6 PRIMJERI DISKRETNIH SLUCAJNIH VARIJABLI

Poglavlje 6
PRIMJERI DISKRETNIH
SLUČAJNIH VARIJABLI

U ovom poglavlju istaknut ćemo diskretne slučajne varijable koje se pojavljuju u odredenim ”scenarijima” i njihove funkcije vjerojatnosti definirat će se kao specifične distribucije (razdiobe): binomna, Poissonova, hipergeometrijska, geometrijska. Binomna distribucija vezana je uz scenario Bernoullijeve sheme, Poissonova je granični slučaj binomne, hipergeometrijska distribucija odgovara uzorku bez vraćanja, a scenario u kome se broje pokušaji dok se ne dogodi željeni dogadaj prati geometrijska distribucija.

6.1 Bernoullijeva shema. Binomna
distribucija (razdioba)

MOTIV 6.1

U velikoj kutiji nalazi se p = 10% neispravnih proizvoda. Ako uzmemo uzorak od r = 5 proizvoda iz kutije (s vraćanjem), slučajna varijabla X = broj neispravnih proizvoda u uzorku ima binomnu distribuciju X ~ B(r,p). Izračunajte vjerojatnost
(a) da se ne pojavi niti jedan neispravni proizvod,
(b) da se pojavi jedan neispravni proizvod u uzorku,
(c) da se pojavi bar jedan neispravni proizvod u uzorku.

Definicija 6.1 (Bernoullijeva shema)

U m nezavisnih pokusa, vjerojatnost da se dogodi dogadaj A u svakom od njih je jednaka i P(A) = p. Takvu shemu dogadaja zovemo Bernoullijeva shema.
(Pretpostavljamo da su pokusi nezavisni, tj. da vjerojatnost pojave dogadaja A u svakom od pokusa ne ovisi od toga da li se on dogodio ili nije u nekom drugom pokusu.)

Definicija 6.2 (Binomna slučajna varijabla)

Slučajnu varijablu X = broj pojavljivanja dogadaja A u m ∈ ℕ pokusa u Bernoullijevoj shemi s vjerojatnošću p,p ∈ (0,1) zovemo Binomna slučajna varijabla.
Specijalno, slučaju samo jednog pokusa m = 1 slučajnu varijablu zovemo Bernoullijeva. Slika Binomne slučajne varijable je (X) = {0,1,...,m}.
Funkcija vjerojatnosti Binomne slučajne varijable je

{ ( ) P (X = k) = mk pk ⋅(1- p)m -k, x = k ∈ R (X ) f (x ) := 0, inaˇce.

Funkcija distribucije Binomne slučajne varijable je

( |||{ ∑ ( ) 0, x < 0 F (x) := mk pk ⋅ (1 - p)m-k, 0 ≤ x < m || k:k≤x |( 1, m ≤ x.

Definicija 6.3 (BINOMNA DISTRIBUCIJA)

Za sve slučajne varijable koje imaju sliku (X) = {0,1,2,...,m} i funkciju vjerojatnosti

f(x) = (m )px(1- p)m -x, x ∈ R (X ) x

kažemo da imaju BINOMNU DISTRIBUCIJU (RAZDIOBU) s parametrima m i p i označavamo

X ~ B(m, p).

PRIMJER 6.1

Funkcija f(x) = (m)
x p^x(1 - p)^m-x je funkcija vjerojatnosti.
Prisjetimo se Binomnog teorema i iskoristimo za računanje

∑ ∑ (m) x m-x ∑ (m ) k m -k f(x) = x p ⋅(1 - p) = k p ⋅(1- p ) 0≤x≤m 0≤x ≤m 0≤k≤m = (p + (1- p))m = 1.

