13 INTERVAL POVJERENJA ZA OCEKIVANJE

Definicija 13.1 (KVANTIL)

Neka je X slučajna varijabla s funkcijom distribucije F(x)i neka je zadan q ∈ (0,1). Broj z_q zove se kvantil distribucije F ako vrijedi F(z_q) = q.

Definicija 13.2 (INTERVAL POVJERENJA POUZDANOSTI γ)

Neka je (X₁,X₂,..X_n) slučajni uzorak slučajne varijable X koja ima poznatu distribuciju s nepoznatim parametrom t i neka je zadana pouzdanost γ ∈ (0,1).
Za procjenitelje G₁ = h₁(X₁,X₂,..X_n) i G₂ = h₂(X₁,X₂,..X_n) za parametar t kažemo da čine interval povjerenja (G₁,G₂) za parametar t s pouzdanošću γ ako vrijedi: P(G₁ < t < G₂) ≥ γ.
Parametar t poprimit će vrijednosti unutar intervala (g₁,g₂) s puzdanošću γ, gdje je g₁ = h₁(x₁,x₂,..x_n), g₂ = h₂(x₁,x₂,..x_n).

13.1 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE
ako je veliki uzorak n →∞

MOTIV 13.1

Slučajni uzorak od 50 studenata za broj bodova (max 100 bodova) iz VIS-a od ukupno 200 studenata ove generacije pokazuje uzoraču aritmetičku sredinu 75 i korigiranu uzoračku standardnu devijaciju 10.
(a) Odredite interval povjerenja za očekivani broj bodova iz VIS-a za ovu genaraciju studenata s pouzdanošću 95%.
(b) Kolika je pouzdanost da će interval povjerenja za očekivani broj bodova biti [74,76]?
(c) Odredite interval povjerenja za očekivani broj bodova iz VIS-a s pouzdanošću 95% ako je ovo bio uzorak iz podataka za sve generacije studenata koje je nastavnik vodio.

TEOREM 13.1 Neka je (X₁,X₂,..X_n) slučajni uzorak slučajne varijable X koja ima poznatu distribuciju s nepoznatim parametrom očekivanje μ i poznatom varijancom σ² (ili poznatom korigiranom uzoračkom varijancom ²).
Ako je veliki uzorak (n → ∞) onda inerval povjerenja (G₁,G₂) za parametar očekivanje μ s pouzdanošću γ čine procjenitelji

-- σ -- σ G1 = X - λ √-- i G2 = X + λ √--, n n

ili

-- -^s- -- -^s- G1 = X - λ √n- i G2 = X + λ √n-,

gdje je X uzoračka aritmetička sredina, a λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+γ2 .

Primijenimo CGT na simetrični interval (-λ,λ) :
P(-λ < --
X-σμ-
√n-

< λ) ≈ F^*(λ) - F^*(-λ) = 2F^*(λ) - 1
tj.
P(X - λ σ√n-

< μ < X + λ √σn-

) ≈ 2F^*(λ) - 1.
Ako je zadana pozdanost γ, P(G₁ < μ < G₂) = γ, onda možemo odrediti λ tako da vrijedi F^*(λ) = 1+γ
-2-

tj. λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+-γ
2

.
Zaključujemmo da je za velike n P(X - λ √σn-

< μ < X + λ √σn-

) = γ.
Procjenitelji G₁ = X - λ √σ-
n

, G₂ = X + λ √σ-
n

čine interval povjerenja

za parametar očekivanja μ slučajne varijable X s puzdanošću γ ako je poznata varijanca σ².
Parametar očekivanja μ s pozdanošću γ poprimit će vrijednosti u u intervalu (x - λ √σ-
n

,x + λ

), gdje je λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+2γ

NAPOMENA 13.1 Ova procjena parametra očekivanja slučajne varijable može se koristi u zadacima za odredivanje
(a) δ = 2λ √σn- širine inervala
(b) n = 4λ² σ2
δ2 minimalne veličine uzorka
uz zadanu pozdanost γ za interval povjerenja (X-λ σ√n- ,X+λ √σn- ), gdje je λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+γ
2 .

