Primjer 1.

Statičkim postupkom odrediti utjecajne funkcije i utjecajne linije za reakcije i unutarnje sile u zadanim presjecima na Gerberovom nosaču sa slike.

Ishodište (desnog) koordinatnog sustava neka je u točki  A nosača i neka se os x podudara s osi nosača, usmjerena od A prema  D. Pretpostavljamo da jedinična sila djeluje u pozitivnom smjeru osi y (dakle, `prema gore') u točki na osi nosača s ordinatom x.

Vezna sila $\eta_{{T_C}}^{}$(x). Kao što je iz poglavlja o Gerberovim nosačima poznato, pri oblikovanju jednadžbi ravnoteže nosač u zglobu  C rastavljamo na dijelove između kojih djeluju vezne sile -- poprečna, $\eta_{{T_C}}^{}$, i uzdužna, $\eta_{{N_C}}^{}$. Za vertikalno je opterećenje $\eta_{{N_C}}^{}$ $\equiv$ 0.

Ako se jedinična sila nalazi na dijelu C- D nosača, njezin se utjecaj na neku statičku veličinu na `osnovnom' dijelu A- C može izraziti pomoću vezne sile  $\eta_{{T_C}}^{}$.

Prvo ćemo, stoga, odrediti utjecajnu funkciju  $\eta_{{T_C}}^{}$(x). Jednadžba ravnoteže momenata oko točke  D za dio⁶ C- D,

$$\eta_{{T_C}}^{}$$(x) ^. (x_D - x_C) - 1 ^. (x_D - x) = 0,

daje

$$\eta_{{T_C}}^{}$$(x) = $${\frac{{x_D - x}}{{x_D - x_C}}}$$.

Jedinična sila na dijelu A- C, naravno, ne utječe na  $\eta_{{T_C}}^{}$, pa je, za cijeli nosač:

$$\eta_{{T_C}}^{}$$(x) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x < x_C, [.7ex] \dfrac{x_D - x}{x_D - x_C}, & x_C < x \leq x_D. \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x < x_C, [.7ex] \dfrac{x_D - x}{x_D - x_C}, & x_C < x \leq x_D. \end{array}$$

U točki x = x_C utjecajna funkcija nije definirana. Ako se jedinična sila nalazi neposredno lijevo od x_C, formalno: x = x_C^-, mjerodavan je gornji izraz te je $\eta_{{T_C}}^{}$(x_C^-) = 0. Ako je pak sila neposredno desno od x_C, x = x_C⁺, vrijedi donji izraz. Da bismo izračunali $\eta_{{T_C}}^{}$(x_C⁺), u taj izraz možemo uvrstiti x = x_C = 5 jer je matematička funkcija, neovisno o mehaničkoj interpretaciji, u toj točki definirana, pa dobivamo $\eta_{{T_C}}^{}$(x_C⁺) = 1. Dakle, pri prijelazu sa x_C^- na x_C⁺ funkcija $\eta_{{T_C}}^{}$(x) ima skok za 1.

Kako je utjecajna funkcija linearna, za crtanje utjecajne linije na segmentu $\langle$x_C, x_D] potrebna nam je još jedna točka: u x = x_D ordinata je 0, što je očito i iz statičkih razloga. Naime, silu koja nad ležajem djeluje u smjeru ležajne veze (u ovom slučaju vertikalnu jediničnu silu nad horizontalno pomičnim zglobnim ležajem D) neposredno cijelu preuzima ta veza, pa će utjecaj te sile na druge reakcije ili na unutarnje sile (ovdje na silu $\eta_{{T_C}}^{}$) biti jednak nuli. Općenito će stoga vrijednosti utjecajnih funkcija u ležajnim točkama biti jednake nuli, odnosno, utjecajne će funkcije nad ležajevima prolaziti kroz nulu, osim ako je riječ o utjecajnoj funkciji za određenu reakciju u tom ležaju. (Slika: Sljedeći korak)