PRIMJER 6.2

Očekivanje diskretne slučajne varijable koja ima binomnu distribuciju X ~ B(m,p) je

E (X ) = m ⋅p

Rješenje:

∑ ∑m ( m ) x m -x E (X) = x⋅f (x ) = x x p ⋅(1- p) 0≤x≤m x=0 ∑m (m ) k m-k = k ⋅ k p ⋅(1 - p) k=1 ∑m ( m - 1 ) = mp pk-1 ⋅(1 - p)(m -1)-(k-1) k=1 k - 1 = mp ⋅(1- (1 - p))m-1 = mp ⋅1 = mp.

PRIMJER 6.3

Varijanca diskretne slučajne varijable koja ima binomnu distribuciju X ~ B(m,p) je

V ar(X) = m ⋅p ⋅(1- p)

Rješenje: (pokušajte sami)

NAPOMENA 6.1 Ako je p = 1∕2 binomna distribucija je simetrična.

PRIMJER 6.4

Promatramo slučajan pokus gadanja u metu 3 puta. U svakom gadanju vjerojatnost pogotka mete je . Neka je slučajna varijabla X = broj pogodaka u metu. Da li je to slučajna varijabla koja ima binomnu distribuciju? Nadite funkciju vjerojatnosti i funkciju distribucije slučajne varijable X, očekivanje i varijancu.

Rješenje:
To je Bernoullijeva shema dogadaja s m = 3 nezavisna pokusa (ili ponavljamo isti pokus 3 puta nezavisno). Promatramo dogad aj A = pogodak u metu. P(A) = 1
2 = p u svakom nezavisnom ponavljanju. Slučajna varijabla
X = broj pojavljivanja dogadaja A (broj uspjeha) ima binomnu distribuciju X ~ B(m,p) = B(3,). Funkcija vjerojatnosti je

{ (3) 1 k 1 3-k f (x) := P (X = k) = k (2) ⋅(1 - 2) , x = k ∈ {0,1,2,3} 0, inaˇce. { (3) 1 3 = k (2) , x = k ∈ {0,1,2,3} 0, inaˇce.

Funkcija distribucije je:

( | 0, x < 0 ||{ ∑ (3) 1 k 1 3- k F (x) := k (2-) ⋅(1- 2-) , 0 ≤ x < 3 ||| k:k≤x ( 1, 3 ≤ x. ( ||| 0, x < 0 { ∑ (3)(1-)3, 0 ≤ x < 3 = | k 2 ||( k:k≤x 1, 3 ≤ x.

1 3 1 1 3 E(X ) = mp = 3 ⋅2-= 2, V ar(X ) = mp(1 - p) = 3 ⋅2-⋅2-= 4.

(Do ovih rezultata došli smo i kad smo razmatrali taj primjer slučajne varijable u prethodnom poglavlju.)

PRIMJER 6.5

Bacamo kocku 4 puta. Neka je slučajna varijabla X = broj šestica. Da li je to slučajna varijabla koja ima binomnu distribuciju? Nadite funkciju vjerojatnosti i funkciju distribucije slučajne varijable X, očekivanje i varijancu. Izračunajte vjerojatnost da su pale bar dvije šestice?

Rješenje:
To je Bernoullijeva shema dogadaja s m = 4 nezavisna pokusa (ili ponavljamo isti pokus 4 puta nezavisno). Promatramo dogadaj A = ”pala je 6”. P(A) = 1
6 = p u svakom nezavisnom ponavljanju. Slučajna varijabla X = broj šestica je broj pojavljivanja A (broj uspjeha) i ona ima binomnu distribuciju X ~ B(m,p) = B(4, 1
6 ). Funkcija vjerojatnosti je

{ (4) 1 k 5 4-k f(x) = k (6) (6) , x = k ∈ {0,1,2,3,4} 0, inaˇce.

Funkcija distribucije je:

( || 0, x < 0 |{ ∑ (4) 1-k 5-4- k F (x ) = k( 6) (6) , 0 ≤ x < 4 |||( k:k≤x 1, 4 ≤ x.

1 4 1 5 20 E (X ) = mp = 4⋅--= -, V ar(X) = mp (1- p) = 4⋅ -⋅ --= --. 6 6 6 6 36

Trebamo odrediti P(X ≥ 2).

