Prodori sa sferom

Budući da svaka ravnina prostora siječe sferu po kružnici, kod konstrukcije prodorne krivulje sfere i bilo koje druge plohe, sistem ravnina ćemo postavljati onako kako nam je najpovoljnije za onu drugu plohu u prodoru.
Kod prodora sfere s rotacijskim plohama često odabiremo paralelni sistem kružnih presjeka rotacijske plohe.

Prodor dviju sfera

Svaka sfera prolazi jednom imaginarnom konikom beskonačno daleke ravnine koju nazivamo apsolutnom konikom prostora.

Stoga se prodorna krivulja dviju sfera uvijek raspada na dvije krivulje 2. reda: na apsolutnu koniku i na još jednu kružnicu.

Dakle, ako se dvije sfere realno sijeku, onda je njihov presijek uvijek kružnica.
Ravnina prodorne kružnice okomita je na spojnicu središta sfera, a središte prodorne kružnice leži na toj spojnici.

Prodor sfere i valjka

Prodorna krivulja sfere i valjka je prostorna krivulja 4. reda.
Ona može biti jednodijelna (nepotpuni prodor ili zador), dvodijelna (potpuni prodor) ili s dvostrukom točkom (sfera i valjak imaju jednu zajedničku dirnu ravninu).


ZADOR - jednodijelna krivulja
POTPUNI PRODOR - dvodijelna krivulja
prodor s DVOSTRUKOM TOČKOM


Ako središte sfere leži na osi rotacijskog valjka, njihova se prodorna krivulja raspada na dvije kružnice.
Ukoliko je polumjer sfere jednak polumjeru baze valjka, te se dvije kružnice podudaraju, a valjak i sfera se duž te kružnice dodiruju (u svakoj njezinoj točki imaju istu tangencijalnu ravninu)


raspad na dvije kružnice

dodir duž kružnice


Prodor sfere i stošca

Prodorna krivulja sfere i stošca je prostorna krivulja 4. reda.
Ona može biti jednodijelna (nepotpuni prodor ili zador), dvodijelna (potpuni prodor) ili s dvostrukom točkom.
Dvostruka točka prodorne krivulje nastaje u dva slučaja: ako plohe u nekoj svojoj regularnoj točki imaju zajedničku dirnu ravninu ili ako sfera prolazi dvostrukom točkom stošca, tj. njegovim vrhom.



ZADOR - jednodijelna krivulja

POTPUNI PRODOR - dvodijelna krivulja




prodor s DVOSTRUKOM TOČKOM
Zajednička tangencijalna ravnina.

prodor s DVOSTRUKOM TOČKOM
Sfera prolazi vrhom stošca.


Ako središte sfere leži na osi rotacijskog stošca, njihova se prodorna krivulja raspada na dvije kružnice.
Te se dvije kružnice mogu podudarati, tada sfera i stožac u svakoj točki zajedničke kružnice imaju istu dirnu ravninu pa kažemo da se plohe dodiruju duž te kružnice.



raspad na dvije kružnice


dodir duž kružnice



Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu