[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

Poglavlje 14
INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU

14.1 INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU NORMALNU distribucije
poznatog očekivanja

MOTIV 14.1

Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ2) nepoznate varijance σ2 i poznatog očekivanja μ = 10. Uzet je uzorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost uzorka (7,8,10,9,9). Odredite interval povjerenja za varijancu σ2 slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

TEOREM 14.1 Neka je (X1,X2,..Xn) slučajni uzorak slučajne varijable
X ~ N(μ,σ2) s nepoznatim parametrom varijancom σ2, i poznatog očekivanja μ. Interval povjerenja (G1,G2) za parametar varijance σ2 s pouzdanošću γ čine procjenitelji:

∑n ∑n G1 = -1- (Xi - μ)2 i G2 = -1- (Xi - μ)2, λ2 i=1 λ1 i=1

gdje su λ1 = z1-γ- 2, λ2 = z1+γ 2, kvantili hi-kvadrat distribucije χ2(n),
F(z1-2γ) = 1-γ -2-, F(z1+2γ) = 1+ γ -2-.

Dokaz: tko želi znati više

Neka je X ~ N(μ,σ2) , onda je Y = ∑ i=1n(Xi --μ- σ)2 ~ χ2(n).
Na intervalu (λ1,λ2) :
P(λ1 < 1-- σ2 ∑ i=1n(X i - μ)2 < λ 2) = F(λ2) - F(λ1), tj.

n n -1-∑ 2 2 1-∑ 2 P(λ2 (Xi - μ) < σ < λ1 (Xi - μ) ) = F(λ2)- F (λ1). i=1 i=1

Ako je zadana pozdanost γ, P(G1 < σ2 < G2) = γ = 1+γ 2 -1-γ 2, onda možemo odrediti λ1,λ2 tako da vrijedi F(λ1) = 1-2γ,F(λ2) = 1+2γ tj. λ1 = z1--γ 2, λ2 = z1+γ 2 su kvantili hikvadrat distribucije χ2(n).
Procjenitelji G1 = 1 --- λ2 ∑ i=1n(X i - μ)2, G 2 = 1 --- λ1 ∑ i=1n(X i - μ)2 čine interval povjerenja

∑n ∑n (-1- (Xi - μ)2, 1- (Xi - μ)2) λ2 i=1 λ1 i=1

za parametar σ2 slučajne varijable X ~ N(μ,σ2) s pouzdanošću γ.
Parametar varijanca σ2 s pouzdanošću γ poprimit će vrijednosti u intervalu

1 ∑n 2 1 ∑n 2 (λ-- (xi - μ ),λ- (xi - μ )), 2i=1 1i=1

gdje su λ1 = z1-γ- 2, λ2 = z1+γ 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n).
Ako je tablica hikvadrat distribucije Y ~ χ2(n), dana u obliku
P(Y > ε) = p, onda P(Y > λ2) = 1---γ 2, P(Y > λ1) = 1+--γ 2.

NAPOMENA 14.1 Ova procjena parametra varijance slučajne varijable
X ~ N(μ,σ2) poznatog očekivanja može koristiti za odredivanje širine inervala

∑n δ = (xi - μ)2( 1-- -1) i=1 λ1 λ2

uz zadanu pozdanost γ za interval povjerenja

∑n ∑n (-1- (xi - μ )2,-1 (xi - μ )2), λ2 i=1 λ1 i=1

gdje su λ1 = z1-γ- 2, λ2 = z1+γ 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).

