Osnovni princip konstrukcije točaka prodorne krivulje dvaju stožaca



Opći princip konstrukcije točaka prodorne krivulje dviju ploha sastoji se u tome da prvo odaberemo neki sistem ravnina, a zatim ravninama tog sistema siječemo obe plohe.
Svaka ravnina sistema siječe svaku od ploha po nekoj ravninskoj krivulji, a dvije takve krivulje sijeku se u točkama koje su zajedničke obim plohama.
To su točke prodorne krivulje koje leže u promatranoj ravnini sistema.

Ravnine sistema odabiremo tako da su njihovi presjeci sa zadanim plohama što jednostavniji, tj. da nam omogućuju da što jednostavnijim konstruktivnim postupkom dobijemo dovoljno velik broj točaka prodorne krivulje.
U geometriji ravnala i šestara najpovoljnije presječne krivulje su pravci i kružnice.

U slučaju konstrukcije točaka prodorne krivulje dvaju stožaca, najpovoljnije je odabrati takav sistem ravnina koji oba stošca siječe po pravcima, tj. po njihovim izvodnicama.

Budući da svaka ravnina koja prolazi vrhom stošca siječe taj stožac po izvodnicama, sistem onih ravnina koje dva stošca sijeku po pravcima prolazi vrhovima tih stožaca.
Takve ravnine, dakle, čine pramen ravnina koje prolaze spojnicom vrhova stožaca u prodoru.

Svaka ravnina tog pramena siječe svaki od stožaca u prodoru u dvije izvodnice.
Te dvije izvodnice sijeku se u 6 točaka, od koji su dvije vrhovi stožaca, a 4 preostala sjecišta su točke prodorne krivulje. 		desni klik \( \rightarrow \) PLAY
Konstruirati prodornu krivulju znači odrediti skup realnih točaka te krivulje.

Izvodnice, po kojima ravnine sistema sijeku stošce, mogu biti realne i različite, mogu se podudarati (ako je ravnina sistema tangencijalna ravnina stošca), a mogu biti i imaginarne.

Ako je ravnina sistema takva da se u njoj za svaki od stožaca podudaraju dvije presječne izvodnice, to znači da je ona tangencijalna za obe plohe te da je sjecište dviju presječnih izvodnica dvostruka točka prodorne krivulje zadanih stožaca (vidi sliku).

Primjeri prodornih krivulja dvaju stožaca

Prave krivulje 4. reda

Ako niti jedan stožac ne prodire u potpunosti kroz onaj drugi, tj. na svakom od stožaca u prodoru postoje izvodnice koje nemaju realnih probodišta s drugim stošcem, prodorna je krivulja jednodijelna. Takav prodor nazivamo zadorom. Ako jedan od stožaca u potpunosti prodire kroz onaj drugi, tj. ako svaka od njegovih izvodnica probada drugi stožac u dvije realne točke, prodorna je krivulja dvodijelna.
Takav prodor nazivamo potpunim prodorom.

ZADOR - jednodijelna krivulja
POTPUNI PRODOR - dvodijelna krivulja


Prodorna krivulja dvaju stožaca imati će dvostruku točku u dva slučaja:



Ako oba stošca imaju u jednoj točki (koja je regularna točka svakog od njih) zajedničku tangencijalnu ravninu, ta je točka dvostruka točka njihove prodorne krivulje. Ako jedan od stožaca prolazi vrhom onog drugog. Budući da je vrh dvostruka točka stošca, biti će on i dvostruka točka prodorne krivulje.

prodor s DVOSTRUKOM TOČKOM
U dvostrukoj točki postoji zajednička tangencijalna ravnina.
prodor s DVOSTRUKOM TOČKOM
Dvostruka točka je vrh jednog od stožaca u prodoru.


Raspadnute krivulje 4. reda



Do potpunog raspada prodorne krivulje dvaju stožaca dolazi u slučaju kada stošci imaju ist vrh.
Naime, tada stošci imaju zajedničke četiri izvodnice koje su spojnice njihovog vrha sa četiri sjecišta njihovih osnovica (u bilo kojoj ravnini koja ne prolazi vrhom).
Budući da ta sjecišta mogu biti realna i različita, realna i poklopljena ili u parovima konjugirano imaginarna, iste takve mogu biti i presječne izvodnice.

Dakle, svaka dva stošca sa zajedničkim vrhom prodiru se u četiri pravca koji prolaze njihovim vrhom.

Kod prodora dvaju stožaca, ne može doći do raspada prodorne krivulje 4. reda na dva različita pravca i koniku. Naime, u tom bi slučaju sjecište tih pravaca bilo zajednički vrh tih stožaca, a tada se prodorna krivulja raspada na 4 pravca.
Međutim, ako dva stošca imaju jednu izvodnicu i tangencijalnu ravninu duž te izvodnice zajedničku, tada je ta izvodnica dvostruko brojeni pravac u raspadu njihovog prodora, a preostali dio je neka konika.

Dakle, ako dva stošca nemaju isti vrh, ali imaju zadničku jednu izvodnicu i tangecijalnu ravninu duž te izvodnice, njihova se prodorna krivulja raspada na dvostruki pravac i koniku.




raspad na četiri pravca
raspad na dvostruki pravac i koniku


Ako dva stošca imaju zajedničku jednu izvodnicu, a nemaju isti vrh niti tangencijalnu ravninu duž te zajedničke izvodnice, tada se njihova prodorna krivulja raspada na pravac i krivulju 3. reda.


Ako stošci imaju dvije zajedničke tangencijalne ravnine, a nemaju zajedničku niti jednu izvodnicu, njihova prodorna krivulja ima dvije dvostruke točke i raspada se na dvije konike.
Nužan uvjet za ovakav raspad prodorne krivulje rotacijskih stožaca je taj da im se osi sijeku.

raspad na pravac i krivulju 3. reda



raspad na dvije konike



Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu