previous Primjer 1.    up Metoda sila    contents Sadržaj    next Primjer 3.   


Primjer 2.

Odrediti dijagram momenata savijanja na nosaču sa slike.

Zadana vanjska djelovanja su: q = 40  kN/m', K = 100$ \sqrt{{2}}$  kN (pod kutem od 45o), ts = - 10oC, t1 = + 10oC, t2 = - t1 = - 10oC.

Elementi nosača konstantnog su poprečnog presjeka po cijeloj duljini, i to stupovi 1- 3 i 4- 5: b/h = 36/80  (cm), grede 3- 6 i 6- 5: b/h = 36/60  (cm), zatega 2- 5: čelični profil $ \Box$ 200/200/8  (mm), dok su karakteristike gradiva: stupovi i grede E = 3 . 107  kN/m2, zatega E25 = 2 . 108  kN/m2, za sve $ \alpha_{t}^{}$ = 10-5  K-1.


\includegraphics[scale=0.85]{msk/msk.1}


Iz zadanih podataka izračunavamo momente tromosti ( I = b h3/12) poprečnih presjeka greda i stupova: I12 = I23 = I45 = 0, 01536 m4, I36 = I65 = 0, 00648 m4, a površinu poprečnog presjeka zatege preuzeli smo iz tablica čeličnih profila: F25 = 60, 62 cm2 = 0, 006062 m2.


Sistem je dvaput statički neodređen, pa osnovni sistem nastaje raskidanjem dviju veza. Odabiremo veze koje prenose moment u točki  6 i uzdužnu silu u štapu  2- 5:

\includegraphics[scale=0.9]{msk/msk.2}


Raskinute veze zamjenjujemo parom momenata X1 i parom uzdužnih sila X2. Uvjet neprekinutosti [na osnovnom sistemu pomaci (u ovom primjeru relativni) hvatišta zamjenjujućih sila po pravcima njihova djelovanja, nastali zbog zadanih vanjskih djelovanja i zbog svih zamjenjujućih sila, moraju biti jednaki nuli] daje sustav jednadžbi:

f11* X1 + f12* X2 + f10* = 0,    
f12* X1 + f22* X2 + f20* = 0.    

Koeficijent popustljivosti fij* (za i, j = 1, 2) je pomak hvatišta sile Xi po pravcu i u smjeru njena djelovanja, prouzročen djelovanjima sile Xj = 1, 0:

fij* = $\displaystyle \int\limits_{{(s)}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ m_i(x) \kappa_j(x) + n_i(x) \epsilon_j(x) }\right.$mi(x) $\displaystyle \kappa_{j}^{}$(x) + ni(x) $\displaystyle \epsilon_{j}^{}$(x)$\displaystyle \left.\vphantom{ m_i(x) \kappa_j(x) + n_i(x) \epsilon_j(x) }\right)$ dx,    

gdje su

mi(x) i ni(x) moment i uzdužna sila na osnovnom sistemu izazvani silom Xi = 1, 0 (koja u ovom izrazu ima ulogu virtualne jedinične sile), a

$ \kappa_{j}^{}$(x) i $ \epsilon_{j}^{}$(x) deformacije na osnovnom sistemu izazvane silom Xj = 1, 0:

$\displaystyle \kappa_{j}^{}$(x) = $\displaystyle {\frac{{m_j(x)}}{{EI}}}$        i        $\displaystyle \epsilon_{j}^{}$(x) = $\displaystyle {\frac{{n_j(x)}}{{EF}}}$,

dok je slobodni član fi0* (za i = 1, 2) pomak hvatišta sile Xi po pravcu i u smjeru njena djelovanja, izazvan vanjskim djelovanjima:

fi0* = $\displaystyle \int\limits_{{(s)}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ m_i(x) \kappa_0(x) + n_i(x) \epsilon_0(x) }\right.$mi(x) $\displaystyle \kappa_{0}^{}$(x) + ni(x) $\displaystyle \epsilon_{0}^{}$(x)$\displaystyle \left.\vphantom{ m_i(x) \kappa_0(x) + n_i(x) \epsilon_0(x) }\right)$ dx,    

pri čemu su

$ \kappa_{0}^{}$(x) i $ \epsilon_{0}^{}$(x) deformacije zbog vanjskog djelovanja (uz Xi = 0, i = 1, 2):

