7 KONTINUIRANA SLUCAJNA VARIJABLA

Poglavlje 7
KONTINUIRANA SLUČAJNA VARIJABLA

MOTIV 7.1 Neka je omjer prodaje i profita slučajna varijabla X = p1r0o0fit . Neka je poslovanje takvo da je nemoguće da će profit biti veći ili jednak 50% , a sigurno će profit biti veći ili jednak 33.3%. Neka je vjerojatnost da će omjer X poprimiti vrijednost manju ili jednaku x zadan sa funkcijom F(x) = 2
(x-5-4) . Kolika je vjerojatnost da će profit biti izmedu 40% i 20%? Koliki je očekivani profit?

MOTIV 7.2 Vrijeme trajanja sijalica je slučajna varijabla X. Uzimamo uzorak i 5% sijalica traje do 100 sati. Kolika je vjerojatnost da će nova sijalica trajati duže od 200 sati tj. P(X > 200)?

Definicija 7.1 KONTINUIRANA SLUČAJNA VARIJABLA

Za slučajnu varijablu X : Ω → ℝ kažemo da je kontinuirana slučajna varijabla ako je slika (X) interval I ⊆ ℝ i ne sadrži izolirane točke.

Definicija 7.2 (FUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI SLUČAJNE VARIJABLE engl. probability density function of X)

Neka je X : Ω → ℝ kontinuirana slučajna varijabla sa slikom (X). Funkciju f : ℝ → ℝ definiranu na sljedeći način:

P(x ≤ X ≤ x+ △x ) f(x) := △lxim→0-------△x----------, x ∈ R (X)

zovemo funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X.
Za funkciju gustoće vjerojatnosti slučajne varijable vrijedi

∫ b f (x)dx = P(a ≤ X ≤ b). a

NAPOMENA 7.1 Svojstvo ∫ _a^bf(x)dx = P(a ≤ X ≤ b) ekvivalentno je definiciji f. Promatramo segment [a,b] i gledamo subdivizije

a = x0 < x1 < ...< xn = b, xi+1 = xi + △xi, i = 1,..,n.

Postoji t_i ∈ [x_i,x_i + △x_i] tako da P(x_i ≤ X ≤ x_i + △x) ≈ f(t_i) ⋅△x_i,
∑ _iP(x_i ≤ X ≤ x_i + △x_i) ≈∑ _if(t_i) ⋅△x_i.
Ako promatramo lim_{△x_i→0} po svim subdivizijama, na desnoj strani prepoznajemo definiciju odredenog integrala funkcije f na segmentu [a,b], pa slijedi

∫ b P (a ≤ X ≤ b) = f(x)dx. a

Uočimo geometrijsku interpretaciju: P(a ≤ X ≤ b) je površina ispod krivulje gustoće vjerojatnosti f na segmentu [a,b].
Budući da slika kontinuirane slučajne varijable ne sadrži izolirane točke
P(X = a) = 0 onda vrijedi (za razliku od diskretnih slučajnih varijabli):

P (a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P(a < X < b).

T: SVOJSTVA funkcije gustoće vjerojatnosti slučajne varijable X.
(i) f(x) ≥ 0, x ∈(X)
(ii) ∫ _-∞^∞f(x)dx = 1.

Dokaz:
(i) Za x ∈(X), x ∈ I ⊆ ℝ, f(x) = lim_△x→0 P(x-≤-X--≤-x+-△x--)
△x ≥ 0,
(ii) Za (X) = ℝ svojstvo (ii) slijedi iz ekvivalentne definicije od f i svojstva
(P2), normiranosti funkcije P: ∫ _-∞^∞f(x)dx = P(X ∈ ℝ) = P(Ω) = 1.

PRIMJER 7.1 Kontinuirana slučajna varijabla je zadana sa svojom slikom (X) ⊆ ℝ. Zadana je funkcija f:

{ a⋅x, 0 ≤ x ≤ 5 f(x) := 0, x < 0,x > 5.

(a) Odredite konstantu a tako da funkcija f bude gustoća vjerojatnosti slučajne varijable X.
(b) Izračunajte vjerojatnost P(0 < X < 2).
(c) Skicirajte graf funkcije f.