NAPOMENA 14.2 Kvantili za hikvadrat distribuciju za n = 5,χ2(5),
F(z1+2γ) = 1+γ 2 :

|------|------|------| |------|------|-----| |--γ---|0.95--|0.99--| |--γ---|0.95--|0.99-| | 1+γ |0.975 |0.995 | | 1-γ |0.025 |0.01 | |--2---|------|------| |--2---|------|-----| -z-1+2γ---12.83---16.75--| --z1-2γ--0.83---0.55-|

PRIMJER 14.1 motiv

Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ2) nepoznate varijance σ2 i poznatog očekivanja μ = 10. Uzet je uzorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost uzorka (7,8,10,9,9). Odredite interval povjerenja za varijancu σ2 slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

Rješenje: P(-1 λ2 ∑ i=1n(xi - μ)2 < σ2 < -1 λ1 ∑ i=1n(xi - μ)2) = γ.
Za varijancu σ2, poznatog očekivvanja interval povjerenja pouzdanosti γ je (λ12 ∑ i=1n(xi - μ)2,λ11 ∑ i=1n(xi - μ)2), gdje su λ1 = z1-γ- 2, λ2 = z1+γ 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n).
Za n = 5, λ1 = z1-2γ, λ2 = z1+2γ.
Iz tablice očitavamo za γ = 0.95, λ1 = z1-γ 2 = 0.83,λ2 = z1+γ 2 = 12.83.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka ∑ i=15(x i - 10)2 = 32 + 22 + 12 + 12 = 15
dobivamo interval povjerenja za σ2 :

1 ∑n 1 ∑n 1 1 (--- (xi - μ )2,--- (xi - μ )2) = (----⋅ 15,----⋅15) = (1.17,18.07). λ2 i=1 λ1i=1 12.83 0.83

14.2 INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU NORMALNE distribucije
nepoznatog očekivanja

MOTIV 14.2

U četiri mjerenja Rockwellove tvrdoće jedne ploče radnici du dobili sljedeće vrijednosti:
64.9,64.1,63.8,64.0.
Odredite interval povjerenja za varijancu tvrdoće s pouzdanošću 99%.

TEOREM 14.2 Neka je (X1,X2,..Xn) slučajni uzorak slučajne varijable
X ~ N(μ,σ2) s nepoznatim parametrom varijancom σ2, nepoznatog očekivanja μ. Interval povjerenja (G1,G2) za varijance σ2 s pouzdanošću γ čine procjenitelji:

G1 = (n---1)^S2 i G2 = (n---1)^S2, λ2 λ1

gdje je ^S 2 korigirana uzoračka varijanca, a λ1 = z1--γ 2, λ2 = z1+γ 2, kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1),
F(z1-2γ) = 1-γ -2-, F(z1+2γ) = 1+ γ -2-.

Dokaz: tko želi znati še

Neka je X ~ N(μ,σ2), onda je Y = n-1- σ2 ^ S 2 ~ χ2(n - 1).
Na intervalu (λ1,λ2) : P(λ1 < n-σ21^S 2 < λ2) = F(λ2) - F(λ1) tj.

(n - 1) (n - 1) P (------S^2 < σ2 < ------S^2 ) = F (λ2)- F (λ1). λ2 λ1

Ako je zadana pozdanost γ, P(G1 < σ2 < G2) = γ = 1+ γ --2 -1- γ --2, i onda možemo odrediti λ1,λ2 tako da vrijedi F(λ1) = 1-2γ,F(λ2) = 1+2γ tj. λ1 = z1-γ- 2, λ2 = z1+γ 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Procjenitelji G1 = (n-1) -λ2--^S 2, G2 = (n-1) -λ1--^S 2 čine interval povjerenja

(n - 1) (n - 1) ( ------^S2, ------S^2 ) λ2 λ1

za parametar σ2 slučajne varijable X ~ N(μ,σ2) s pouzdanošću γ.
Parametar varijanca σ2 s pouzdanošću γ poprimit će vrijednosti u u intervalu ((n-1) λ2^s 2,(n--1) λ1^s 2), gdje su λ1 = z1-γ -2-, λ2 = z1+γ -2- kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Ako je tablica hikvadrat distribucije Y ~ χ2(n - 1), dana u obliku
P(Y > ε) = p, onda P(Y > λ2) = 1-γ 2, P(Y > λ1) = 1+γ 2.

NAPOMENA 14.3 Ova procjena parametra varijance slučajne varijable
X ~ N(μ,σ2) nepoznatog očekivanja može koristiti za odredivanje

2-1- 1-- δ = (n - 1)^s(λ1 - λ2)

širine inervala uz zadanu pozdanost γ za interval povjerenja

((n---1)^S2, (n---1)^S2), λ2 λ1

gdje su λ1 = z1-γ- 2, λ2 = z1+γ 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).