Reakcija $\eta_{{D}}^{}$(x). Iz uvjeta ravnoteže momenata oko točke  C izračunavamo utjecajnu funkciju za reakciju u ležaju  D na dijelu C- D, pa je

$$\eta_{{D}}^{}$$(x) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x \leq x_C, [.7ex] -\dfrac{x - x_C}{x_D - x_C}, & x_C < x \leq x_D. \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x \leq x_C, [.7ex] -\dfrac{x - x_C}{x_D - x_C}, & x_C < x \leq x_D. \end{array}$$

Za prvu točku utjecajne linije na segmentu $\langle$x_C, x_D] izračunavamo $\eta_{{D}}^{}$(x_D) = - 1. Kako silu koja djeluje nad ležajem uravnotežuje ležajna reakcija, vrijednost će utjecajne funkcije za reakciju u ležajnoj točki uvijek biti -1.

Kao drugu točku uzimamo $\eta_{{D}}^{}$(x_C⁺) = $\eta_{{D}}^{}$(5) = 0. Budući da je u x_C funkcija $\eta_{D}^{}$(x) definirana i neprekidna, možemo x_C `staviti' u desni segment, pa su segmenti [0, x<sub>C</sub>$\rangle$ i [x<sub>C</sub>, x<sub>D</sub>]. Matematički možda ne posve korektno, činjenicu da je $\eta_{D}^{}$(x) neprekidna u x<sub>C</sub> možemo istaknuti `preklapanjem' rubova segmenata: [0, x_C] i [x_C, x_D]. Kako je, međutim, na tim segmentima utjecajna funkcija opisana različitim izrazima, utjecajna se linija u x = x_C lomi. (Slika: Sljedeći korak)

Reakcija $\eta_{{A}}^{}$(x). Pri određivanju utjecajne funkcije za (vertikalnu) reakciju u ležaju  A jediničnu silu postavljamo prvo na dio A- C, a zatim na dio C- D; u oba slučaja promatramo ravnotežu momenata oko točke  B na dijelu  A- C (nacrtajte skice).

Za položaj jedinične sile između točaka A i B uvjet ravnoteže glasi

- $$\eta_{{A}}^{}$$(x) ^. x_B - 1 ^. (x_B - x) = 0,

a za njen položaj između točaka B i C

- $$\eta_{{A}}^{}$$(x) ^. x_B + 1 ^. (x - x_B) = 0;

obje jednadžbe daju za utjecajnu funkciju izraz

$$\eta_{{A}}^{}$$(x) = - $${\frac{{x_B - x}}{{x_B}}}$$

jer je x - x_B = - (x_B - x), pa je utjecajna linija za cijeli dio nosača između točaka A i C odsječak istoga pravca, odnosno, preko ležaja  B prelazi bez loma.

Posebno je $\eta_{A}^{}$(x_A) = $\eta_{A}^{}$(0) = - 1, $\eta_{A}^{}$(x_B) = 0 i, uz zadane x-koordinate točaka, $\eta_{A}^{}$(x_C) = $\eta_{A}^{}$(5) = 1/4. Vidimo da i ova utjecajna linija nad ležajem B prolazi kroz nulu.

Djelovanje jedinične sile na dijelu C- D prenosi se na dio A- C preko zgloba  C, pa se njen utjecaj može prikazati pomoću sile $\eta_{{T_C}}^{}$. Raspisivanje uvjeta ravnoteže $\sum\limits_{{\mathsf{A-C}}}^{}$M_(B) = 0 daje⁷

- $$\eta_{{A}}^{}$$(x) ^. x_B + $$\eta_{{T_C}}^{}$$(x) ^. (x_C - x_B) = 0,

te je

$$\eta_{{A}}^{}$$(x) = $${\frac{{x_C - x_B}}{{x_B}}}$$ $$\eta_{{T_C}}^{}$$(x) = $${\tfrac{{1}}{{4}}}$$ $$\eta_{{T_C}}^{}$$(x).