Rješenje:
(a) Da bi f bila funkcija gustoće vjerojatnosti slučajne varijable ona mora imati svojstva nenegativnosti i svojstvo ∫ _-∞^∞f(x)dx = 1.
Zato, iz ∫ _-∞^∞f(x)dx = ∫ ₀⁵a ⋅ xdx = 1 dobivamo da je a = ∫-1----
50 xdx = --1--
25∕2 = -2-
25 .
Funkcija gustoće vjerojatnosti slučajne varijable je

{ 2- f(x) = 25x, 0 ≤ x ≤ 5 0, x < 0,x > 5.

(b) P(0 < X < 2) = ∫ ₀²f(x)dx = ∫ ₀² 2
---
25 xdx = ⋅ 4
--
2 = 4
---
25 .
(c) Funkcija f je definirana na cijelom ℝ, neprekinuta je na ℝ \{5}.

Definicija 7.3 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE, engl. distribution function)

Neka je X : Ω → ℝ kontinuirana slučajna varijabla sa slikom (X) ⊆ ℝ. Funkciju F : ℝ → ℝ definiranu na sljedeći način:

∫ x F (x) := P (X ≤ x) = -∞ f (t)dt

zovemo funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X.
Veza funkcije vjerojatnosti i funkcije distribucije slučajne varijable je:

f(x) = F′(x).

T: SVOJSTVA FUNKCIJE DISTRIBUCIJE slučajne varijable:
(F1) lim_x→-∞F(x) = F(-∞) = 0
(F2) lim_x→∞F(x) = F(∞) = 1
(F3) 0 ≤ F(x) ≤ 1
(F4) F je neprekinuta funkcija, F(x) := P(X ≤ x) = P(X < x),
(F5) P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a) = ∫ _a^bf(x)dx, a,b ∈ ℝ, a < b
(F6) F je rastuća funkcija.

Dokaz:
(F1) Kako je dogadaj X ≤-∞ nemoguć dogadaj

F (- ∞ ) := P(X ≤ - ∞ ) = P (∅) = 0.

(F2) Kako je dogadaj X ≤∞ siguran dogadaj

F(∞ ) := P (X ≤ ∞ ) = P (Ω) = 1.

(F3) tvrdnja slijedi iz svojstava (F1) i (F2).
(F4) Iz definicije kontinuirane sl. varijable, slika nema izoliranih vrijednosti, pa je P(X = a) = 0 te na integral ne utječu točke prekida funkcije f.
(F5) Neka su a,b ∈ ℝ,a < b. Računamo

F(b) = P (X ≤ b) = P ((X ≤ a)∪ (a < X ≤ b)) = P (X ≤ a)+ P (a < X ≤ b) = F (a)+ P (a < X ≤ b)

pa slijedi P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a).

∫ ∫ ∫ b a b F(b)- F (a) = - ∞ f(x)dx - -∞ f(x)dx = a f(x)dx.

(F6) Neka su a,b ∈ ℝ,a < b. Iz svojstva (F5) slijedi da je F(a) ≤ F(b), funkcija je rastuća.

PRIMJER 7.2 Za funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable
F(x) = P(X ≤ x) vrijedi:

P (a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b) - F(a), a, b ∈ ℝ.

Rješenje:

F(b) = P (X < b) = P ((X ≤ a)∪ (a < X < b)) = P (X ≤ a)+ P (a < X < b) = F (a)+ P (a < X < b)

PRIMJER 7.3 Slučajna varijabla X iz prethodnog primjera je zadana s funkcijom gustoće vjerojatnosti

{ 2-x, 0 ≤ x ≤ 5 f(x) = 25 0, x < 0,x > 5.

(a) Napišite funkciju distribucije.
(b) Izračunajte vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednosti veće od 0 i manje od 2 , P(0 < X < 2) =?
(c) Skicirajte graf funkcije distribucije F(x).

Rješenje:
(a)

∫ x F (x) := P (X ≤ x) = -∞ f (t)dt

( ||| ∫ 0, x < 0 (| 0, x < 0 { x -2- { x2 F (x) = | 25tdt, 0 ≤ x < 5 = | 25, 0 ≤ x < 5 ||( 0 1, 5 ≤ x. ( 1, 5 ≤ x.

(b) P(0 < X < 2) = F(2) - F(0) = 22
25 - 0 = 4-
25 .
(c) Funkcija F(x) je neprekinuta na ℝ.