$\displaystyle \kappa_{0}^{}$(x) = $\displaystyle {\frac{{M^0(x)}}{{EI}}}$ + $\displaystyle \alpha_{t}^{}$$\displaystyle {\frac{{\Delta t}}{{h}}}$        i        $\displaystyle \epsilon_{0}^{}$(x) = $\displaystyle {\frac{{N^0(x)}}{{EF}}}$ + $\displaystyle \alpha_{t}^{}$ ts

($ \Delta$t je razlika temperatura na `gornjem' i `donjem' rubu poprečnog presjeka, $ \Delta$t = t1 - t2).

U izrazima za koeficijente fij* i fi0* zanemareli smo, kao i obično, utjecaj poprečnih sila, dok ćemo utjecaj uzdužnih sila uzeti u obzir samo u zategi  2- 5.

Kako su stvarni pomaci vrlo mali, u `ručnom' se proračunu njihova stvarna vrijednost fij* obično množi faktorom E0I0, pri čemu se za E0I0 odabire vrijednost EkIk koja se najčešće pojavljuje, te su proračunski koeficijenti i slobodni članovi fij = E0I0fij*, pa sustav jednadžbi postaje:

f11 X1 + f12 X2 + f10 = 0,    
f12 X1 + f22 X2 + f20 = 0.    

Zamijenimo li integral po cijeloj konstrukciji zbrojem integrala po pojedinim elementima, te uz pretpostavku da je uzdužna sila na svakom elementu konstantna, dobivamo izraze za proračunske koeficijente i slobodne članove:

fij = $\displaystyle \sum_{k}^{}$ $\displaystyle {\frac{{E_0 I_0}}{{E_k I_k}}}$ $\displaystyle \int_{{(s_k)}}^{}$mi(x) mj(x) dx + $\displaystyle \sum_{{\bar{k}}}^{}$$\displaystyle {\frac{{E_0 I_0}}{{E_{\bar{k}} F_{\bar{k}}}}}$ ni nj l$\scriptstyle \bar{{k}}$,    
fi0 = $\displaystyle \sum_{k}^{}$ $\displaystyle {\frac{{E_0 I_0}}{{E_k I_k}}}$ $\displaystyle \int_{{(s_k)}}^{}$mi(x)$\displaystyle \left(\vphantom{M^0(x) + E_k I_k \alpha_t \frac{\Delta t}{h_k} }\right.$M0(x) + EkIk $\displaystyle \alpha_{t}^{}$ $\displaystyle {\frac{{\Delta t}}{{h_k}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{M^0(x) + E_k I_k \alpha_t \frac{\Delta t}{h_k} }\right)$dx + $\displaystyle \sum_{{\bar{k}}}^{}$$\displaystyle {\frac{{E_0 I_0}}{{E_{\bar{k}} F_{\bar{k}}}}}$ ni $\displaystyle \bigl($N0 + E$\scriptstyle \bar{{k}}$F$\scriptstyle \bar{{k}}$ $\displaystyle \alpha_{t}^{}$ ts$\displaystyle \bigr)$ l$\scriptstyle \bar{{k}}$ ;    

indeks k prolazi po svim elementima u kojima postoje momenti savijanja (u ovom su primjeru to sve grede i stupovi), a indeks $ \bar{{k}}$ po elementima u kojima se utjecaj uzdužnih sila ne može zanemariti (ovdje je to samo zatega).

Uzet ćemo E0I0 = E12I12, pa je na stupovima $ {\dfrac{{E_0 I_0}}{{E_k I_k}}}$ = 1, a na gredama $ {\dfrac{{E_0 I_0}}{{E_k I_k}}}$ = $ {\dfrac{{0,01536}}{{0,00648}}}$ = 2, 37.


