[next] [tail] [up]

Poglavlje 5
SLUČAJNA VARIJABLA

MOTIV 5.1 U agenciji za nekretnine prema pokazateljima prodaje u prošlom razdoblju zarada po prodanom jednosobnom stanu je 3000 eura. Kolika je očekivana mjesečna zarada na jednosobnim stanovima ako je prema zadnjim pokazateljima vjerojatnost prodaje nijednog stana 0.1, 1 stana 0.3, 2 stana 0.4, a vjerojatnost prodaje 3 stana 0.2 .

Opisna definicija pojama slučajne varijable: to je funkcija koja elementarnim dogadajima nekog slučajnog pokusa pridružuje realan broj. Ako je pokus takav da slučajna varijabla predstavlja prebrajanje onda ćemo govoriti o diskretnoj slučajnoj varijabli. Ako je pokus takav da slučajna varijabla uključuje mjerenje (temperatura, tlak, vrijeme, postotak) onda ćemo govoriti o kontinuiranoj slučajnoj varijabli jer se vrijednosti mjerenja prikazuju intervalima.

Diskretna slučajna varijabla se zadaje vrijednostima koje su pridružene ishodima pokusa i vjerojatnostima dogadaja da slučajna varijabla poprimi te vrijednosti.

Kontinuirana slučajna varijabla zadaje se vjerojatnostima da poprimi vrijednosti unutar pojedinog intervala. Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla poprimi pojedinu vrijednost unutar intervala je nula.

Neka je slučajni pokus bacanje dvije kocke istovremeno. Elemntarnim dogadajima možemo pridružiti realan broj koji odgovara sumi palih brojeva. To pridruživanje je funkcija X sa vrijednostima u skupu {2,3,4,...,12} koje ovise o ishodu slučajnog pokusa, pa to opravdava naziv slučajna varijabla X =suma brojeva koji su pali. To je diskretna slučajna varijabla.

Neka je slučajni pokus godišnje poslovanje jednog poduzeća. Kontinuirana slučajna varijabla X se može definirati kao omjer prodaje i profita u jednoj godini.

Definicija 5.1 (SLUČAJNA VARIJABLA, engl. random variable)

Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor. Funkciju X : Ω → ℝ zovemo slučajna varijabla ako vrijedi ∀I ⊂ ℝ,{ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I}⊂F.

Definicija 5.2 (PRASLIKA SLUČAJNE VARIJABLE)

Neka je X : Ω → ℝ slučajna varijabla. Praslika slučajne varijable od intervala I ⊂ ℝ je skup X-1(I) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I}⊂F.

Definicija 5.3 (SLIKA SLUČAJNE VARIJABLE)

Neka je X : Ω → ℝ slučajna varijabla. Slika slučajne varijable R(X) je skup {X(ω) : ω ∈ Ω}⊂ ℝ.

PRIMJER 5.1 Neka je (Ω,P(Ω),P) diskretni vjerojatnosni prostor gdje je Ω = {ω1,ω2}. Neka je X : Ω → ℝ slučajna varijabla definirana na sljedeći način: X(ω1) = 0,X(ω2) = 1. Pokaži da je X slučajna varijabla.

Rješenje:
∀I, 0∕∈I, 1∈∕I  ⇒  X-1(I) = ∅⊂P(Ω),
∀I, 0 ∈ I, 1∕∈I  ⇒  X-1(I) = {ω1}⊂P(Ω),
∀I, 0 ∈ I, 1 ∈ I  ⇒  X-1(I) = {ω1,ω2}⊂P(Ω),
∀I, 0∕∈I, 1 ∈ I  ⇒  X-1(I) = {ω2}⊂P(Ω).
X je slučajna varijabla na (Ω,P(Ω),P).

Definicija 5.4 Za slučajnu varijablu X na (Ω,F,P) definiramo vjerojatnost da poprimi vrijednost iz intervala I ⊂ ℝ

-1 P (X ∈ I) = P(X (I)) = P ({ω ∈ Ω : X (ω) ∈ I }).
Koristimo sljedeću notaciju:

Ako je I = {a} onda

P (X ∈ {a}) ≡ P (X = a) = P({ω ∈ Ω : X (ω ) = a}).