NAPOMENA 13.2 (uzorak bez vračanja u konačnoj populaciji)

Neka je (X₁,X₂,..X_n) slučajni uzorak slučajne varijable X koja ima poznatu distribuciju s nepoznatim parametrom očekivanje μ i poznatom varijancom σ² (ili poznatom korigiranom uzoračkom varijancom ²).
Neka je uzet uzorak bez vraćanja iz konačne populacije veličine N. Ako je veliki uzorak (n → ∞), ( n ≤ 30) onda interval povjerenja (G₁,G₂) za parametar očekivanja μ s puzdanošću γ čine procjenitelji

-- σ ∘ N---n-- G1 = X - λ √---⋅ ------, n N - 1

-- ∘ ------- G2 = X + λ √σ--⋅ N---n-, n N - 1

ili

∘ ------- G = X-- λ √^s--⋅ N---n-, 1 n N - 1

-- ^s ∘ N---n-- G2 = X + λ √---⋅ ------, n N - 1

gdje je X uzoračka aritmetička sredina, a λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+γ
2 .

PRIMJER 13.1 motiv

Rješenje: Pretpostavljamo da je X slučajna varijabla (statističko obilježe) broj bodova na ispitu iz VIS-a.
Prema prethodnoj napomeni odredit ćemo interval povjerenja za očekivanje ako je veličina uzorka velika n > 30 za konačnu populaciju N = 200 pri uzorku bez vraćanja.

Uz pouzdanost 95% broj bodova za kolegij VIS za studente ove generacije je unutar intervala [75 - 2.4,75 + 2.4].

Uz pouzdanost 58.2% broj bodova za kolegij VIS u populaciji ove generacije je unutar intervala [75 - 1,75 + 1].

gdje je X uzoračka aritmetička sredina, a λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+-γ
2

Uz pouzdanost 95% broj bodova za kolegij VIS u cjelokupnoj populaciji je unutar intervala [75 - 2.77,75 + 2.77].

13.2 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE NORMALNE distribucije
ako je varijanca poznata

MOTIV 13.2

Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ²) nepoznatog očekivanja i poznate varijance σ² = 0.64. Koliki minimalni uzorak treba uzeti da bi greška procjene očekivanja μ bila najviše jednaka 0.5, uz pouzdanost γ = 0.95?

TEOREM 13.2 Neka je (X₁,X₂,..X_n) slučajni uzorak slučajne varijable
X ~ N(μ,σ²) s nepoznatim parametrom očekivanje μ i poznatom varijancom σ².
Interval povjerenja (G₁,G₂) za parametar očekivanja μ s puzdanošću γ čine procjenitelji

-- -- G1 = X - λ√σ--, G2 = X + λ√σ-, n n

gdje je X uzoračka aritmetička sredina, a λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+γ
2 .

Neka je X ~ N(μ,σ²), onda je X ~ N(μ, 1
n

σ²), a

~ N(0,1).
Na simetričnom intervalu (-λ,λ) :
P(-λ < --
X√-σμ-
n

< λ) = F^*(λ) - F^*(-λ) = 2F^*(λ) - 1
tj.
P(X - λ σ√n-

< μ < X + λ √σn-

) = 2F^*(λ) - 1.
Ako je zadana pozdanost γ, P(G₁ < μ < G₂) = γ, onda možemo odrediti λ tako da vrijedi F^*(λ) = 1+γ
2

tj. λ = z je kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+2γ

.
Procjenitelji G₁ = X - λ √σ-
n

, G₂ = X + λ √σ-
n

čine interval povjerenja

za parametar očekivanja μ slučajne varijable X ~ N(μ,σ²) s pouzdanošću γ ako je poznata varijanca σ².
Parametar očekivanja μ s pozdanošću γ poprimit će vrijednosti u u intervalu (x - λ -σ-
√n-

,x + λ

), gdje je λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+-γ
2

NAPOMENA 13.3 Ova procjena parametra očekivanja slučajne varijable X ~ N(μ,σ²) poznate varijance, može se koristi u zadacima za odredivanje
(a) δ = 2λ √σ-
n širine inervala
(b) n = 4λ² 2
σδ2 minimalne veličine uzorka
uz zadanu pozdanost γ za interval povjerenja (X-λ σ√--
n ,X+λ), gdje je λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+γ
-2- .