U stanju 1 na osnovni sistem djeluje samo par momenata X1 = 1, 0:

\includegraphics[]{msk/msk.3}

Uvjeti ravnoteže momenata na cijelom nosaču oko ležajeva  1 i  4 te samo na lijevom i samo na desnom dijelu oko zgloba  6 daju za određivanje reakcija dva sustava jednadžbi s po dvije nepoznanice:

$\displaystyle \sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{}$M(4) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ - V11 . 8 - H11 . 4 = 0,  
$\displaystyle \sum_{{\mathrm{lijevi}}}^{}$M(6) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ - V11 . 4 + H11 . 6 + 1 = 0,  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ H11 = 1/8,    V11 = - 1/16;  
$\displaystyle \sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{}$M(1) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ V14 . 8 - H14 . 4 = 0,  
$\displaystyle \sum_{{\mathrm{desni}}}^{}$M(6) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ V14 . 4 - H14 . 10 + 1 = 0,  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ H14 = 1/8,    V14 = 1/16.  

(Uz poznate V11 i H11, reakcije V14 i H14 mogu se izračunati i iz uvjeta $ \sum$Fx = 0 i $ \sum$Fy = 0.)

Sada možemo izračunati momente u karakterističnim točkama:

m13 = - H11 . 6 = - 3/4,    
m16- = - H11 . 6 + V11 . 4 = - 1,    
m15 = H14 . 6 = 3/4    

( m16- je moment neposredno lijevo od točke u kojoj djeluje lijevi moment X1), te nacrtati momentni dijagram \fbox{$m_1$}:

\includegraphics[]{msk/msk.4}

U stanju 2 na osnovni sistem djeluje samo par sila X2 = 1, 0:

\includegraphics[]{msk/msk.5}

Izračunajmo reakcije:

$\displaystyle \sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{}$M(4) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ - V21 . 8 - H21 . 4 = 0,  
$\displaystyle \sum_{{\mathrm{lijevi}}}^{}$M(6) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ - V21 . 4 + H21 . 6 + 1 . 4 = 0,  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ H21 = - 1/2,    V21 = 1/4;  
$\displaystyle \sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{}$Fx = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ H21 - H24 = 0     $\displaystyle \Rightarrow$     H24 = - 1/2,  
$\displaystyle \sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{}$Fy = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ V21 + V24 = 0         $\displaystyle \Rightarrow$     V24 = - 1/4,  

pa momente u karakterističnim točkama:

m22 = - H21 . 2 = - (- 1/2) . 2 = 1,    
m23 = - H21 . 6 - X2 . 4 = - (- 1/2) . 3 - 1 . 4 = - 1,    
m25 = H24 . 6 = - 1/2 . 6 = 3,    

i, na kraju, nacrtajmo dijagram \fbox{$m_2$}:

\includegraphics[]{msk/msk.6}

I napokon, u stanju 0 na osnovni sistem djeluje zadano opterećenje (K i q):


\includegraphics[]{msk/msk.7}

Nakon reakcija,

$\displaystyle \sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{}$M(4) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ - V01 . 8 - H01 . 4 + q . 4 . 6 + Kv . 2 + Kh . 8 = 0,  
$\displaystyle \sum_{{\mathrm{lijevi}}}^{}$M(6) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ - V01 . 4 + H01 . 6 + q . 4 . 2 = 0,  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ H01 = 82, 5  kN,    V01 = 203, 75  kN;  
$\displaystyle \sum_{{\mathrm{cijeli}}}^{}$M(1) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ V04 . 8 - H04 . 4 - Kv . 6 + Kh . 4 - q . 4 . 2 = 0,  
$\displaystyle \sum_{{\mathrm{desni}}}^{}$M(6) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ V04 . 4 - H04 . 10 - Kv . 2 - Kh . 2 = 0,  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ H04 = - 17, 5  kN,    V04 = 56, 25  kN  

[kontrola: $ \sum$Fx = 0   :   H01 - H04 - Kh = 0;      $ \sum$Fy = 0   :   V01 + V04 - q . 4, 0 - Kv = 0],

izračunavamo momente u karakterističnim točkama,

M03 = - H01 . 6 = - 495 kNm,    
M05 = H04 . 6 = - 105 kNm,    
M0K = - H04 . 8 + V04 . 2 = 252, 5 kNm.    