Za jednu točku utjecajne linije uvrštavamo x = x_C (iako, kao što smo rekli, $\eta_{{T_C}}^{}$(x_C) nije definirana), pa je pripadna ordinata 1/4, vrijednost koju smo dobili i za jediničnu silu na dijelu A- C. U x_C utjecajna se linija, dakle, lomi, ali nema skoka. Kako je $\eta_{{A}}^{}$(x) za silu na dijelu C- D jednaka funkciji $\eta_{{T_C}}^{}$(x) pomnoženoj konstantom, $\eta_{{A}}^{}$(x_D) = $\eta_{{T_C}}^{}$(x_D) = 0; da je ta vrijednost jednaka nuli možemo zaključiti i po tome što je u točki  D ležaj.

Za cijeli je nosač, dakle:

$$\eta_{{A}}^{}$$(x) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} -\dfrac{x_B - x}{x_B}, & 0... ...x_B}{x_B (x_D - x_C)} \: (x_D - x), & x_C < x \leq x_D; \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ll} -\dfrac{x_B - x}{x_B}, & 0 \leq x \leq x_C, \... ...c{x_C - x_B}{x_B (x_D - x_C)} \: (x_D - x), & x_C < x \leq x_D; \end{array}$$

drugi smo izraz razvili uvrštavanjem izraza za $\eta_{{T_C}}^{}$(x). (Slika: Sljedeći korak)

Reakcija $\eta_{{B}}^{}$(x). Utjecajnu funkciju za reakciju u ležaju B odredit ćemo na sličan način iz jednadžbi ravnoteže momenata na dijelu A- C oko točke  A:

$$\eta_{{B}}^{}$$ za jediničnu silu na dijelu A- C,

$$\eta_{{B}}^{} \eta_{{T_C}}^{}$$ za jediničnu silu na dijelu C- D.

Dobivamo:

$$\eta_{{B}}^{}$$(x) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} -\dfrac{x}{x_B}, & 0 \leq ... ... -\dfrac{x_C}{x_B} \eta_{T_C}(x), & x_C < x \leq x_D. \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ll} -\dfrac{x}{x_B}, & 0 \leq x \leq x_C, [2.5ex] -\dfrac{x_C}{x_B} \eta_{T_C}(x), & x_C < x \leq x_D. \end{array}$$

Karakteristične vrijednosti za crtanje utjecajne linije su: $\eta_{{B}}^{}$(0) = 0, $\eta_{{B}}^{}$(x_B) = - 1, $\eta_{{B}}^{}$(x_C) = - 5/4, $\eta_{{B}}^{}$(x_D) = 0; za x = x_C oba izraza daju istu vrijednost. Vidimo da preko ležaja B utjecajna linija prelazi bez loma. (Slika: Sljedeći korak)

Sile u presjeku t. Utjecajne funkcije za unutarnje sile možemo izraziti pomoću funkcija za reakcije i za veznu silu.

Vidjeli smo da se izrazi za utjecajne funkcije za reakcije mijenjaju pri prijelazu preko zgloba, pa se utjecajna linija u zglobu lomi. To vrijedi i za utjecajne funkcije i utjecajne linije za sile u zadanom presjeku. Osim toga, izrazi za utjecajne funkcije promijenit će se i pri prijelazu preko tog presjeka. Utjecajna linija za moment savijanja imat će u točki presjeka lom, a utjecajna linija za poprečnu silu skok. S druge strane, kao što primjer utjecajne funkcije $\eta_{A}^{}$(x) pokazuje, uzmemo li u obzir predznak kraka jedinične sile, izraz za utjecajnu funkciju ostaje isti pri prijelazu preko ležaja, pa utjecajna linija prelazi preko ležaja bez loma.

Izrazi za utjecajne funkcije za sile u presjeku t bit će stoga sastavljeni od tri dijela, za segmente A- t, t- C i  C- D.