NAPOMENA 5.1 Matematički korektna definicija je dana u Napomeni 5.3.

PRIMJER 5.2 Neka je (Ω,F,P) diskretni vjerojatnosni prostor gdje je Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4},a vjerojatnost P({ωi}) = 1 4,i = 1,..,4. Neka je X : Ω → ℝ slučajna varijabla definirana na sljedeći način: X(ω1) = X(ω2) = 0,X(ω3) = X(ω4) = 1.
Izračunajte vjerojatnost da Slučajna varijabla X poprimi vrijednost 1 tj. P(X = 1) ako je F  algebra (a), (b) i (c):
(a) F = P(Ω),
(b) F = {∅,Ω,{ω1,ω2},{ω3,ω4}},
(c) F = {∅,Ω,{ω1,ω3},{ω2,ω4}}.

Rješenje:
Prvi korak je provjera je li X slučajna varijabla.
(a) X je slučajna varijabla za F = P(Ω) (vidi dokaz u prethodnom primjeru).
(b) X je slučajna varijabla za F{∅,Ω,{ω1,ω2},{ω3,ω4}}, jer
∀I, 0∕∈I, 1∈∕I  ⇒  X-1(I) = ∅⊂F,

∀I, 0 ∈ I, 1∈∕I  ⇒  X-1(I) = {ω1,ω2}⊂F,

∀I, 0 ∈ I, 1 ∈ I  ⇒  X-1(I) = {{ω1,ω2},{ω3,ω4}}⊂F,

∀I, 0∕∈I, 1 ∈ I  ⇒  X-1(I) = {ω3,ω4}⊂F.

(c) X nije slučajna varijabla na F = {∅,Ω,{ω1,ω3},{ω2,ω4}} jer
∀I, 0∕∈I, 1∈∕I  ⇒  X-1(I) = ∅⊂F,

∀I, 0 ∈ I, 1∈∕I  ⇒  X-1(I) = {ω1,ω2} ⊊ F,

∀I, 0 ∈ I, 1 ∈ I  ⇒  X-1(I) = {{ω1,ω2},{ω3,ω4}} ⊊ F,

∀I, 0∕∈I, 1 ∈ I  ⇒  X-1(I) = {ω3,ω4} ⊊ F.

Vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost 1 možemo izračunati samo u slučaju (a) i (b) i ona iznosi:

P(X = 1) = P ({ω ∈ Ω : X(ω ) = 1} 1 = P ({ω3 })+ P ({ω4 }) = -. 2

P(X = 1) = 1 2.

NAPOMENA 5.2 tko želi znati više

Promotrimo prostor elementarnih dogadaja ℝ = (-∞,∞). Neka je definirana familija skupova A takva da je A ∈ A ako je oblika A = ∪in(a i,bi], gdje je (a,b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b,-∞≤ a < b < ∞}. Ta familija A nije σ-algebra. Sa B(ℝ) označimo najmanju σ-algebru koja sadrži A. Tu σ-algebru zovemo Borelova sigma algebra skupova na ℝ. Elemente te σ-algebre zovemo Borelovi skupovi (intervali I).
Dogadaji u sigma algebri dogadaja B(ℝ) su intervali I oblika:

(a,b], (a,b), [a,b], [a,b), (- ∞, b), (- ∞, b], (a,∞ ), {a}.

NAPOMENA 5.3 tko želi znati više

Slučajna varijabla X na (Ω,F,P) inducira novu funkciju vjerojatnosti PX : B(ℝ) → ℝ na prostoru (ℝ,B(ℝ),PX) na sljedeći način.

Za I ∈B(ℝ) funkciju vjerojatnosti PX definiramo preko vjerojatnosti P na F:

PX (I) = P (X -1(I)) = P ({ω : X (ω ) ∈ I}) ≡ P(X ∈ I).

Koristimo sljedeću notaciju: Ako je I = {a}, onda

PX ({a}) = P(X = {a}) ≡ P (X = a).