Momentni dijagram na gredi 3- 6 možemo nacrtati tako da na spojnicu momenata u točkama  3, M03 = - 495 kNm, i  6, M06 = 0, `objesimo' parabolu čija je vrijednost u polovini raspona $ {\dfrac{{q l_{36}^2}}{{8}}}$ = 80 kNm.

\scalebox{0.75}{ \includegraphics{msk/msk.8} }


Pri izračunavanju (proračunskih) koeficijenata popustljivosti fij i slobodnih članova fi0 primjenom Vereščaginova teorema pojedine ćemo pribrojnike dosljedno pisati u obliku

fij;k = $\displaystyle {\frac{{E_0 I_0}}{{E_k I_k}}}$  $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle \mathcal {G}$j$\displaystyle \Bigl)$ $\displaystyle \Bigl($gi(xT($\scriptstyle \mathcal {G}$j))$\displaystyle \Bigr)$.

Primjerice, za koeficijent f12 je pribrojnik za kosu gredu 6- 5

f12; 65 = 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 3 . 4 $\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($($\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$(- 1).

Za funkciju gi uzet je moment m1, a za gj moment m2. $ \mathcal {G}$j je, stoga, površina trokuta na gredi  6- 5 u dijagramu m2. Težište tog trokuta je na $ {\frac{{2}}{{3}}}$ duljine grede, od zgloba  6. Trapezni dio dijagrama m1 na  6- 5 dijagonalom je podijeljen na dva trokuta (nacrtajte skicu), pa je gi(xT($\scriptstyle \mathcal {G}$j)) zbroj odgovarajućih odsječaka u njima. Kako se dijelovi dijagrama m1 i m2 nalaze na različitim stranama grede  6- 5, pribrojnik je pomnožen sa -1.

Pri zbrajanju ćemo se uvijek po elementima kretati istim redom: stup  1- 3, stup  4- 5, greda  3- 6, greda  6- 5 te, ako treba, zatega  2- 5.


Koeficijent f11:

f11 = 2$\displaystyle \Bigl[$1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ . 6$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$    
       + $\displaystyle \Bigl[$2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ . 4$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$ + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1 . 4$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 1 + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$    
       + $\displaystyle \Bigl[$2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ . 4$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$ + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1 . 4$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 1 + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$    
  = 2 . 1, 125 + 7, 308 + 10, 335 = 19, 893.    

Iskoristili smo činjenicu da su dijelovi dijagrama m1 na oba stupa jednaki (prvi redak). Trapezni dijelovi dijagrama na gredama dijagonalama su rastavljeni na po dva trokuta (drugi redak: greda  3- 6; treći redak: greda  6- 5).


Koeficijent f22:

f22 = 3$\displaystyle \Bigl[$1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1 . 2$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$ + 1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 3 . 6$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 3$\displaystyle \Bigr)$    
       + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1 . 4$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$ + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 3 . 4$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 3$\displaystyle \Bigr)$    
       + $\displaystyle {\frac{{3\cdot 10^7 \cdot 0,01536}}{{2\cdot 10^8\cdot 0,006062}}}$ (1 . 8) 1    
  = 2 + 18 + 3, 16 + 40.22 + 3, 041 = 63, 38 + 3, 041 = 66, 421.    

Sva tri dijela dijagrama m2 na lijevom stupu međusobno su jednaka (prvi pribrojnik u prvom retku). U trećem je retku prikazan utjecaj uzdužne sile u zategi  2- 5: $ {\dfrac{{E_0 I_0}}{{E_{25} F_{25}}}}$ (n225 l25) n225.