Pretpostavit ćemo prvo da jedinična sila djeluje lijevo od presjeka t i izdvojiti dio desno od presjeka, do zgloba  C. Na taj dio djeluje, osim sila u presjeku, samo reakcija $\eta_{B}^{}$ (nacrtajte skicu). Označimo li sumiranje od točke A do presjeka t te od presjeka t do točke B sa $\sum_{{A-(t)}}^{}$ i $\sum_{{(t)-B}}^{}$, a sa M_(t) moment oko težišta presjeka  t (M_(t) treba razlikovati od M_t, unutarnje sile u presjeku  t), jednadžbe ravnoteže bit će:

$$\sum_{{({t})-\mathsf{B}}}^{} \eta_{{M_{{t}}}}^{} \eta_{B}^{}$$

$$\sum_{{({t})-\mathsf{B}}}^{} \eta_{{T_{{t}}}}^{} \eta_{B}^{}$$

Iz njih neposredno slijede izrazi za utjecajne funkcije:

$$\eta_{{M_{{t}}}}^{} \eta_{B}^{}$$

$$\eta_{{T_{{t}}}}^{} \eta_{B}^{}$$

Ako pak jedinična sila djeluje desno od presjeka t, na dijelu A- C ili na dijelu C- D, izdvojit ćemo dio od ležaja  A do presjeka jer na njega djeluju samo sile u presjeku i reakcija $\eta_{A}^{}$ (nacrtajte skicu). Jednadžbe ravnoteže tog dijela su:

$$\sum_{{\mathsf{A}-({t})}}^{} \eta_{A}^{} \eta_{{M_{{t}}}}^{}$$

$$\sum_{{\mathsf{A}-({t})}}^{} \eta_{A}^{} \eta_{{T_{{t}}}}^{}$$

pa su izrazi za utjecajne funkcije:

$$\eta_{{M_{{t}}}}^{} \eta_{A}^{}$$

$$\eta_{{T_{{t}}}}^{} \eta_{A}^{}$$

Za cijeli je nosač, uvrstimo li izraze za $\eta_{A}^{}$(x) i $\eta_{B}^{}$(x):

$$\eta_{{M_{{t}}}}^{} \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} -\dfrac{x_B - x_{{t}}}{x_B}\:... ...- x_B)}{x_B (x_D - x_C)} \: (x_D - x), & x_C < x \leq x_D; \end{array}}\right. \begin{array}{ll} -\dfrac{x_B - x_{{t}}}{x_B}\: x, & 0 \leq x \le... ...} (x_C - x_B)}{x_B (x_D - x_C)} \: (x_D - x), & x_C < x \leq x_D; \end{array}$$

$$\eta_{{T_{{t}}}}^{} \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} -\dfrac{x}{x_B}, & 0 \leq x <... ... - x_B}{x_B (x_D - x_C)} \: (x_D - x), & x_C < x \leq x_D. \end{array}}\right. \begin{array}{ll} -\dfrac{x}{x_B}, & 0 \leq x < x_{{t}}, [2.5e... ...frac{x_C - x_B}{x_B (x_D - x_C)} \: (x_D - x), & x_C < x \leq x_D. \end{array}$$

Uvrštavanjem zadanih apscisa izračunavamo karakteristične vrijednosti za crtanje utjecajnih linija:

x :	0	xt	xB	xC	xD
$\eta_{{M_{{t}}}}^{}$ :	0	-1	0	1/2	0

x :	0	xt-	xt+	xB	xC	xD
$\eta_{{T_{{t}}}}^{}$ :	0	-1/2	1/2	0	-1/4	0

(Slika: Sljedeći korak)

U x = x_t ujecajna se linija $\eta_{{M_{{t}}}}^{}$ lomi. Kako je funkcija $\eta_{{M_{{t}}}}^{}$ u x = x_t definirana i neprekidna, svejedno je izračunavamo li $\eta_{{M_{{t}}}}^{}$(x_t) prema prvom ili prema drugom izrazu. Budući da je koeficijent smjera segmenta utjecajne linije lijevo od presjeka tg $\varphi_{\ell}^{}$ = - ${\dfrac{{x_B - x_{{t}}}}{{x_B}}}$, a segmenta desno od presjeka tg $\varphi_{d}^{}$ = - ${\dfrac{{x_{{t}}}}{{x_B}}}$, tangens kuta između segmenata je tg $\varphi$ = - 1; vidjet ćemo da to vrijedi općenito za utjecajne linije za moment. Kako pretpostavljamo da je riječ o malim kutevima, vrijedi $\varphi$ $\approx$ tg $\varphi_{k}^{}$.