Vjerojatnost PX može opisivati slučajne varijable na različitim F. Koristimo tu induciranu vjerojatnost ali ćemo imati istu oznaku P, kao vjerojatnost iz prostora vjerojatnosti (Ω,F,P) na kojem je slučajna varijabla X zadana.

5.1 DISKRETNA SLUČAJNA VARIJABLA

MOTIV 5.2 Promatramo slučajan pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali. Izračunajte vjerojatnost da je zbroj brojeva koji su pali veći od 3 a manji ili jednak 6, tj. P(3 < X ≤ 6)?

Definicija 5.5 DISKRETNA SLUČAJNA VARIJABLA

Za slučajnu varijablu X : Ω → ℝ kažemo da je diskretna slučajna varijabla ako je slika R(X) diskretan skup, konačan ili prebrojiv.

PRIMJER 5.3 Neka je (Ω,P(Ω),P) diskretni vjerojatnosni prostor gdje je Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4}. Neka je X : Ω → ℝ definirana na sljedeći način: X(ω1) = X(ω2) = 0, X(ω3) = X(ω4) = 1. Pokazali smo prije da je takva funkcija X slučajna varijabla. Slika od X je R(X) = {0,1}, prebrojiv (konačan) skup pa je X diskretna slučajna varijabla.

Definicija 5.6 (FUNKCIJA VJEROJATNOSTI SLUČAJNE VARIJABLE, engl. probability function of X)

Neka je X : Ω → ℝ diskretna slučajna varijabla sa slikom R(X) = {x1,x2,...}. Funkciju f : ℝ → ℝ definiranu na sljedeći način:

{ P (X = xi), x = xi ∈ R (X ) f(x) = 0, inaˇce.

zovemo funkcija vjerojatnosti diskretne slučajne varijable X.

SVOJSTVA funkcije vjerojatnosti slučajne varijable X.

Dokaz:
(i) Za I = {xi}, P(X = xi) = P({ω : X(ω) = xi})  ⇒  0 ≤ f(xi) ≤ 1.
(ii) Za xi≠xj  ⇒  {ω : X(ω) = xi}⋂ {ω : X(ω) = xj} = ∅, svojstvo (ii) slijedi prema svojstvu (P3), prebrojive aditivnosti funkcije P:

∞ ∞ ∑ f (x ) = ∑ P (X = x ) = P(Ω ) = 1. i=1 i i=1 i

NAPOMENA 5.4 Diskretna slučajna varijabla je zadana sa svojom slikom R(X) = {x1,x2,x3,...,xn,...} i funkcijom vjerojatnosti slučajne varijable f, vrijednostima {f(x1),f(x2),f(x3),...,f(xn),...}.
Zapis slučajne varijable X kao uredene sheme:

( ) X ~ x1 x2 x3 ... xn ... , p1 p2 p3 ... pn ...

gdje su pi = f(xi), i = 1,2,....

PRIMJER 5.4 Neka je (Ω,P(Ω),P) diskretni vjerojatnosni prostor gdje je Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4}, P({ωi}) = 1 4, i = 1,..,4. Neka je X : Ω → ℝ slučajna varijabla definirana na sljedeći način: X(ω1) = 7, X(ω2) = 8, X(ω3) = 9, X(ω4) = 10. Odredite f(x), funkciju vjerojatnosti slučajne varijable X .

Rješenje: Slika slučajne varijable X je R(X) = {7,8,9,10}.. Funkcija vjerojatnosti slučajne varijable X je f : ℝ → ℝ

{ P (X = xi), x = xi ∈ R (X ) f (x ) := 0, inaˇce.

{ 1 f (x ) := 4, x = xi ∈ {7,8,9,10} 0, inaˇce.

Slučajnu varijablu X možemo zadati shemom X ~( ) 7 8 9 10 1 1 1 1 4 4 4 4.

PRIMJER 5.5 Neka je (Ω,P(Ω),P) diskretni vjerojatnosni prostor slučajnog pokusa bacanja igraće kocke. Ω = {ω1, ω2, ω3,..., ω6}, P({ωi}) = 1 6, i = 1,..,6. Neka je X : Ω → ℝ slučajna varijabla definirana na sljedeći način: X = broj koji je pao.
Odredite funkciju vjerojatnosti slučajne varijable X.