Koeficijent f12 = f21:

f12 = $\displaystyle \Bigl\{$1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1 . 2$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl[$$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$(- 1)    
           + 1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1 . 2$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl[$$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$(- 1)    
           + 1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1 . 2$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl[$$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$$\displaystyle \Bigr\}$    
       + 1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 3 . 6$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$(- 1)    
       + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1 . 4$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$    
       + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 3 . 4$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$(- 1)    
  = 0, 167 - 4, 5 + 3, 95 - 16, 758 = - 17, 141.    

Za gi uzet je m1, a za gj m2. U vitičastim je zagradama prikazan doprinos momenata na lijevom stupu: kako je dio dijagrama m2 na tom stupu sastavljen od tri trokuta, dio dijagrama m1 rastavljen je na trokut i dva trapeza, a trapezi zatim na po dva trokuta (skicirajte); $ \left(\vphantom{\frac{1}{3}\!\cdot\!\frac{3}{4}}\right.$$ {\frac{{1}}{{3}}}$ . $ {\frac{{3}}{{4}}}$$ \left.\vphantom{\frac{1}{3}\!\cdot\!\frac{3}{4}}\right)$ i $ \left(\vphantom{\frac{2}{3}\!\cdot\!\frac{3}{4}}\right.$$ {\frac{{2}}{{3}}}$ . $ {\frac{{3}}{{4}}}$$ \left.\vphantom{\frac{2}{3}\!\cdot\!\frac{3}{4}}\right)$ vrijednosti su na krajevima odsječaka; na donja dva odsječka dijagrami se nalaze na različitim stranama, pa se prva dva pribrojnika množe sa -1.


Koeficijent f10:

f10 = 1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 495 . 6$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$ + 1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 105 . 6$\displaystyle \bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$(- 1)    
       + $\displaystyle \Bigl[$2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 495 . 4$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$ - 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 80 . 4$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$    
       + $\displaystyle \Bigl[$2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 252, 5 . 2$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{7}}{{8}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$(- 1) + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 252, 5 . 2$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{7}}{{8}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$$\displaystyle \Bigr)$(- 1)    
           + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 105 . 2$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{7}}{{8}}}$$\displaystyle \Bigr)$(- 1) + 3 . 107 . 0, 01536 $\displaystyle \Bigl($10-5 . $\displaystyle {\tfrac{{20}}{{0,6}}}$ . 4$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle {\tfrac{{7}}{{8}}}$$\displaystyle \Bigr]$    
  = 742, 50 - 157, 50 + [1955, 25 - 442, 40] + [- 775, 776 - 705, 251 - 278, 608 + 760, 281]    
  = 1098, 496.    

Funkcija gj ovdje je moment M0. Dio dijagrama M0 na gredi 3- 6 prikazan je kao razlika trokuta i parabole (vrijednost parabole u l36/2 je $ {\dfrac{{q l_{36}^2}}{{8}}}$ = 80 kNm), a trapezni dio u dijagramu m1 rastavljen je na dva trokuta (drugi redak).

Na gredi 6- 5 dijagram M0 rastavljen je u šiljku `ispod' sile K na trokut i trapez. U istoj je točki trapezni dio dijagrama m1 rastavljen na dva trapeza; vrijednost m1 u toj je točki $ {\frac{{1}}{{2}}}$$ \bigl($1 + $ {\frac{{3}}{{4}}}$$ \bigr)$ = $ {\frac{{7}}{{8}}}$. Svi su trapezi potom dijagonalama rastavljeni na po dva trokuta. Takav rastav daje prva tri pribrojnika unutar uglatih zagrada u trećem i četvrtom retku. Posljednjim je pribrojnikom prikazan utjecaj temperature: E0I0 $ \bigl($$ \alpha_{t}^{}$ . $ {\frac{{\Delta}}{{h_{65}}}}$ . l36$ \bigr)$ m1(l36/2).