Definicija 7.4 (OČEKIVANJE KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE, engl. mean ili mathematical expectation)

Neka je X : Ω → ℝ kontinuirana slučajna varijabla sa slikom (X) i funkcijom vjerojatnosti f(x). Kažemo da diskretna slučajna varijabla X ima očekivanje ako integral ∫ _-∞^∞x ⋅ f(x)dx konvergira i označavamo

∫ ∞ E(X ) := x⋅f (x )dx. - ∞

Definicija 7.5 (VARIJANCA ILI DISPERZIJA KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE, engl. variance)

Neka je X : Ω → ℝ kontinuirana slučajna varijabla sa slikom (X) i funkcijom gustoće vjerojatnosti f(x). Kažemo da kontinuirana slučajna varijabla X ima varijancu ako integral ∫ _-∞^∞(x - E(X))²f(x)dx konvergira i označavamo

∫ ∞ V ar(X ) := (x - E(X ))2f(x)dx. - ∞

Možemo računati varijancu i pomoću relacije

∫ ∞ 2 2 V ar(X ) := x ⋅f(x)dx - (E(X )). -∞

(Dokaz vidi kasnije - očekivanje funkcije slučajne varijable).

Definicija 7.6 (STANDARDNA DEVIJACIJA, engl. standard deviation)

Standardna devijacija slučajne varijable X definira se kao

∘ -------- σ (X ) = V ar(X).

PRIMJER 7.4 Neka je zadana slučajna varijabla iz prethodnog primjera s funkcijom gustoće vjerojatnosti f(x) = {
-2x, 0 ≤ x ≤ 5
25
0, x < 0,x > 5.
(a) Izračunajte očekivanje slučajne varijable E(X).
(b) Izračunajte varijancu i standardnu devijaciju V ar(X), σ(X).

Rješenje:
(a) E(X) = ∫ _-∞^∞xf(x)dx = ∫ ₀⁵x 2
---
25 xdx = ∫ ₀⁵x²dx = 10
---
3 = 3.333
(b)

∫ ∫ ∞ 2 2 5 2 2-- 10-2 Var(X ) = - ∞ x ⋅f (x )dx - (E (X)) = 0 x ⋅25xdx - ( 3 ) ∫ 5 = 2-- x3dx- ( 10)2 = 25. 25 0 3 18

σ(X) = ∘ --------
V ar(X ) = ∘ ---
2158 = √ --
2 = 1.178

PRIMJER 7.5 motiv

Neka je omjer prodaje i profita slučajna varijabla X = -100-
profit . Neka je poslovanje takvo da je nemoguće da će profit biti veći ili jednak 50% , a sigurno će profit biti veći ili jednak 33.3%. Neka je vjerojatnost da će omjer X poprimiti vrijednost manju ili jednaku x zadan sa funkcijom F(x) = (x2-4)-
5 . Kolika je vjerojatnost da će profit biti izmedu 40% i 20%? Koliki je očekivani profit?

Rješenje:
Slučajna varijabla X = p1r0o0fit poprima vrijednosti npr. za profit 50% vrijednost X = 2, a za profit 33.3% vrijdnost X = 3. Zaključujemo da je zadana funkcija distribucije P(X ≤ x) = F(x)

( |{ 0, x < 2 F (x ) = (x2-4), 2 ≤ x < 3 |( 5 1, 3 ≤ x.

Vjerojatnost da će profit biti izmedu 40% i 20% odgovara pitanju P(2.5 ≤ X ≤ 5).
P(2.5 ≤ X ≤ 5) = F(5) - F(2.5) = 1 - 920 = 1210 = 0.55 Očekivani profit odgovara očekivanoj vrijednosti od X.
Da bi izračunali očekivanje moramo izraziti funkciju gustoće vjerojatnosti f. Veza funkcije gustoće i funkcije distribucije je f(x) = F′(x).

( |{ 0, x < 2 2x- f(x) = |( 5 , 2 ≤ x < 3 0, 3 ≤ x.

Računamo očekivanje

∫ ∫ ∞ 3 2x- 38- E (X) = - ∞ xf(x)dx = 2 x 5 dx = 15 = 2.533.

Očekivani profit je dakle 39.47%.

