Utjecajne linije na statički određenim sistemima

Funkcija položaja jedinične sile čija je vrijednost iznos određene statičke ili geometrijske veličine izazvane tom silom na odabranom mjestu na nosaču naziva se utjecajnom funkcijom za tu veličinu. Kod utjecajnih je funkcija, dakle, zadan položaj (točka x_t) u kojem se izračunava promatrana veličina, a jedinična se sila `kreće' po nosaču te je varijabla x položaj jedinične sile, za razliku od dijagrama unutarnjih sila ili od progibnih linija, koji za zadano, nepomično opterećenje, prikazuju te sile ili pomake u svim presjecima uzduž nosača.

Iznos veličine $\cal {F}$ (npr.: reakcije, unutarnje sile, pomaka) u presjeku x_t, kao funkcija položaja x jedinične sile, označava se najčešće sa  $\eta_{{{\cal{F}}_t}}^{}$(x) ili, kraće, sa  $\eta_{{{\cal{F}}_t}}^{}$.

Grafički prikaz utjecajne funkcije za linijske nosače naziva se utjecajnom linijom, a za plošne nosače utjecajnom plohom.

Pomoću utjecajne funkcije/linije za neku veličinu može se odrediti iznos te veličine pri bilo kojem opterećenju nosača. Primjerice, neka su $\eta_{A}^{}$(x), $\eta_{B}^{}$(x) i $\eta_{D}^{}$(x) utjecajne funkcije za reakcije na Gerberovom nosaču. Djeluje li na nosač u točki x₁ sila F, bit će A = F ^. $\eta_{A}^{}$(x₁), B = F ^. $\eta_{B}^{}$(x₁) i D = F ^. $\eta_{D}^{}$(x₁). `Pomakne' li se sila u točku x₂, bit će A = F ^. $\eta_{A}^{}$(x₂), B = F ^. $\eta_{B}^{}$(x₂) i D = F ^. $\eta_{D}^{}$(x₂). I tako dalje...

Općenije, ako je $\eta_{{{\cal{F}}_t}}^{}$(x) utjecajna funkcija za statičku veličinu $\cal {F}$ u presjeku x_t i ako na nosač djeluju sile F_k u točkama x_k, k = 1,..., n, tada je $\cal {F}$_t = $\sum_{{k=1}}^{n}$F_k ^. $\eta_{{{\cal{F}}_t}}^{}$(x_k). Ako pak na nosač djeluje distribuirano opterećenje q(x), bit će $\cal {F}$_t = $\int_{0}^{{\ell}}$q(x) $\eta_{{{\cal{F}}_t}}^{}$(x) dx. Napokon, za koncentrirani moment M u točki x_M bit će $\cal {F}$_t = M ^. tg $\alpha_{M}^{}$, gdje je $\alpha_{M}^{}$ kut nagiba utjecajne linije u x_M.

Na statički određenim sistemima utjecajne su funkcije za statičke veličine po segmentima linearne funkcije ili konstante, pa su utjecajne linije sastavljene od dijelova pravaca, dok su na neodređenim sistemima utjecajne linije po dijelovima krivulje; utjecajne linije za geometrijske veličine na svim su sistemima krivulje. Ograničit ćemo se na utjecajne funkcije i utjecajne linije za statičke veličine -- reakcije i unutarnje sile.

Utjecajne funkcije i utjecajne linije za neku statičku veličinu mogu se odrediti statičkim ili kinematičkim postupkom. U statičkom se postupku neposredno slijedi definicija utjecajne funkcije: iz uvjeta ravnoteže (dijela) nosača opterećenoga jediničnom silom u po volji odabranoj točki x izvodi se izraz za iznos $\eta_{{{\cal{F}}_t}}^{}$ tražene veličine u obliku funkcije točke x. Kinematički se pak postupak temelji na teoremu o virtualnim pomacima, odnosno, na Bettijevu teoremu uzajamnosti: može se pokazati da je utjecajna linija jednaka progibnoj liniji zamišljenog sistema, nastalog raskidanjem veze koja u izvornom nosaču prenosi dotičnu veličinu, ako se na mjestu i u smjeru te veličine zada jedinični pomak (tzv. teorem Mueller-Breslaua).

Greenova funkcija je matematička formalizacija i poopćenje pojma utjecajne funkcije.