Prodorne krivulje stožaca, valjaka i sfera



Prodorna krivulja dviju ploha koje su stošci ili valjci 2. stupnja ili sfere, je prostorna algebarska krivulja 4. reda.

Postoje dvije vrste algebarskih prostornih krivulja 4. reda (I. i II. vrste). One koje su I. vrste nastaju kao prodorne krivulje dviju kvadrika, a one II. vrste su dio raspadnute prodorne krivulje 6. reda koja je presjek jedne pravčaste plohe 3. stupnja i jedne pravčaste plohe 2. stupnja ako te plohe imaju jedan zajednički pravac i ako je on dvostruki pravac plohe 3. stupnja.

Mi ćemo, naravno, obrađivati samo prostorne krivulje 4. reda I. vrste i to one koje su prodorne krivulje stožaca, valjaka i sfera.

Takva krivulja može imati najviše jednu dvostruku točku, a da bude prava, tj. da ne dođe do njezina raspada.

Razlikujemo 3 osnovna oblika pravih prostornih krivulja 4. reda I. vrste:
  • jednodijelne,
  • dvodijelne i
  • prostorne krivulje 4. reda s jednom dvostrukom točkom.

    Razlikujemo 4 oblika raspada prostornih krivulja 4. reda:
  • krivulja 3. reda i pravac,
  • 2 krivulje 2. reda,
  • krivulja 2. reda i 2 pravca,
  • 4 pravca.

    PRIMJERI PRAVIH PROSTORNIH KRIVULJA 4. REDA

    Ove je slike moguće rotirati pomoću miša. To zahtijeva instalaciju Jave na računalu.
    Ako s tim imate bilo kakvih problema, povežite se na datoteku sa statičnim slikama.     		Loading sample geometry.
    jednodijelna     		Loading sample geometry.
    dvodijelna     		Loading sample geometry.
    s dvostrukom točkom


    PRIMJERI RASPADA (DEGENERACIJE) PROSTORNIH KRIVULJA 4. REDA

    Loading sample geometry.
    krivulja 3. reda i pravac     		Loading sample geometry.
    dvije krivulje 2. reda     		Loading sample geometry.
    krivulja 2. reda i dva pravac     		Loading sample geometry.
    četiri pravca \(^*\)


    Red prostorne krivulje je invarijanta projiciranja, tj. prostorna krivulje \(\small n-\)toga reda projicirat će se u ravninsku krivulju istoga reda.
    Naime, bilo koji pravac ravnine projekcije možemo smatrati projekcijom neke projicirajuće ravnine.
    Budući da svaka ravnina siječe prostornu krivulju \(\small n-\)toga reda u \(\small n\) točaka, to će i proizvoljno odabrani pravac ravnine projekcije sjeći ravninsku projekciju te krivulje u \(\small n\) točaka, tj. projekcija prostorne krivulje \(\small n-\)tog reda je ravninska krivulja \(\small n-\)tog reda.
    Budući da ravninska krivulja može imati više dvostrukih točaka nego prostorna istoga reda (koliko?), svaka se prostorna krivulja može projicirati u ravninsku krivulju koja ima više dvostrukih točaka od nje.

  • Pomičite gornje slike i promatrajte promjenu projekcije prostorne krivulje. Postavite ju tako da ravninska projekcija ima jednu, dvije, tri dvostruke točke ili jednu trostruku.

    \(^*\) Točka u kojoj je sijeku četiri pravca je četverostruka točka raspadnute prodorne krivulje. Ona se računa kao 6 dvostrukih točaka.
    Prostorna krivulja 4. reda može na više načina raspasti na 4 pravca, ali budući da će se u našim primjerima pojavljivati isključivo ovakvi raspadi (ponekad će četrevostruka točka biti beskonačno daleka), ovdje smo kao primjer istakli upravo taj slučaj.

    PRODOR DVA STOŠCA

    PRODOR STOŠCA I VALJKA

    PRODOR DVA VALJKA

    PRODORI SA SFEROM