∑ P (X ≥ 2) = 1 - P (X < 2) = 1- F (2- ) = 1- f (xi) i:xi<2 (4) 1-0 5-4 (4) 1-1 5-4-1 = 1 - (f(0)+ f(1)) = 1- ( 0 (6) (6) + 1 (6) (6) ) 171 = 1296-

PRIMJER 6.6 tko želi znati više

Označimo vrijednost funkcije vjerojatnosti f binomne distribucije s parametrima m i p s f(m,p;k),k ∈{0,1,...,m}. Tada vrijedi rekurzivna relacija

m - k p f(m, p;k + 1) =------⋅ -----f(m,p;k) k + 1 1- p

Dokaz: Računamo

f(m,-p;k +-1) n!⋅pk+1(1--p)m--k-1- n!-⋅pk(1---p)m--k m---k- --p-- f(m, p;k) = (k + 1)!(m - k - 1)! : k!(m - k)! = k + 1 ⋅1 - p

NAPOMENA 6.2

Prisjetimo se primjera za uzorak s vraćanjem.
Slučajni pokus: izbor od r elemenata (s vraćanjem) iz skupa koji ima n elemenata n = n_T + n_D, r = r_T + r_D.
Ω =svi uzorci veličine r iz n-čl. skupa, važan poredak
|Ω| = V _n^(r) = n^r;
Dogadaj A=”uzorak ima r_T ispravnih i r_D neispravnih”;
|A| =Broj svih uzoraka veličine r iz n -čl. skupa s vraćanjem koji imaju r_T ispravnih i r_D neispravnih:
Koristimo formulu za uzorak s vraćanjem |A| = ( )
rr
T ⋅ (n_T)^r_T ⋅ (n - n_T)^(r-r_T).

( r ) rT r-rT ( ) |A| --rT--⋅(nT-)--⋅(n---nT)---- r nT- rT nT- (r- rT) P (A) = |Ω| = nr = rT ⋅( n ) ⋅(1- (n )) .

Promatramo slučajnu varijablu
X = broj ispravnih predmeta u r članom uzorku iz skupa koji ima n elemenata, od toga n_T ispravnih
Ako s p = nT-
n

označimo postotak točnih (ispravnih) proizvoda ukupno, onda slučajna varijabla X = broj ispravnih predmeta u r članom uzorku iz skupa koji ima postotak p ispravnih elemenata ima binomnu distribuciju s parametrima r i p, X ~ B(r,p). (Analogno za neispravne elemente)

PRIMJER 6.7 motiv

Rješenje:
(a) P(X = 0) = f(0) = f(5, 110 ;0) = ( )
50 ( 110- )⁰(1 - 110 )⁵ = 0.59049.
(b) Možemo računati direktno

1 (5 ) 1 1 5 P (X = 1) = f(1) = f(5,--;1) = (--)(1- ---)4 =---0.6561 = 0.32805. 10 1 10 10 10

Drugi način je da koristimo rekurzivnu formulu:tko želi znati više

-r --k --p-- f(r,p;k + 1) = k + 1 ⋅1 - pf(r,p;k)

r---0 -p--- --p-- P(X = 1) = f (r,p;1) = 0 + 1 ⋅ 1- p f(r,p;0) = r1 - pf(r,p;0).

Za r = 5 i p = -1
10

-1- 1- -1- 5- P (X = 1) = f(5,10 ;1) = 5 9f(5,10;0) = 90.59049 = 0.32805.

(c)

P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P (X = 0) = 1- f (0) = 1- (1 - p)m 10 9 = 1 - (1 - ----)5 = 1 - (--)5 = 1- 0.59049 = 0.4095. 100 10

NAPOMENA 6.3

Ako m → ∞ binomna distribucija teži normalnoj distribuciji (vidi kasnije - Moivre Laplace teorem).

NAPOMENA 6.4

Ako p → 0 i m →∞ binomna distribucija teži Poissonovoj (vidi Poissonova distribucija).