NAPOMENA 13.4 Kvantili za standardnu normalnu distribuciju
F^*(z) = 1+-γ
2 :

|-----|-----|------|------| --γ----0.90---0.95----0.99-- | 1+-γ |0.95 |0.975 |0.995 | |--2--|-----|------|------| -z1+2γ--1.65---1.96----2.58--

PRIMJER 13.2 Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ² = 0.64). Uzet je uzorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost uzoračke aritmetičke sredine x = 10.2. Odredite interval povjerenja za očekivanje slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

Rješenje: P(X - λ √σn-

< μ < X + λ √σn-

) = γ.
Za očekivanje μ interval povjerenja pouzdanosti γ je (X-λ √σ-
n

, X + λ

), gdje je λ = z kvantil standardne normalne distribucije.
Iz tablice očitavamo za γ = 0.95, λ = z = 1.96.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka n = 5, x = 10.2 dobivamo interval povjerenja za μ :

PRIMJER 13.3 motiv

Rješenje: n = 4λ² σ2
δ2

= λ²

, gdje je λ = z kvantil standardne normalne, F^*(z) = 1+-γ
2

.
Iz tablice očitavamo za γ = 0.95, λ = z = 1.96.

13.3 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE NORMALNE distribucije
ako je varijanca nepoznata

MOTIV 13.3 U četiri mjerenja Rockwellove tvrdoće jedne ploče radnici du dobili sljedeće vrijednosti:
64.9,64.1,63.8,64.0.
Odredite interval povjerenja za očekivanu vrijednost tvrdoće s pouzdanošću 99%.

TEOREM 13.3 Neka je (X₁,X₂,..X_n) slučajni uzorak slučajne varijable
X ~ N(μ,σ²) s nepoznatim parametrom očekivanje μ i nepoznatom varijancom σ².
(i) Interval povjerenja (G₁,G₂) za parametar očekivanja μ s pouzdanošću γ

čine procjenitelji :

-- S^ -- ^S G1 = X - λ √-- i G2 = X + λ √--, n n

gdje je X uzoračka aritmetička sredina, ² korigirana uzoračka varijanca,

a λ = z kvantil sudentove distribucije t(n - 1), F(z) = 1+2γ .
(ii) Interval povjerenja (G₁,G₂) za parametar očekivanja μ s pouzdanošću γ

čine procjenitelji:

-- ^Σ -- ^Σ G1 = X - λ √------, G2 = X + λ√------, n - 1 n - 1

gdje je X uzoračka aritmetička sredina, ² uzoračka varijanca, a λ = z

kvantil studentove distribucije t(n - 1).

(i) Neka je X ~ N(μ,σ²), onda je Y = √n-

~ t(n - 1).
Na simetričnom intervalu (-λ,λ) :
P(-λ ≤ √ --
n

≤ λ) = F(λ) - F(-λ) = 2F(λ) - 1
tj.
P(X - λ ^
S√n-

< μ < X + λ ^
S√n-

) = 2F(λ) - 1.
Ako je zadana pozdanost γ, P(G₁ < μ < G₂) = γ, onda možemo odrediti λ tako da vrijedi F(λ) = 1+γ
2

tj. λ = z kvantil studentove distribucije t(n - 1), F(z) = 1+2γ

.
Procjenitelji

za parametar očekivanja μ slučajne varijable X ~ N(μ,σ²) s puzdanošću γ ako je nepoznata varijanca σ².
Parametar očekivanja μ s pozdanošću γ poprimit će vrijednosti u intervalu

NAPOMENA 13.5 Širina intervala povjerenja za očekivanje slučajne varijable X ~ N(μ,σ²) nepoznate varijance je

δ = 2λ √^s- n

uz zadanu pozdanost γ, gdje je λ = z kvantil studentove distribucije t(n - 1), F(z) = 1+γ
2 .