NAPOMENA 14.4 Kvantili za hikvadrat distribuciju za n = 4, χ2(4),
F(z1+2γ) = 1+γ -2- :

|-----|------|------| |-----|------|-----| |-γ---|-0.95--|-0.99--| |--γ--|-0.95-|-0.99-| |1+2γ--|0.975-|0.995-| |-1-2γ-|-0.025-|-0.01-| |z1+γ |11.14 |14.86 | |z1-γ | 0.48 | 0.21 | ---2----------------- ---2----------------

PRIMJER 14.2 Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ2) nepoznate varijance σ2 i nepoznatog očekivanja μ. Uzet je uzorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost uzorka (7,8,10,9,9). Odredite interval povjerenja za varijancu σ2 slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

Rješenje: P((n-1) λ2^S 2 < σ2 < (n-1) λ1^S 2) = γ.
Za varijancu σ2 interval povjerenja pouzdanosti γ je ((n--1)- λ2 ^ S 2,(n--1)- λ1 ^ S 2), gdje su λ1 = z1-γ 2, λ2 = z1+γ 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Za n = 5, iz tablice očitavamo za γ = 0.95, λ1 = z1-γ 2 = 0.48,
λ2 = z1+2γ = 11.14.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka: x = 1- n∑ i=1nx i = 1- 5(7 + 8 + 10 + 9 + 9) = 8.6,
∑ i=15(x i -x)2 = 32 + 22 + 12 + 12 = 15

∑n ∑5 ^s2 = --1-- (xi - x)2 = -1--- (xi - 8.6)2 n - 1 i=1 5- 1 i=1 1 = -((7- 8.6)2 + (8 - 8.6)2 + (10- 8.6)2 + (9- 8.6)2 + (9 - 8.6 )2) = 1.3 4
dobivamo interval povjerenja za σ2 :
((n---1)^s2, (n--1)^s2) = ((5--1)⋅1.3, (5--1)-⋅1.3) = (0.47,10.83). λ2 λ1 11.14 0.48

PRIMJER 14.3 Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ2) nepoznate varijance σ2 i nepoznatog očekivanja μ. Uzet je uzorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost korigirane uzoračke varijance ^s 2 = 0.64. Odredite interval povjerenja za varijancu σ2 slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

Rješenje: P((n-1) λ2^S 2 < σ2 < (n-1) λ1^S 2) = γ.
Za varijancu σ2 interval povjerenja pouzdanosti γ je ((n-λ-1)- 2S^ 2,(n-λ-1)- 1S^ 2), gdje su λ1 = z1-γ -2-, λ2 = z1+γ -2- kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Za n = 5, iz tablice očitavamo za γ = 0.95, λ1 = z1-2γ = 0.48,
λ2 = z1+γ 2 = 11.14.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka ^s 2 = 0.64 dobivamo interval povjerenja za σ2 :

(n---1) 2 (n---1) 2 (5---1) (5---1) ( λ2 ^s , λ1 ^s ) = ( 11.14 ⋅0.64, 0.48 ⋅0.64) = (0.229,5.33)

PRIMJER 14.4 motiv

U četiri mjerenja Rockwellove tvrdoće jedne ploče radnici du dobili sljedeće vrijednosti:
64.9,64.1,63.8,64.0.
Odredite interval povjerenja za varijancu tvrdoće s pouzdanošću 99%.

Rješenje:

Za varijancu σ2 interval povjerenja pouzdanosti γ je ((nλ-21)^S 2,(nλ-11)^S 2), gdje su λ1 = z1-γ -2-, λ2 = z1+γ -2- kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Za n = 4, i γ = 0.99, iz tablice za χ2(3) očitavamo za λ1 = z1-2γ = 0.07
λ2 = z1+γ 2 = 12.84.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka ^s 2 = 0.233 dobivamo interval povjerenja za σ2 :

(n---1) 2 (n--1-) 2 --3-- -(3) ( λ2 ^s , λ1 ^s) = (12.84 ⋅0.233,0.07 ⋅0.233) = (0.054,9.98).
Interval povjerenja za varijancu uz pouzdanost 99% je [0.05,9.98].