Koeficijent f20:

f20 = $\displaystyle \Bigl\{$1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{495}}{{3}}}$ . 2$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$(- 1)    
           + $\displaystyle \Bigl[$1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{495}}{{3}}}$ . 2$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$ + 1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{2\cdot 495}}{{3}}}$ . 2$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$(- 1)    
           + $\displaystyle \Bigl[$1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{2\cdot 495}}{{3}}}$ . 2$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$ + 1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 495 . 2$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$$\displaystyle \Bigr\}$    
       + 1$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 105 . 6$\displaystyle \Bigl)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 3$\displaystyle \Bigr)$    
       + $\displaystyle \Bigl[$2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 495 . 4$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$ - 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 80 . 4$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 1$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigr]$    
       + $\displaystyle \Bigl[$2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 252, 5 . 2$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{2}}}$$\displaystyle \Bigr)$ + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 252, 5 . 2$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{2}}}$ + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . 3$\displaystyle \Bigr)$    
           + 2, 37$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 105 . 2$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{2}}{{3}}}$ . 3 + $\displaystyle {\tfrac{{1}}{{3}}}$ . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{2}}}$$\displaystyle \Bigr)$    
           + 3 . 107 . 0, 01536 . $\displaystyle \Bigl($10-5 . $\displaystyle {\tfrac{{20}}{{0,6}}}$ . 4$\displaystyle \sqrt{{2}}$$\displaystyle \Bigr)$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\tfrac{{1}}{{2}}}$ . 3$\displaystyle \Bigr)$(- 1)$\displaystyle \Bigr]$    
       + 3 . 107 . 0, 01536 . $\displaystyle \bigl($10-5 . (- 10) . 8$\displaystyle \bigr)$ . 1    
  = { - 110, 0 - 330, 0 + 550, 0} + 630, 0 + [1564, 20 - 252, 80] + [846, 301 + 1692, 601 + 879, 818 - 1303, 339] - 368, 64    
  = 3798, 141.    

Na lijevom je stupu dijagram M0, u skladu s oblikom dijagrama m2, podijeljen u trećinama visine na trokut i dva trapeza (vitičaste zagrade i unutar njih: prvi redak -- donji trokut, drugi redak -- srednji trapez, treći redak -- gornji trapez).

I sada smo dijagram M0 na gredi  3- 6 prikazali razlikom trokuta i parabole (peti redak).

U gredi 6- 5 promjenjiva temperatura uzrokuje zakrivljenost suprotnog predznaka nego moment m2, pa se odgovarajući pribrojnik množi sa -1.

Posljednji pribrojnik prikazuje utjecaj temperaturi u zategi  2- 5: E0I0 . ($ \alpha_{t}^{}$ . ts . l25) . n225.


Uvrstimo li izračunate koeficijente u jednadžbe kontinuiteta, dobivamo sustav

19, 893X1 -  17, 141X2 + 1098, 496 = 0,    
-17, 141X1 +  66, 421X2 + 3798, 141 = 0,    

ili, matrično:

$\displaystyle \begin{bmatrix} \;\;19,893 & -17,141 \\ -17,141 & \;\;\;66,421 \\ \end{bmatrix}$$\displaystyle \begin{bmatrix} X_1 X_2 \end{bmatrix}$ = $\displaystyle \begin{bmatrix} -1098,496 -3798,141 \end{bmatrix}$,

čije je rješenje:

X1 = - 134, 37;            X2 = - 91, 86

(negativne vrijednosti pokazuju da i moment i sila djeluju u smjerovima suprotnima od pretpostavljenih).

Traženi momentni dijagram na izvornom statički neodređenom sistemu konstruira se prema izrazu

M(x) = M0(x) + X1m1(x) + X2m2(x).


\includegraphics[]{msk/msk.9}

Primjerice, u točki 3

M3 = - 495, 0 + (- 134, 37) . (- $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{4}}}$) + (- 91, 86) . (- 1) = - 302, 26,

u točki 6

M6 = 0 + (- 134, 37) . (- 1) + 0 = 134, 37,

a `ispod' sile K

MK = 252, 5 + (- 134, 37) . (- $\displaystyle {\tfrac{{7}}{{8}}}$) + (- 91, 86) . $\displaystyle {\tfrac{{3}}{{2}}}$ = 232, 28.


previous Primjer 1.    up Metoda sila    contents Sadržaj    next Primjer 3.   
KF    2001-12-05