Rješenje: Slika slučajne varijable je skup R(X) = {1,2,3,4,5,6}.

1 P(X = i) = P ({ωi}) =-, i = 1,..,6 6

Funkcija vjerojatnosti slučajne varijable X je f : ℝ → ℝ

{ P (X = xi), x = xi ∈ R (X ) f (x ) := 0, inaˇce.

{ 16, x = xi ∈ {1,2,3,4,5,6} f(x) := 0, inaˇce.

Slučajnu varijablu X možemo zadati s X ~( 1 2 3 4 5 6 ) 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6.

Definicija 5.7 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE DISKRETNE SLUČAJNE
VARIJABLE, engl. distribution function)

Neka je X : Ω → ℝ diskretna slučajna varijabla sa slikom
R(X) = {x1,x2,...}. Funkciju F : ℝ → ℝ definiranu na sljedeći način:

∑ F (x) := P (X ≤ x) = f(xi) i:xi≤x

zovemo funkcija distribucije diskretne slučajne varijable X.
Veza funkcije vjerojatnosti i funkcije distribucije diskretne slučajne varijable je:

f(xi) = F (xi)- F (xi- ),

gdje je F(xi-) = limx→xi-F(x).

PIC

Slika 5.1: Graf funkcije distribucije F(x) diskretne slučajne varijable X.

SVOJSTVA FUNKCIJE DISTRIBUCIJE diskretne slučajne varijable:

Dokaz:
(F1) Kako je dogadaj X ≤-∞ nemoguć dogadaj, slijedi

  F(-∞) := P(X ≤-∞) = P(∅) = 0.
(F2) Kako je dogadaj X ≤∞ siguran dogadaj slijedi

  F(∞) := P(X ≤∞) = P(Ω) = 1.
(F3) tvrdnja slijedi iz svojstava (F1) i (F2).
(F4) Iz definicije funkcije distribucije F(x) = P(X ≤ x) u točkama prekida

  xi F je neprekinuta s desna jer F(x) = F(x+),F(x-) = P(X < x)
(F5) Neka su a,b ∈ ℝ,a < b. Računamo

F (b) = P(X ≤ b) = P ((X ≤ a) ∪(a < X ≤ b)) = P(X ≤ a)+ P (a < X ≤ b)) = F(a)+ P(a < X ≤ b),

  otkuda slijedi P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
(F6) Neka su a,b ∈ ℝ,a < b. Iz svojstva (F5) slijedi da je F(b) ≤ F(a), pa

  je funkcija F rastuća.

PRIMJER 5.6 Za funkciju distribucije diskretne slučajne varijable
F(x) = P(X ≤ x) vrijede i slijedeće relacije:

Rješenje:

(a) F (b- ) = P (X < b) = P ((X ≤ a)∪ (a < X < b)) = P (X ≤ a )+ P (a < X < b) = F (a)+ P (a < X < b).
(b) F (b) = P(X ≤ b) = P ((X < a) ∪(a ≤ X ≤ b)) = P(X < a)+ P (a ≤ X ≤ b) = F(a- )+ P (a ≤ X ≤ b).
(c) F (b- ) = P (X < b) = P ((X < a)∪ (a ≤ X < b)) = P (X < a)+ P (a ≤ X < b) = F(a- )+ P (a ≤ X < b).

PRIMJER 5.7 Za slučajnu varijablu X iz primjera zadanu s

( ) X ~ 7 8 9 10 14 14 14 14

napišite funkciju distribucije. Izračunajte vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednosti veće od 8 i manje ili jednako 10?

Rješenje:

( || 0, x < 7 |||| 1, 7 ≤ x < 8 ∑ { 42 F (x ) := P(X ≤ x) = f(xi) = | 4, 8 ≤ x < 9 i:xi≤x |||| 3, 9 ≤ x < 10 |( 4 1 10 ≤ x.

PIC

Slika 5.2: Graf funkcije distribucije F(x) diskretne slučajne varijable X iz primjera (5.7).