6.2 POISSONOVA DISTRIBUCIJA

MOTIV 6.2

Kroz naplatnu kućicu produ prosječno u minuti 2 automobila. Kolika je vjerojatnost da će u toku bilo koje minute proći
(a) jedan automobil,
(b) barem 3 automobila?

Definicija 6.4 (POISSONOVA DISTRIBUCIJA)

Za diskretnu slučajnu varijablu X koja ima sliku (X) = {0,1,2,..} i funkciju vjerojatnosti

x f(x) = λ--⋅e-λ, x ∈ R(X ) x!

kažemo da ima Poissonovu distribuciju s parametrom λ i označavamo

X ~ P o(λ).

PRIMJER 6.8 Funkcija f(x) = λx-
x! ⋅ e^-λ je funkcija vjerojatnosti. Prisjetimo se razvoja eksponencijalne funkcije u McLaurinov red e^x = ∑ _0≤x≤∞ xk-
k! .
Računamo

∑ ∑ λk f(k) = --e- λ = eλ ⋅e-λ = 1. 0≤k≤ ∞ 0≤k≤ ∞ k!

PRIMJER 6.9 Očekivanje diskretne slučajne varijable koja ima Poissonovu distribuciju X ~ Po(λ) je

E (X ) = λ.

Rješenje:

∞ ∞ ∑ ∑ λk--λ ∑ --λk-1- -λ E (X ) = k ⋅f (k) = k k!e = λ (k - 1)!e = λ. 0≤k≤ ∞ x=0 k=1

PRIMJER 6.10 Varijanca diskretne slučajne varijable koja ima Poissonovu distribuciju X ~ Po(λ) je

V ar(X ) = λ.

Rješenje: (Pokušajte sami).

PRIMJER 6.11 Ako u Bernoullijevoj shemi broj m nezavisnih pokusa teži ∞ (jako velik) a vjerojatnost dogadaja A kojeg promatramo u svakom pokusu teži 0 (jako mala) onda slučajna varijabla X = broj pojavljivanja dogadaja A ima binomnu distribuciju koju možemo dobro aproksimirati s Poissonovom distribucijom s parametrom λ = mp, tj. X ~ Po(mp).

Dokaz: tko želi znati višr

Neka je X ~ B(m,p), s parametrima m →∞,p → 0,m ⋅ p → λ.
Računamo graničnu vrijednost funkcije vjerojatnosti binomne distribucije:

(m ) lim f(k) = lim pk ⋅(1 - p)m- k m →∞,(p→0), m ⋅p→ λ k = lim m ( λ-)k ⋅(1- λ-)m-k p→ λm- k m m k = (λ)- lim (m (m - 1) ⋅(m - k + 1 ))-1-(1 - λ-)m- k k! m→ ∞ mk m (λ)k - λ = k! ⋅1⋅e (λ)k = ---- ⋅e-λ. k!

Dobili smo funkciju vjerojatnosti Poissonove distribucije za λ = mp.

PRIMJER 6.12 U velikoj kutiji nalazi se p = 1% neispravnih proizvoda. Ako uzmemo uzorak od r = 100 proizvoda iz kutije, slučajna varijabla X = broj neispravnih proizvoda u uzorku ima binomnu distribuciju X ~ B(r,p). Budući je r veliki u odnosu na mali p i r ⋅ p = 1 slučajnu varijablu X možemo aproksimirati Poissonovom distribucijom X ~ Po(rp). Izračunajte vjerojatnost da se pojavi bar jedan neispravni proizvod u uzorku.

Rješenje:
Računamo po Poissonovoj distribuciji: X ~ Po(λ), λ = r ⋅ p = 1,

0 P(X ≥ 1) = 1- P (X < 1) = 1- P(X = 0) = 1 - f(0) = 1- λ-⋅e-λ = 0.6321 0!

Ako bi računali po binomnoj distribuciji: X ~ B(r,p), r = 100, p = 1-
10 ,

P (X ≥ 1 ) = 1- P (X < 1 ) = 1 - P(X = 0) = 1 - f(0) ( ) = 1- 100 (99∕100)100 = 1- 0.3660 = 0.63396 0

Usporedimo li rezultate dobivene vidimo da greška nije velika.

