinute veze u točki čiji je pomak zadan i da pritom ta sila djeluje na pravcu zadanog pomaka;

(2)

osnovni je sistem takav da ni jedna zamjenjujuća sile ne djeluje na pravcu zadanog pomaka u točki čiji je pomak zadan (hvatište sile može biti u toj točki, ali se pravac djelovanja sile ne smije poklapati s pravcem pomaka; ako pak sila djeluje na pravcu pomaka, njeno hvatište ne smije biti točka čiji je pomak zadan).

Slučaj (1)

Kao što je poznato, na osnovnom će sistemu, na mjestu neke raskinute veze, po pravcu, po kojem je ta veza sprečavala pomak, pomake prouzročiti sva zadana koncentrirana i distribuirana opterećenja, razlike u temperaturi, prisilni pomaci i sve sile i/ili momenti koji zamjenjuju raskinute veze. Prema uvjetu neprekinutosti, osnovni se sistem mora ponašati kao izvorni statički neodređeni sistem, drugim riječima, zbroj svih tih pomaka mora biti jednak konačnom pomaku izvornoga statički neodređenog sistema na tom mjestu i po tom pravcu. Ako je u točki, čiji je pomak zadan, raskinuta veza koja sprečava slobodni pomak po pravcu prisilnog pomaka, onda na tako dobivenom osnovnom sistemu zbroj svih pomaka na tom mjestu i po tom pravcu mora biti jednak tom prisilnom pomaku. Označimo li sa X_i zamjenjujuću silu, i-ta će jednadžba kontinuiteta u općem obliku glasiti

$$\sum_{{j=1}}^{n}$$ f_ij^{* .} X_j + f_i0^* = $$\Delta$$,

odnosno, uvedemo li proračunske keoficijente f_ij = f_ij^{* .} E₀I₀,

$$\sum_{{j=1}}^{n}$$ f_ij ^. X_j + f_i0 = $$\Delta$$ ^. E₀I₀,

gdje je $\Delta$ vrijednost zadanog pomaka s pozitivnim predznakom ako je taj pomak u pretpostavljenom smjeru zamjenjujuće sile, a s negativnim predznakom ako je u suprotnom smjeru. Ostale su jednadžbe oblika

$$\sum_{{j=1}}^{n}$$ f_kj^{* .} X_j + f_k0^* = 0,        k$$\ne$$i,

ili, s proračunskim koeficijentima,

$$\sum_{{j=1}}^{n}$$ f_kj ^. X_j + f_k0 = 0,        k$$\ne$$i.

Odaberemo li za nosač u primjeru za osnovni sistem konzolu pa uklonimo klizni zglobni ležaj na desnom kraju, hvatište zamjenjujuće sile X₁ bit će točka čiji je pomak zadan, a sila će djelovati na pravcu tog pomaka.

Vertikalni pomak slobodnog kraja konzole (hvatišta sile X₁ po pravcu njenog djelovanja) mora biti jednak zadanom pomaku, pa je jednadžba kontinuiteta

f₁₁^{* .} X₁ = - $$\Delta_{v}^{}$$;

pretpostavili smo da sila X₁ djeluje prema gore, dok je pomak zadan prema dolje.

Koeficijent popustljivosti je f₁₁^* = ${\dfrac{{1}}{{3EI}}}$ l³, pa uvrštavanje u jednadžbu kontinuiteta daje

$${\frac{{1}}{{3EI}}}$$ l^{3 .} X₁ = - $$\Delta_{v}^{}$$,

i, odatle,

X₁ = - $${\frac{{3EI}}{{l^3}}}$$$$\Delta_{v}^{}$$;

negativna vrijednost pokazuje da X₁ djeluje u smjeru suprotnom od pretpostavljenog -- prema dolje, što je i intuitivno jasno.