NAPOMENA 13.6 Kvantili za studentovu distribuciju za n = 5,t(4),
F(z) = 1+2γ :

|-----|------|------| | γ | 0.95 | 0.99 | |1+-γ-|------|------| |--2--|0.975-|0.995-| |z1+γ | 2.78 | 4.60 | ---2-----------------

PRIMJER 13.4 Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ²) nepoznate varijance σ². Uzet je utorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost uzoračke aritmetičke sredine x = 10.2, i vrijednost korigirane uzoračke varijance ² = 0.64. Odredite interval povjerenja za očekivanje slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

Rješenje: P(X - λ ^
√Sn-

< μ < X + λ ^
√Sn-

) = γ.
Za očekivanje μ interval povjerenja pouzdanosti γ je (X-λ √^S-
n

,X + λ

), gdje je λ = z kvantil studentove distribucije t(n - 1).
Za n=5, λ = z je kvantil studentove distribucije t(4).
Iz tablice očitavamo za γ = 0.95, λ = z = 2.78.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka x = 10.2, i

² = 0.64 dobivamo interval povjerenja za μ :

PRIMJER 13.5 motiv

U četiri mjerenja Rockwellove tvrdoće jedne ploče radnici du dobili sljedeće vrijednosti:
64.9,64.1,63.8,64.0.
Odredite interval povjerenja za očekivanu vrijednost tvrdoće s pouzdanošću 99%.

Rješenje: Za zadanu pouzdanost γ = 0.99 interval povjerenja za očekivanje odrdujemo iz
P(X - λ ^S√n-

≤ μ ≤X + λ S√^n-

) = γ.
Za očekivanje μ interval povjerenja pouzdanosti γ je (X-λ ^S
√n-

,X + λ

), gdje je λ = z kvantil studentove distribucije t(n - 1).
Za n = 4, λ = z je kvantil studentove distribucije t(3).
Iz tablice očitavamo za γ = 0.99, vrijednost λ = z = 5.84.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka x = 64.2, i

² = 0.233 dobivamo interval povjerenja za μ :

13.4 INTERVAL POVJERENJA ZA VJEROJATNOST BINOMNE DISTRIBUCIJE
n (n →∞)

MOTIV 13.4

U anketi za izbore dobiveni su podatci za kandidata A:
u uzorku od n=2500 glasača kandidat je dobio 1000 glasova.
Odredite interval povjerenja za postotak glasova koji će dobiti kandidat A na izborima s pouzdanošću 0.95.
(Pretpostavimo da je izbor binomna distribucija)

U Bernoullijevoj shemi s X_i ~ B(1,p),i = 1,...,n slučajna varijabla
X = ∑ _i=1ⁿX_i broj uspjeha u Bernoullijevoj shemi ima binomnu distribuciju X ~ B(n,p).
Relativna frekvencija uspjeha u Bernoullijevoj shemi je slučajna varijabla X
n-

koja odgovara X = 1-
n

∑ _i=1ⁿX_i uzoračkoj aritmetičkoj sredini slučajnog uzorka (X₁,X₂,..X_n).
Prisjetimo se da je X = Xn-

je procjenitelj za vjerojatnost p u Binomnoj distibuciji.

TEOREM 13.4 Ako je broj ponavljanja u Bernoullijevoj shemi velik
(n →∞), onda interval povjerenja (G₁,G₂) za parametar p, vjerojatnost dogadaja A u slučajnom pokusu s pouzdanošću γ čine procjenitelji

-- 1 ∘ --------- -- 1 ∘ --------- G1 = X - λ √-- X (1- X ) i G2 = X + λ √--- X (1- X ), n n

gdje je X uzoračka aritmetička sredina (X = X
n- relativna frekvencija uspjeha u Bernoullijevoj shemi), a
(a) λ = z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+γ
2 ,
(b) λ = √11-γ- .

Neka je (X₁,X₂,..X_n) slučajni uzorak iz Bernoullijeve sheme, X_i ~ B(1,p).
Prisjetimo se da vrijedi E(X_i) = p, V ar(X_i) = p(1 - p) i za uzoračku aritmetičku sredinu X = -1
n

∑ _i=1ⁿX_i vrijedi E(X) = p, V ar(X) = 1
n

p(1 - p).
(a) Prema CGT za (n →∞) za uzoračku aritmetičku sredinu
X = 1-
n

∑ _i=1ⁿX_i vrijedi X ~ N(p, -1
n

p(1 - p)).
Za simetrični interval (-λ,λ) možemo približno odrediti
P(-λ ≤ --
∘Xp-(1-pp)-
--n--

≤ λ) ≈ 2F^*(λ) - 1.
Nejednakost -λ ≤ --
∘-X-p--
p(1-np)

≤ λ ekvivalentna je nejednakosti: ( --
∘X--p--
p(1-np)