Koristimo formulu

P (a < X ≤ b) = F(b)- F (a) = ∑ f (x), i i:a<xi≤b

∑ 1- 1- 1- P(8 < X ≤ 10) = f(xi) = f(9)+ f(10) = 4 + 4 = 2 , i:8<xi≤10

ili odmah uvrstimo vrijednosti F(b),F(a) :

2 1 P (8 < X ≤ 10) = F(10) - F(8) = 1- -= -. 4 2

PRIMJER 5.8 Za slučajnu varijablu X iz primjera zadanu s

( ) X ~ 1 2 3 4 5 6 16 16 16 16 16 16
napišite funkciju distribucije. Izračunajte

Rješenje:

( ||| 0, x < 1 ||| 1, 1 ≤ x < 2 |||| 62 ∑ |{ 6, 2 ≤ x < 3 F(x) := P (X ≤ x ) = f (xi) = 36, 3 ≤ x < 4 i:xi≤x |||| 4, 4 ≤ x < 5 ||| 65 |||| 6, 5 ≤ x < 6 ( 1, 6 ≤ x.

(a) Koristimo formulu

∑ P (a < X ≤ b) = F(b)- F (a) = f (xi), i:a<xi≤b

∑ 1 1 1 3 P (2 < X ≤ 5) = f (xi) = f(3)+ f (4 )+ f(5) = --+ --+ --= -, i:2<xi≤5 6 6 6 6

ili odmah uvrstimo vrijednosti F(b),F(a) :

5- 2- 3- P (2 < X ≤ 5) = F(5)- F (2) = 6 - 6 = 6.

(b) Koristimo formulu

∑ P (a < X < b) = F (b- )- F (a) = f (xi), i:a<xi<b

∑ 1 1 2 P (2 < X < 5) = f(xi) = f(3) + f(4) =-+ --= -, i:2<xi<5 6 6 6

ili odmah uvrstimo vrijednosti F(b-),F(a) :

4 2 2 P (2 < X < 5) = F(5- )- F (2) = -- -= -. 6 6 6

PRIMJER 5.9 motiv

Promatramo slučajan pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali. Nadite funkciju vjerojatnosti i funkciju distribucije slučajne varijable X. Izračunajte vjerojatnost da je zbroj brojeva koji su pali veći od 3 a manji ili jednak 6?

Rješenje:

( ) X ~ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . 316 236- 336 346 536- 636 356 436 336 326 136
Funkcija distribucije slučajne varijable X je
(| ||| 0, x < 2 |||| 316, 2 ≤ x < 3 |||| -3, 3 ≤ x < 4 ||| 366 |||| 36, 4 ≤ x < 5 |||| 1306, 5 ≤ x < 6 |{ 15, 6 ≤ x < 7 F (x) := 3261 |||| 36, 7 ≤ x < 8 ||| 2366, 8 ≤ x < 9 |||| 30, 9 ≤ x < 10 |||| 3363 ||| 36, 10 ≤ x < 11 |||| 35, 11 ≤ x < 12 ||( 36 1, 12 ≤ x.

Koristimo formulu P(a < X ≤ b) = ∑ i:a<xi≤bf(xi),

∑ 3 4 5 12 P(3 < X ≤ 6) = f (xi) = f(4)+ f (5) + f(6) = ---+ ---+ ---= ---, i:3<xi≤6 36 36 36 36

ili odmah uvrstimo vrijednosti F(b),F(a):

P (3 < X ≤ 6) = F (6 )- F (3) = 15-- -3-= 12. 36 36 36

PRIMJER 5.10 Promatramo slučajan pokus gadanja u metu 3 puta. U svakom gadanju vjerojatnost pogotka mete je 1 2. Neka je slučajna varijabla X = broj pogodaka u metu. Nadite funkciju vjerojatnosti i funkciju distribucije slučajne varijable X.