Radimo li s proračunskim koeficijentima, jednadžba kontinuiteta je

f₁₁ ^. X₁ = - $$\Delta_{v}^{}$$EI,

te, kako je f₁₁ = l³/3,

$${\frac{{l^3}}{{3}}}$$ ^. X₁ = - $$\Delta_{v}^{}$$EI,

odakle je, ponovo,

X₁ = - $${\frac{{3EI}}{{l^3}}}$$$$\Delta_{v}^{}$$.

Kako je prisilni pomak jedino vanjsko djelovanje, momenti savijanja na zadanom statički neodređenom nosaču računaju se prema izrazu

M(x) = X₁ ^. m₁(x);

na lijevom je ležaju moment M(0) = - ${\dfrac{{3EI}}{{l^3}}}$$\Delta_{v}^{}$ ^. l = - ${\dfrac{{3EI}}{{l^2}}}$$\Delta_{v}^{}$, te je momentni dijagram:

Slučaj (2)

Odabrat ćemo sada za osnovni sistem prostu gredu i `ubaciti' zglob na upetom kraju.

Na zadanoj jednostrano upetoj gredi tangenta na njenu uzdužnu os kod upetog ležaja ostaje horizontalna -- kut zaokreta tangente jednak je nuli. Stoga i na osnovnom sistemu mora na mjestu raskinute veze zbroj kuteva zaokreta zbog zamjenjujuće sile ( f₁₁^{* .} X₁) i zbog prisilnog pomaka ( f₁₀^*($\Delta_{v}^{}$)) biti jednak nuli:

f₁₁^{* .} X₁ + f₁₀^*($$\Delta_{v}^{}$$) = 0.

Kut zaokreta f₁₀^*($\Delta_{v}^{}$) određujemo pomoću plana pomaka za zadani pomak na mehanizmu s jednim stupnjem slobode koji nastaje tako da na osnovnom sistemu u točki čiji je pomak zadan raskinemo vezu koja sprečava slobodni pomak po pravcu zadanog pomaka:

Plan pomaka pokazuje da je f₁₀^*($\Delta_{v}^{}$) = - $\Delta_{v}^{}$/l; koeficijent popustljivosti je f₁₁^* = ${\dfrac{{1}}{{3EI}}}$ l, pa uvrštavanje u jednadžbu kontinuiteta daje

$${\frac{{1}}{{3EI}}}$$ l ^. X₁ - $${\frac{{\Delta_v}}{{l}}}$$ = 0,

te je

X₁ = $${\frac{{3EI}}{{l^2}}}$$$$\Delta_{v}^{}$$.

Moment X₁ očito mora djelovati u pretpostavljenom smjeru (suprotnom od vrtnje kazaljke na satu) kako bi poništio zaokret zbog spuštanja ležaja koji je u smjeru vrtnja kazaljke.

Na lijevom je ležaju konačni moment M(0) = X₁ ^. m₁(0) = ${\dfrac{{3EI}}{{l^2}}}$$\Delta_{v}^{}$ ^. 1 = ${\dfrac{{3EI}}{{l^2}}}$$\Delta_{v}^{}$, a momentni je dijagram ...

U općem slučaju višestruko statički neodređenog sistema i-ta jednadžba kontinuiteta ima oblik

$$\sum_{{j=1}}^{n}$$ f_ij^{* .} X_j + f_i0^*(P, M, q, t) + f_i0^*($$\Delta$$) = 0,

gdje je f_i0^*(P, M, q, t) pomak hvatišta sile X_i po pravcu i u smjeru njenog djelovanja, izazvan vanjskim koncentriranim silama P, momentima M, distribuiranim opterećenjima q i temperaturnim razlikama t, dok je f_i0^*($\Delta$) pomak hvatišta sile X_i po pravcu i u smjeru njenog djelovanja koji je izazvan prisilnim pomakom $\Delta$; taj se pomak određuje pomoću plana pomaka. Utjecaj prisilnog pomaka može se pojaviti u svim jednadžbama.

S proračunskim je koeficijentima i-ta jednadžba

$$\sum_{{j=1}}^{n}$$ f_ij ^. X_j + f_i0(P, M, q, t) + E₀I₀ ^. f_i0^*($$\Delta$$) = 0.