)² ≤ λ², odnosno
(n + λ²)p² - (2Xn + λ²)p + nX² ≤ 0
Trebamo riješiti nejednakost po p.
Približna rješenja p₁,p₂kvadratne jednadžbe (veliko n) su :

Ako je zadana pouzdanost γ tako da je P(G₁ < p < G₂) = γ onda možemo odrediti λ tako da vrijedi F^*(λ) = 1+-γ
2

, tj. λ = z kvantil standardne normalne distibucije F^*(z) = 1+-γ
2

.
Procjenitelji G₁ = X - λ √1-
n

, G₂ = X + λ √1-
n

čine interval povjerenja (G₁,G₂) za paranetar vjerojatnost p uspjeha u Bernoullijevoj shemi.
(b) Prema Čebiševljevoj nejednakosti za slučajnu varijablu X koja ima
E(X) = p, V ar(X) =

p(1 - p) u obliku
P(p - λ ------
∘ p(1-p)
n

≤X ≤ p + λ ------
∘ p(1-p)
n

) ≥ 1 -

.
Nejednakost p-λ ∘ ------
p(1--p)
n

≤X ≤ p + λ ∘ ------
p(1-p)
n

ekvivalentna je nejednakosti (vidi pod (a)): X - λ √1-
n

≤ p ≤X + λ √1-
n

Ako je zadana pouzdanost γ tako da je P(G₁ < p < G₂) = γ onda možemo odrediti λ tako da vrijedi 1 - λ12

= γ tj. λ = √11-γ-

.
Procjenitelji G₁ = X - λ 1√n-

, G₂ = X + λ √1n-

čine interval povjerenja (G₁,G₂) za paranetar vjrojatnosti p uspjeha u Bernoullijevoj shemi.

NAPOMENA 13.7 Možemo izvesti interval povjerenja i koristeći teorem Moivre-Laplacea (CGT) za relativnu frekvenciju u Bernullijevoj shemi
P(| - p| < ε) ≈ F^*(ε ∘ ------
p(np-1) ) - 1, n →∞,
tj.
P( X
n- - ε < p < X
n- + ε) ≈ F^*(ε ∘ --n---
p(p-1) ) - 1.
Ako je zadana pozdanost γ, P(G₁ < p < G₂) = γ, onda možemo odrediti ε tako da vrijedi F^*(ε) = 1+γ
-2- , tj. ε = z ∘ p(1--p)-
--n-- , odnosno ε = z 1
2√n- , uz p(1 - p) ≤ 1
4 .
Procjenitelji G₁ = X-
n - ε, G₂ = X-
n - ε čine interval povjerenja (G₁,G₂) za paranetar vjerojatnosti p uspjeha u Bernoullijevoj shemi. varijable
X ~ B(n,p) s pouzdanošću γ ako je poznat parametar n broj ponavljanja pokusa.
Parametar vjerojatnost p s pozdanošću γ poprimit će vrijednosti u u intervalu

x 1 x 1 (--- z1+γ-√--,--+ z 1+γ--√--), n 2 2 n n 2 2 n

gdje je z kvantil standardne normalne distribucije F^*(z) = 1+γ
-2- .

PRIMJER 13.6 Odredite interval povjerenja za vjerojatnost p u Bernoullijevoj shemi s pouzdanošću γ = 0.95 ako se pokus ponovi n=100, a broj uspjeha je 32.

gdje je λ = z kvantil standardne normalne distibucije F^*(z) = 1+γ
2

, X =

relativna frekvencija uspjeha.
Procjenitelji G₁ = X - λ √1-
n

, G₂ = X + λ √1-
n

čine interval povjerenja (G₁,G₂) za paranetar vjerojatnosti p.
Parametar vjerojatnost p s pouzdanošću γ poprimit će vrijednosti u intervalu (x-λ √1-
n

,x + λ

) gdje je λ = z kvantil standardne normalne distibucije.
Iz uzorka je uzeta relativna fekvencija x = x
n

, za pouzdanost γ = 0.95 iz tablice očitamo λ = z = 1.96 i odredimo interval

PRIMJER 13.7 Pravljena je anketa o dolasku na predavanja VIS. Na uzorku 163 studenta njih 62 je odgovorilo da je dolazilo na predavanja. Odredite interval povjerenja za vjerojatnost dolaska studenata prve godine na predavanja VIS s pouzdanošću 0.95.
(Pretpostavimo da je izbor binomna distribucija)