Rješenje: Slučajnu varijablu X možemo zadati s X ~( 0 1 2 3 ) 1 3 3 1 8 8 8 8.
Funkcija distribucije slučajne varijable X je

( |||| 0, x < 0 ||{ 18, 0 ≤ x < 1 F(x) := 4, 1 ≤ x < 2 ||| 87 ||| 8, 2 ≤ x < 3 ( 1, 3 ≤ x.

Definicija 5.8 (OČEKIVANJE DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE, engl. mean ili mathematical expectation)

Neka je X : Ω → ℝ diskretna slučajna varijabla sa slikom
R(X) = {x1,x2,...} i funkcijom vjerojatnosti f : ℝ → [0,1]

{ P(X = xi), x = xi ∈ R (X ) f (x) := 0, ina ˇce.

Kažemo da diskretna slučajna varijabla X ima očekivanje ako red ∑ i=1∞x if(xi) konvergira i označavamo

∑∞ E(X ) := xif (xi). i=1

Ako je X diskretna slučajna varijabla s konačnom slikom R(X) onda ona ima očekivanje

∑n E(X ) := xif (xi). i=1

Očekivanje slučajne varijable predstavlja očekivanu vrijednost slučajne varijable.

PRIMJER 5.11 motiv

U agenciji za nekretnine prema pokazateljima prodaje u prošlom razdoblju zarada po prodanom jednosobnom stanu je 3000 eura. Kolika je očekivana tjedna zarada na jednosobnim stanovima ako je prema zadnjim pokazateljima vjerojatnost prodaje nijednog stana 0.1, 1 stana 0.3, 2 stana 0.4, a vjerojatnost prodaje 3 stana 0.2 .

Rješenje: Slučajnu varijablu X = broj prodanih jednosobnih stanova, možemo zadati s X ~( ) 0 1 2 3 110 310- 410 120.

∑ E(X ) = xif (xi) i=1 -1- 3-- -4- 2-- = 0 ⋅10 + 1⋅ 10 + 2⋅10 + 3 ⋅10 = 1.7.
Očekivani broj prodanih jednosobnih stanova je 1.7. Očekivana tjedna zarada je 5100 eura.

NAPOMENA 5.5 U teoriji igara matematičko očekivanje nekog kladenja je E(X) = p ⋅ a, gdje je a = očekivani dobitak kad se dogodi dogadaj s vjerojatnošću p. Ako je E(X) < 0 onda je igrač na gubitku, ako E(X) > 0 onda je na dobitku, a ako je E(X) = 0 onda je igra pravedna. Ako je uložen novac u iznosuulog, onda je ukupno matematičko očekivanje ulog ⋅ E(X).

PRIMJER 5.12 (a) U igri s novčićem prvi igrač se kladi u 1 kunu. Kad prvi igrač izgubi plati kunu protivniku, a kad protivnik izgubi plati 1 kunu prvom igraču. Izračunajte matematičko očekivanje? Ako je prvi igrač uložio 1000 kuna koliki je očekivani dobitak ili gubitak?

(b) U igri s novčićem prvi igrač se kladi u 1 kunu. Kad prvi igrač izgubi plati kunu protivniku, a kad protivnik izgubi plati 90 lipa prvom igraču. Izračunajte matematičko očekivanje? Ako je prvi igrač uložio 1000 kuna koliki je očekivani dobitak ili gubitak?

Rješenje: (a) Matematičko očekivanje je E(X) = 1 ⋅1 2 + (-1) ⋅1 2 = 0. Igra je pravedna. Budući je prvi igrač uložio 1000 kn njegov dobitak (gubitak) je 1000 ⋅ 0 = 0 tj. nema niti gubitka niti dobitka jer je očekivani iznos jedank ulogu.

(b)Matematičko očekivanje je E(X) = 0.90 ⋅12 + (-1) ⋅12 = -0.05. Igrač je na gubitku jer je E(X) < 0. Budući je prvi igrač uložio 1000 kn njegov očekivani gubitak je 1000 ⋅ (-0.05) = -50 kn.

Definicija 5.9 (VARIJANCA ILI DISPERZIJA DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE, engl. variance)

Neka je X : Ω → ℝ diskretna slučajna varijabla sa slikom
R(X) = {x1,x2,...} i funkcijom vjerojatnosti f : ℝ → [0,1]

{ P(X = xi), x = xi ∈ R (X ) f (x) := 0, ina ˇce.