Utjecajna funkcija $\eta_{{T_{{t}}}}^{}$(x) u presjeku t nije definirana, a između vrijednosti neposredno lijevo i neposredno desno od presjeka postoji skok za 1. Kako segmenti pravaca na x $\in$ [0, x_t$\rangle$ i na x $\in$ $\langle$x_t, x_C] imaju isti koeficijent smjera, -1/x_B, ti su segmenti međusobno paralelni. Obje tvrdnje vrijede općenito za utjecajnu liniju za poprečnu silu u nekom presjeku (koji nije u zglobu -- usporedite sa $\eta_{{T_C}}^{}$).

Sile u presjeku s. Sile koje djeluju na dijelu A- C, `osnovnom' dijelu nosača, ne utječu na unutarnje sile i reakcije na `oslonjenom' dijelu C- D, pa je $\eta_{{T_{{s}}}}^{}$ $\equiv$ 0 i $\eta_{{M_{{s}}}}^{}$ $\equiv$ 0 za x $\in$ [0, x_C].

Nalazi li se jedinična sila desno od presjeka s, na izdvojeni dio nosača C- s djeluje, uz silu $\eta_{{T_{{s}}}}^{}$ i moment $\eta_{{M_{{s}}}}^{}$, samo sila $\eta_{{T_C}}^{}$, a ako je sila lijevo od presjeka (ali, naravno, desno od zgloba  C), na dio s- D djeluju $\eta_{{T_{{s}}}}^{}$, $\eta_{{M_{{s}}}}^{}$ i $\eta_{D}^{}$. Izrazi za utjecajne linije mogu se lako izvesti iz jednadžbi ravnoteže odgovarajućih dijelova, pa je:

$$\eta_{{T_{{s}}}}^{} \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x \leq x_C, \e... ...C < x < x_{{s}}, \eta_{T_C}(x), & x_{{s}} < x \leq x_D; \end{array} }\right. \begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x \leq x_C, \eta_D(x), & x_C < x < x_{{s}}, \eta_{T_C}(x), & x_{{s}} < x \leq x_D; \end{array}$$

$$\eta_{{M_{{s}}}}^{} \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x \leq x_C, (x... ...x_{{s}} - x_C)\cdot \eta_{T_C}(x), & x_{{s}} < x \leq x_D. \end{array} }\right. \begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x \leq x_C, (x_D - x_{{s}})\cdot... ...}}, -(x_{{s}} - x_C)\cdot \eta_{T_C}(x), & x_{{s}} < x \leq x_D. \end{array}$$

Uvrštavanjem izraza za $\eta_{{T_C}}^{}$(x) i $\eta_{D}^{}$(x), te, potom, zadanih apscisa, dobivamo vrijednosti

$$\eta_{{M_{{s}}}}^{}$$(x_s) = - 2/3,    $$\eta_{{T_{{s}}}}^{}$$(x_s^-) = - 1/3,    $$\eta_{{T_{{s}}}}^{}$$(x_s⁺) = 2/3

pomoću kojih možemo nacrtati utjecajne linije $\eta_{{M_{{s}}}}^{}$, $\eta_{{T_{{s}}}}^{}$. (Slika: Sljedeći korak)

... dio⁶

Nacrtajte skicu tog dijela nosača sa svim silama koje na njega djeluju. Kako sila $\eta_{{T_C}}^{}$(x) djeluje u presječnoj ravnini čija je vanjska normala usmjerena prema - x, pozitivni je smjer te sile smjer - y, pa je njen moment oko točke D pozitivan.

... daje⁷

Podsjećamo da je dogovorni pozitivni smjer sile $\eta_{{T_C}}^{}$ pri djelovanju na dio A-C smjer + y.