7.1 FUNKCIJA SLUČAJNE VARIJABLE

MOTIV 7.3

Neka je X ~ ( )
1 2 3
0.1 0.3 0.6 . Opišite slučajnu varijablu Y = 3X + 1.

Definicija 7.7 (FUNKCIJA SLUČAJNE VARIJABLE) Neka je zadana po dijelovima neprekinuta funkcija h : ℝ → ℝ i slučajna varijabla X : Ω → ℝ s funkcijom gustoće vjerojatnosti f(x) i funkcijom distribucije F(x). Funkcija slučajne varijable X je slučajna varijabla Y : Ω → ℝ definirana kao kompozicija Y = h ∘ X.

TEOREM 7.1 Ako je h(x) strogo monotona i derivabilna onda funkciju slučajne varijable Y = h(X) možemo definirati pomoću slučajne varijable X.
(a) Ako je X diskretna slučajna varijabla

- 1 -1 fY(y) = P(Y = y) = P (h(X ) = y) = P (X = h (y)) = f(h (y)).

∑ FY (y) = P(Y ≤ y) = f (xi). xi;h(xi)≤y

∑ E(Y ) = h(xi)⋅f(xi). i

(b) X kontinuirana slučajna varijabla

{ f(h-1(y))⋅|(h-1(y))′|, m < y < M fY (y) = 0, y ≤ m, y ≥ M.

( ||| 0, y ≤ m |{ F(h- 1(y )), h ′(x) > 0, m < y < M FY (y ) = -1 ′ . |||| 1- F(h (y)), h (x) < 0, m < y < M ( 1, y ≥ M.

gdje smo označili m = minh(x), M = maxh(x).

∫ ∞ E(Y ) = h(x)⋅f (x)dx. -∞

Dokaz: tko želi znati više

(a) f_Y(y) = P(Y = y) = P(h(X) = y) = P(X = h^-1(y)) = f(h^-1(y)).

∑ FY(y) = P (Y ≤ y) = P(h(X ) ≤ y ) = P (X ≤ h- 1(y )) = f(xi). xi:xi≤h -1(y)

∑ ∑ ∑ E(Y ) = yifY (yi) = h(xi)f(h-1(yi)) = h (xi)f(xi). i i i

(b) Ako je X kontinuirana slučajna varijabla

{ -1 ′ FY(y) = P (Y ≤ y) = P(h(X ) ≤ y ) = P(X ≤ h (y), h (x) > 0, 1- P (X ≤ h-1(y), h′(x) < 0.

fY(y) = (FY(y))′ = (FX (h-1(y)))′ ⋅(h -1(y))′ = f(h-1(y))⋅|(h -1(y))′|.

∫ ∫ ∫ ∞ ∞ - 1 -1 ′ ∞ E (Y) = -∞ yfY (y)dy = -∞ h(x)f(h (y))(h (y))dy = - ∞ h(x)f(x)dx.

PRIMJER 7.6 Neka je zadana funkcija h(x) = a⋅x+b, i slučajna varijabla X. Neka je Y funkcija slučajne varijable X, Y = h(X), tj. Y = a ⋅ X + b.
(a) Neka je X diskretna slučajna varijabla. Tada je Y definirana s:

fY(y) = f(y---b), a

∑ FY (y) = P(Y ≤ y) = f (xi), xi;xi≤y-ab

E (Y) = a ⋅E(X )+ b,

V ar(Y ) = a2 ⋅Var (X ).

(b) Neka je X kontinuirana slučajna varijabla. Tada je Y definirana s:

fY (y) = f( y --b) ⋅ 1, a a

{ F(y-b), a > 0, FY (y) = ay-b 1- F ( a ), a < 0,

E (Y) = a ⋅E(X )+ b,

V ar(X ) = a2 ⋅V ar(X ).

Rješenje:
(a) f_Y(y) = P(Y = y) = P(aX + b = y) = P(X = y---b
a ) = f( y --b
a ).
(b) h(x) je strogo monotona za a≠0, h^-1(y) = y --b
a , (h^-1(y))^′ = 1-
a .

{ P (X ≤ y-b), a > 0, FY (y) = P (Y ≤ y) = P(a ⋅X + b ≤ y) = ay-b 1 - P(X ≤ a ), a < 0.

PRIMJER 7.7 motiv

Neka je X ~ ( 1 2 3 )

0.1 0.3 0.6 . Opišite slučajnu varijablu Y = 3X + 1.