PRIMJER 6.13 Promatramo broj automobila koji produ kroz kontrolnu točku u intervalima od 1 minute. Neka je p konstantna vjerojatnost da će auto proći u svakom kratkom intervalu unutar 1 minute ( i pretpostavimo nezavisnost o drugim dogadajima u tom kratkom vremenu). Slučajna varijabla X = broj automobila koji produ kroz kontrolnu točku ima Poissonovu distribuciju s parametrom λ = 60⋅ 6p0 = p = prosječan broj automobila koji produ kontrolnu točku u 1 minuti, X ~ Po(λ).

PRIMJER 6.14 motiv

Kroz naplatnu kućicu produ prosječno u minuti 2 automobila. Kolika je vjerojatnost da će u toku bilo koje minute proći
(a) jedan automobil,
(b) barem 3 automobila?

Rješenje: Broj automobila koji produ naplatnu kućicu u jednoj minuti ima Poissonovu distribuciju X ~ Po(λ), λ = 2
(a) P(X = 1) = f(1) = λ1
1! ⋅ e^-λ = 2 ⋅ e^-2 = 0.27067
(b)

P (X ≥ 3) = 1- P (X < 3) = 1- (f (0) + f(1)+ f(2)) -2 20 21 22 = 1- (e (0! + 1! + 2!)) = 1- (0.6766) = 0.3232.

NAPOMENA 6.5 Poissonova distribucija primjenjuje se u demografiji, biologiji, fizici, prometu i dr.

6.3 HIPERGEOMETRIJSKA DISTRIBUCIJA

MOTIV 6.3

U velikom pakovanju od 100 cigli distributer garantira da je najviše p = 10% oštećenih. Kontrolor prihvaća pošiljku samo ako u uzorku od 10 proizvoda iz pakovanja (bez vraćanja) nema oštećenih. Kolika je vjerojatnost da će kontrolor odbiti pošiljku?

NAPOMENA 6.6 Prisjetimo se primjera za uzorak bez vraćanja. Slučajni pokus: izbor od r elemenata (bez vraćanja) iz skupa koji ima n elemenata n = n_T + n_D, r = r_T + r_D.
Ω ={svi uzorci veličine r iz n-čl. skupa}, |Ω| = (n)
r ;
Dogadaj A=”uzorak ima r_T ispravnih i r_D neispravnih”;
|A| =Broj svih uzoraka veličine r iz n -čl. skupa bez vraćanja koji imaju r_T ispravnih i r_D neispravnih.
Koristimo formulu za uzorak bez vraćanja:

( n ) ( n ) ( n ) (n - n ) |A | = C (nrTT) ⋅C(nrDD)= T ⋅ D = T ⋅ T . rT rD rT r - rT

( ) ( ) nT ⋅ n-nT P(A ) = |A-|= -rT--(-)r-rT--. |Ω | nr

Promatramo slučajnu varijablu X = broj ispravnih predmeta u r-članom uzorku iz skupa koji ima n elemenata od toga n_T ispravnih.

Definicija 6.5 (HIPERGEOMETRIJSKA DISTRIBUCIJA)

Slučajne varijable X koje imaju sliku (X) = {0,1,2,..,n_T} i funkciju vjerojatnosti

( ) (nT )⋅ n-nT f(x) = --x--(-)r-x---, x ∈ R (X ) nr

gdje su n_T ≤ n,r ≤ n,n, n_T, r ∈ ℕ kažemo da imaju Hipergeometrijsku distribuciju s parametrima n, r, n_T i označavamo X ~ Hip(n,r,n_T).

PRIMJER 6.15 Funkcija f(x) = (nT ) ( n-nT)
--x--⋅--r-x---
(n)
r , x ∈(X) je funkcija vjerojatnosti.