Kažemo da diskretna slučajna varijabla X ima varijancu ako red
∑ i=1∞(x i - E(X))2f(x i) konvergira i označavamo

∑∞ Var(X ) := (x - E (X ))2f (x ). i=1 i i


Ako je X diskretna slučajna varijabla s konačnom slikom R(X) onda ona ima varijancu

∑n Var(X ) := (xi - E (X ))2f (xi). i=1

Varijanca predstavlja srednje kvadratno odstupanje od očekivane vrijednosti slučajne varijable.
Varijancu možemo računati i pomoću relacije

∑n V ar(X ) := x2i ⋅f(xi)- (E (X ))2. i=1

(Dokaz vidi kasnije - očekivanje funkcije slučajne varijable).

Definicija 5.10 (STANDARDNA DEVIJACIJA, engl. standard deviation)

Standardna devijacija slučajne varijable X definira se kao

σ(X ) := ∘V-ar(X-).

PRIMJER 5.13 Promatramo slučajan pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali. Nadite očekivanje i varijancu diskretne slučajne varijable X.

Rješenje: X ~( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1- -2 3- 4- -5 6- 5- -4 3- 2- -1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36.

∑ E (X ) = xif(xi) i=1 = 2⋅ 1--+ 3⋅-2-+ 4 ⋅-3-+ 5⋅ 4-+ 6⋅-5-+ 7 ⋅ 6-+ 8⋅ 5-+ 9 ⋅-4- 36 36 36 36 36 36 36 36 -3- -2- 1-- +10 ⋅36 + 11 ⋅36 + 12 ⋅36 = 7.

n ∑ 2 2 V ar(X) = xi ⋅f(xi)- (E(X )) i = 22 ⋅-1-+ 32 ⋅ 2-+ 42 ⋅-3-+ 52 ⋅-4-+ 62 ⋅ 5-+ 72 ⋅-6-+ 82 ⋅ 5 36 36 36 36 36 36 36 +92 ⋅-4-+ 102 ⋅ 3-+ 112 ⋅-2-+ 122 ⋅ 1-- 72 36 36 36 36 = 5.83.

PRIMJER 5.14 Promatramo slučajan pokus gadanja u metu 3 puta. U svakom gadanju vjerojatnost pogotka mete je 1 2. Neka je slučajna varijabla X = broj pogodaka u metu. Izračunajte očekivanje i varijancu.

Rješenje: Slučajna varijabla X je X ~( ) 0 1 2 3 1 3 3 1 8 8 8 8.

E(X) = ∑ i=1nx if(xi) = 0 ⋅1- 8 + 1 ⋅3- 8 + 2 ⋅3- 8 + 3 ⋅1- 8 = 3- 2.

n ∑ 2 2 2 1- 2 3- 2 3- 2 1- 3-2 V ar(X ) = x i ⋅f(xi)- (E (X )) = 0 ⋅8 + 1 ⋅8 + 2 ⋅8 + 3 ⋅8 - (2) i=1 = 3. 4

5.2 Ponovimo

SLUČAJNA VARIJABLA

slučajna varijabla X : Ω → ℝ
slika slučajne varijable R(X) ⊂ ℝ
praslika sl. var. X-1(I) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I}⊂F
vjerojatnost da sl. var. poprimi vrijednosti u IP(X ∈ I) = P(X-1(I))

DISKRETNA SLUČAJNA VARIJABLA

slika diskretne slučajne varijable R(X) = {x1,x2,....,xn,...}
funkcija vjerojatnosti dis. sl. var. Xf(x) = P(X = xi),x = xi ∈R(X)
funkcija distribucije dis. sl. var. X F(x) := P(X ≤ x) = ∑ i:xi≤xf(xi)
očekivanje dis. sl. var. X E(X) := ∑ i=1∞xif(xi)
varijanca dis. sl. var. X V ar(X) := ∑ i=1∞(xi - E(X))2f(xi)

[next] [front] [up]