Rješenje:

( ) 4 7 10 Y ~ 0.1 0.3 0.6

PRIMJER 7.8 Neka je zadana slučajna varijabla X s funkcijom gustoće vjerojatnosti f(x) = {
-2x, 0 ≤ x ≤ 5,
25
0, x < 0,x > 5, F(x) = (
|{ 0,2 x < 0,
x25, 0 ≤ x < 5,
|( 1, 5 ≤ x,

E(X) = 10
3 , V ar(X) = 25
18 . Opišite slučajnu varijablu Y = 3X + 1.

Rješenje:
h(x) = 3x + 1, m = minh(x) = 1, M = maxh(x) = 16, x ∈ [0,5].

{ { f(y-1)⋅ 1, m < y < M -2-(y-1), 1 < y < 16 fY(y) = 3 3 = 25⋅3 3 0, y ≤ m, y ≥ M 0, y ≤ 1,y ≥ 16.

( ( |{ 0, y ≤ m |{ 0, y ≤ 1 FY (y) = F (y-31), m < y < M = 215(y-31)2, 1 < y < 16 |( 1, y ≥ M |( 1, y ≥ 16

10- E (Y) = 3 ⋅E(X )+ 1 = 3 ⋅3 + 1 = 11

25 25 V ar(Y) = 9 ⋅Var(X ) = 9⋅18-= 2-.

PRIMJER 7.9 Varijanca slučajne varijable X je očekivanje slučajne varijable Y = (X - E(X))²
(a) V ar(X) = E(Y ) = E((X - E(X))²)
(b) V ar(X) = E(X²) - (E(X))²

Rješenje:
(a) slijedi iz defininicije varijance,
(b)

V ar(X ) = E (X2 - 2X ⋅E (X )+ (E (X ))2) 2 2 2 2 = E (X ) - 2⋅E (X )⋅E (X ) + (E(X )) = E (X ) - (E(X ))

Definicija 7.8 (k-TI MOMENT )

k-ti moment slučajne varijable X je očekivanje funkcije slučajne varijable X^k:

k μk = E (X ).

PRIMJER 7.10 Očekivanje je 1. moment slučajne varijable:

μ1 = E(X ) = μ.

Definicija 7.9 (k-TI CENTRALNI MOMENT )

k-ti centralni moment slučajne varijable X je očekivanje funkcije slučajne varijable (X - E(X))^k:

β = E ((X - E (X ))k). k

PRIMJER 7.11 Varijanca je 2. centralni moment slučajne varijable:

β = E ((X - E(X ))2) = V ar(X ) = σ2. 2

7.2 Ponovimo

KONTINUIRANA SLUČAJNA VARIJABLA


slika kontinuirane slučajne varijable	(X) = I ⊂ ℝ

funkcija gustoće vjerojatnosti kon. sl. var.	f(x) := lim_△x→0

funkcija distribucije kon. sl. var. X	F(x) := P(X ≤ x) = ∫ _-∞^xf(t)dt

očekivanje kon. sl. var. X	E(X) := ∫ _-∞^∞x ⋅ f(x)dx

varijanca kon. sl. var. X	V ar(X) := ∫ _-∞^∞(x - E(X))²f(x)dx

FUNKCIJA OD SLUČAJNE VARIJABLE


Y je funkcija od slučajne varijable X	Y = h(X),

Y = a ⋅ X + b	Y : Ω → ℝ

očekivanje od Y	E(Y ) = a ⋅ E(X) + b

varijanca od Y	V ar(Y ) = a²V ar(X)

FUNKCIJA od DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Y = a ⋅ X + b


funkcija vjerojatnosti od Y	f_Y(y) = f()

funkcija distribucije od Y	F_Y(y) = P(Y ≤ y) = ∑ _{x_i;x_i≤}f(x_i)

FUNKCIJA od KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE Y = a ⋅ X + b


funkcija gustoće vjerojatnosti od Y	f_Y(y) = f() ⋅

funkcija distribucije od Y	F_Y(y) =

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]

Poglavlje 7KONTINUIRANA SLUČAJNA VARIJABLA

7.1 FUNKCIJA SLUČAJNE VARIJABLE

7.2 Ponovimo

Poglavlje 7
KONTINUIRANA SLUČAJNA VARIJABLA