NAPOMENA 14.5 Intervali povjerenja za varijancu i standardnu devijaciju ako je n veliki.
(a) za n > 30, P( 2 (√2n2n-^σ3+-λ)2- < σ2 < 2 (√22nn-^σ3-λ)2) = γ,

λ = z1+γ -2- kvantili standardne normalne distribucije;
(b) za n ≥ 100,P(^σ - λ√^σ2n- < σ < ^σ + λ√^σ2n-) = γ,

λ = z1+γ 2 kvantili standardne normalne distribucije.

PRIMJER 14.5 Uzet je uzorak veličine 100 za visinu 18-godišnjakinja i dobivene su vrijednosti za uzoračku aritmetičku sredinu x = 165 cm i uzoračku varijancu  σ^2 = 5.82 cm.
Pretpostavimo da visina djevojaka ima normalnu distribuciju.
(a) Odredite interval povjerenja za očekivnje μ (srednju visinu) s pouzdanošću

γ = 0.95.
(b) Odredite interval povjerenja za standardnu devijaciju σ s pouzdanošću

γ = 0.95.
(c) Koliki treba biti uzorak da s pouzdanošću γ = 0.95 standardna devijacija

ne odstupa od uzoračke standardne devijacije više od 5%?

Rješenje:
(a) za n > 30, P(X - λ ^σ √n- < μ < X + λ ^σ √n-) = γ, λ = z1+2γ kvantili standardne

normalne distribucije

(x-- λ σ√^-< μ < x+ λ √^σ-) n n -5.8- -5.8- = (165- 1.96√100--< μ < 165.+ 1.96√100-) = (163.8,166.2).
(b) za n ≥ 100, P(^σ - λ√^σ2n- < σ < ^σ + λ√^σ2n-) = γ, λ = z1+γ 2 kvantili

standardne normalne distribucije

(^σ - λ √^σ--< μ < ^σ + λ√-^σ-) 2n 2n -5.8-- -5.8-- = (5.8 - 1.96 √200 < μ < 5.8 + 1.96 √200 ) = (4.9,6.6).
(c) P(^σ - λ ^σ √2n- < σ < ^σ + λ ^σ √2n-) = γ, λ = z1+2γ kvantili standardne normalne distribucije.

Iz P(5.8 - 1.965√.8-- 2n < σ < 5.8 + 1.965√.8- 2n) = 0.95 i uvjeta 1.965√.8- 2n < 5.8 ⋅ 5%

zaključujemo da je za n ≥ 769.

--------------------------- | γ |0.90 | 0.95 | 0.99 | |1+-γ-|-----|------|------| |--2--|0.95-|0.975-|0.995-| |z1+γ |1.65 | 1.96 | 2.58 | ---2-----------------------

14.3 Ponovimo

INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU NORMALNE distribucije
(očekivanje poznato)

slučajni uzorak (X1,X2,...,Xn), iz N(μ,σ2)
parametar σ2
pouzdanost γ
interval povjerenja za σ2P(G1 ≤ σ2 ≤ G2) ≥ γ
G1 = -1 λ2 ∑ i=1n(Xi - μ)2
G1 = -1 λ1 ∑ i=1n(Xi - μ)2
λ1 z1-2γ, kvantil χ2(n)
λ2 z1+-γ 2, kvantil χ2(n)

INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU NORMALNE distribucije
(očekivanje nepoznato)

slučajni uzorak (X1,X2,...,Xn), iz N(μ,σ2)
parametar σ2
pouzdanost γ
interval povjerenja za σ2P(G1 ≤ σ2 ≤ G2) ≥ γ
G1 = n-λ12- ⋅^S 2
G2 = n-1- λ1 ⋅^S 2
λ1 z1-2γ, kvantil χ2(n - 1)
λ2 z1+2γ, kvantil χ2(n - 1)

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]