Rješenje: Koristimo kombinatorni identitet

∑ ( nT ) ( n - nT ) (n ) ⋅ = 0≤x≤nT x r - x r

PRIMJER 6.16 Slučajnu varijablu X ~ Hip(n,r,n_T) ima očekivanje

nT E (X ) = r ⋅--; n

i varijancu

V ar(X ) = r ⋅nT-⋅(n---nT)-⋅(n---r). n2 ⋅(n - 1)

PRIMJER 6.17 Slučajni pokus: izbor od r = 3 elemenata (bez vraćanja) iz skupa koji ima n = 10 elemenata od kojih je n_T = 7.
Promatramo slučajnu varijablu X = broj ispravnih predmeta u r članom uzorku iz skupa koji ima n elemenata, od toga n_T ispravnih (bez vraćanja).
(a) Izračunajte vjerojatnost da su u uzorku dva ispravna elementa (točno)?
(b) Izračunajte vjerojatnost da su dva ispravna, ako je uzorak s vraćanjem?

Rješenje:
(a) Uzorak bez vraćanja pa X = broj ispravnih predmeta u r članom uzorku iz skupa koji ima n elementata od toga n_T ispravnih (bez vraćanja) ima hipergeometrijsku distribuciju X ~ Hip(n,r,n_T). Za n = 10, r = 3, n_T = 7, X ~ Hip(10,3,7)

( ) ( ) ( ) ( ) nT2 ⋅ n-rn-T2 72 ⋅ 103--72 (7)⋅3 P (X = 2) = f(2) = -----(n)------= ----(10)----= -2(10)-= 0.525. r 3 3

(b) Uzorak s vraćanjem pa X = broj ispravnih predmeta u r članom uzorku iz skupa koji ima n elementata od toga n_T ispravnih (s vraćanjem) ima binomnu distribuciju X ~ B(r,p = nT-
n

). Za n = 10, r = 3, n_T = 7, X ~ B(3, 7-
10

)

( ) ( r) 2 r-2 3 -7- 2 7--3-2 P(X = 2) = f (2) = 2 p(1 - p) = 2 (10 ) ⋅(1- 10) = 0.441

PRIMJER 6.18 motiv

Rješenje:
Uzorak bez vraćanja pa X = broj neispravnih predmeta u r članom uzorku iz skupa koji ima n elementata od toga n_D neispravnih (bez vraćanja) ima hipergeometrijsku distribuciju X ~ Hip(n,r,n_D). Za n = 100, r = 10, n_D = 10, X ~ Hip(100,10,10)

( ) (nD) ⋅ n- nD P (X ≥ 1) = 1- P (X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1- f(0) = 1- --0--(-)r-0--- nr (10) ( 100-10) -0--⋅--10-0--- = 1- (100) (90) 10 = 1- (10-) 100 = 0.67. 10

Vjerojatnost da će kontolor odbiti pošiljku je 0.67.

NAPOMENA 6.7 Ako je n,n_T,n-n_T veliki u odnosu na r onda nije važno je li uzorak s vraćanjem ili bez vraćanja i Hip(n,r,n_T) distribucija teži B(r,p = nT-
n ).
Ako je uzorak iz nepoznato velike populacije možemo opet koristiti binomnu distribuciju bez obzira na vraćanje.

6.4 GEOMETRIJSKA DISTRIBUCIJA

MOTIV 6.4

Student izlazi na ispit dok ga ne položi. Ako je vjerojatnost polaganja ispita svaki put jednaka p = 1
5 , (jer je student naučio petinu gradiva) kolika je vjerojatnost da će student 4 puta izlaziti na ispit dok ga ne položi?

Definicija 6.6 (Geometrijska slučajna varijabla)

Slučajnu varijablu X = broj ponavljanja pokusa (nezavisnih) dok se ne dogodi dogadaj A čija je vjerojatnost p ∈ (0,1), zovemo geometrijska slučajna varijabla.
Slika geometrijske slučajne varijable je (X) = {1,2,...}.
Funkcija vjerojatnosti Binomne slučajne varijable je

{ P (X = k) = (1- p)k-1 ⋅p, x = k ∈ R (X ) f(x) := 0, inaˇce.