Rješenje: Parametar vjerojatnosti p s pozdanošću γ poprimit će vrijednosti u u intervalu (x-λ -1-
√n

,x + λ

) gdje je λ = z kvantil standardne normalne distibucije.
Iz uzorka je uzeta relativna fekvencija x = x
n

= 0.38, za pouzdanost
γ = 0.95 iz tablice očitamo λ = z = 1.96 i odredimo interval

PRIMJER 13.8 motiv

Rjšenje: Parametar vjerojatnost p s pozdanošću γ poprimit će vrijednosti u u intervalu (x-λ √1-
n

,x + λ

) gdje je λ = z kvantil standardne normalne distibucije.
Iz uzorka imamo relativnu fekvenciju x = x
n

= 0.4, za pouzdanost γ = 0.95 iz tablice očitamo λ = z = 1.96 i odredimo interval

PRIMJER 13.9 Ako želimo odrediti postotak p% glasova koje će dobiti kandidat A na izborima pravimo anketu. Koliki uzorak treba uzeti da bi se za p odredio interval pouzdanosti 0.95 širine 0.04?

Rješenje: Parametar vjerojatnost p s pozdanošću γ poprimit će vrijednosti u u intervalu (x-λ √1-
n

,x + λ

) gdje je λ = z kvantil standardne normalne distibucije.
Širina intervala δ = 2λ √1-
n

.
Kako je x(1 -x) ≤ 1
4

možemo ocijeniti veličinu uzorka n: n ≤ (z1+γ)2
--22--
δ

.
Za zadane δ = 0.04, γ = 0.95, dobivamo λ = z = 1.96 i

Uzorak mora imati bar 2401 glasača da bi s pouzdanošću 0.95 interval povjerenja za postotak bodova na izborima za kandidata A bio širok 0.04. (greška unutar 4%).

Poglavlje 13
INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE

13.1 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE
ako je veliki uzorak n →∞

13.2 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE NORMALNE distribucije
ako je varijanca poznata

13.3 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE NORMALNE distribucije
ako je varijanca nepoznata

13.4 INTERVAL POVJERENJA ZA VJEROJATNOST BINOMNE DISTRIBUCIJE
n (n →∞)

13.5 Ponovimo


slučajni uzorak	(X₁,X₂,...,X_n)

parametar	t

pouzdanost	γ

interval povjerenja za t	P(G₁ ≤ t ≤ G₂) ≥ γ


slučajni uzorak	(X₁,X₂,...,X_n), n ≥ 30

parametar	μ

pouzdanost	γ

interval povjerenja za t	P(G₁ ≤ μ ≤ G₂) ≥ γ

	G₁ = X - λ

	G₂ = X + λ

λ	z, kvantil N(0,1)


slučajni uzorak	(X₁,X₂,...,X_n), iz N(μ,σ²)

parametar	μ

pouzdanost	γ

interval povjerenja za μ	P(G₁ ≤ μ ≤ G₂) ≥ γ

	G₁ = X - λ

	G₂ = X + λ

λ	z, kvantil N(0,1)


slučajni uzorak	(X₁,X₂,...,X_n), iz B(n,p)

parametar	p

pouzdanost	γ

interval povjerenja za μ	P(G₁ ≤ p ≤ G₂) ≥ γ

	G₁ = - λ

	G₂ = + λ

λ	z, kvantil N(0,1)

Poglavlje 13INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE

13.1 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE ako je veliki uzorak n →∞

13.2 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE NORMALNE distribucije ako je varijanca poznata

13.3 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE NORMALNE distribucije ako je varijanca nepoznata

13.4 INTERVAL POVJERENJA ZA VJEROJATNOST BINOMNE DISTRIBUCIJE n (n →∞)

13.5 Ponovimo

Poglavlje 13
INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE

13.1 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE
ako je veliki uzorak n →∞

13.2 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE NORMALNE distribucije
ako je varijanca poznata

13.3 INTERVAL POVJERENJA ZA OČEKIVANJE NORMALNE distribucije
ako je varijanca nepoznata

13.4 INTERVAL POVJERENJA ZA VJEROJATNOST BINOMNE DISTRIBUCIJE
n (n →∞)