Definicija 6.7 (GEOMETRIJSKA DISTRIBUCIJA)

Za sve slučajne varijable koje imaju sliku (X) = {1,2,...} i funkciju vjerojatnosti

f (x ) = (1- p)x- 1 ⋅p, x ∈ R (X )

kažemo da imaju GEOMETRIJSKU DISTRIBUCIJU (RAZDIOBU)
s parametrom p i označavamo

X ~ G (p).

PRIMJER 6.19 Funkcija f(x) = (1 - p)^x-1 ⋅ p je funkcija vjerojatnosti.
Prisjetimo se sume geometrijskog reda i iskoristimo za računanje

∑ ∑ ∑ 1 1 f (x) = (1- p)k- 1 ⋅p = p (q)k-1 = p ⋅---- = p⋅ --= 1 1≤k≤ ∞ 1≤k≤ ∞ 1≤k≤∞ 1 - q p

PRIMJER 6.20 Očekivanje diskretne slučajne varijable koja ima geometrijsku distribuciju X ~ G(p) je

1 E (X ) = p

Rješenje:
Prisjetimo se da konvergentan red (npr. geometrijski) možemo derivirati član po član, pa vrijedi

∑∞ k-1 1 ′ 1 kq = (1--q) = (1--q)2. k=1

∑ ∑∞ ∑∞ E (X ) = k ⋅f(k) = k(1- p)k-1 ⋅p = p⋅ kqk-1 = p⋅---1---- 1≤k≤∞ k=1 k=1 (1 - q)2 = p⋅ 1-= 1. p2 p

PRIMJER 6.21 Varijanca diskretne slučajne varijable koja ima geometrijsku distribuciju X ~ G(p) je

V ar(X ) = 1--p- p2

Rješenje: (pokušajte sami)

PRIMJER 6.22 motiv

Student izlazi na ispit dok ga ne položi. Ako je vjerojatnost polaganja ispita svaki put jednaka p = , kolika je vjerojatnost da će student 4 puta izlaziti na ispit dok ga ne položi?

Rješenje: X ~ G(p), p = 0.2,

4-1 3 -64- P (X = 4 ) = f(4) = (1- p) ⋅p = (1 - p) ⋅p = 625 = 0.102.

6.5 Ponovimo

BINOMNA DISTRIBUCIJA (RAZDIOBA)


binomna distribucija	X ~ B(m,p)

slika binomne sl. var.	(X) = {0,1,2,...,m}

funkcija vjerojatnosti	f(x) = p^x(1 - p)^m-x

očekivanje	E(X) = mp

varijanca	V ar(X) = mp(1 - p)

POISOONOVA DISTRIBUCIJA


Poissonova distribucija	X ~ Po(λ)

slika Poissonove sl. var.	(X) = {0,1,2,...}

funkcija vjerojatnosti	f(x) = ⋅ e^-λ

očekivanje	E(X) = λ

varijanca	V ar(X) = λ

HIPERGEOMETRIJSKA DISTRIBUCIJA


hipergeometrijska distribucija	X ~ Hip(n,r,n_T)

slika Poissonove sl. var.	(X) = {0,1,2,..,n_T}

funkcija vjerojatnosti	f(x) =

očekivanje	E(X) = r ⋅

varijanca	V ar(X) =

GEOMETRIJSKA DISTRIBUCIJA


geometrijska distribucija	X ~ G(p)

slika Poissonove sl. var.	(X) = {1,2,...}

funkcija vjerojatnosti	f(x) = (1 - p)^x-1 ⋅ p

očekivanje	E(X) =

varijanca	V ar(X) =

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]

Poglavlje 6PRIMJERI DISKRETNIH SLUČAJNIH VARIJABLI