3.2.1. Presjeci i tangencijalne ravnine valjaka 2. stupnja

Valjci 2. stupnja su algebarske pravčaste plohe čije su izvodnice spojnice točaka neke prave konike \(\small k\) s beskonačno dalekim vrhom \(\small {V}^\infty\). Sve su izvodnice valjka međusobno paralelne i prolaze beskonačno dalekom singularnom točkom \(\small {V}^\infty\). Razmatranja koja smo proveli za presjeke stošca, možemo dijelom primijeniti kod valjka.
  • Ako ravnina prolazi beskonačno dalekim vrhom valjka (paralelna je s njegovim izvodnicama) ona ga siječe po raspadnutoj konici, odnosno po dvije izvodnice koje mogu biti:

    1. dva realna paralelna pravca
    2. jedan realni dvostruki pravac
    3. dva imaginarna pravca s realnim sjecištem u beskonačnosti.


Animacija 52: Dvije realne paralelne izvodnice Animacija 53: Poklopljene izvodnice - dirna ravnina Animacija 54: Dvije imaginarne paralelne izvodnice


Međutim, budući da je vrh valjka beskonačno daleka točka, beskonačno daleka ravnina prostora presjeći će ga po izvodnicama. Te izvodnice mogu biti realne i različite, poklopljene ili imaginarne. Prema vrsti svojih beskonačno dalekih izvodnica valjci se dijele na:
  • hiperboličke (dvije realne i različite beskonačno daleke izvodnice)
  • paraboličke (jedna dvostruka realna beskonačno daleka izvodnica)
  • eliptičke (par imaginarnih beskonačno dalekih izvodnica).
Slika 361: Hiperbolički valjak Slika 362: Parabolički valjak Slika 363: Eliptički valjak


  • Svaka ravnina koja nije paralelna s izvodnicama valjka 2. stupnja siječe taj valjak po pravoj (neraspadnutoj) konici.
    Tip tog presjeka (hiperbola, parabola ili elipsa) ovisi o tipu valjka. Naime, takva će ravnina u beskonačnosti imati dvije, jednu ili niti jednu realnu točku, ako je valjak redom hiperbolički, parabolički ili eliptički. Dakle, ako ravnina nije paralelna s izvodnicama valjka siječe ga po:

    1. hiperboli, ako je valjak hiperbolički
    2. paraboli, ako je valjak parabolički
    3. elipsi, ako je valjak eliptički.
Animacija 55: Presjek hiperboličkog valjka je HIPERBOLA Animacija 56: Presjek paraboličkog valjka je PARABOLA Animacija 57: Presjek eliptičkog valjka je ELIPSA ili KRUŽNICA


Tangencijalna ravnina valjka 2. stupnja

Sve tangencijalne ravnine valjka prolaze njegovim beskonačno dalekim vrhom (singularnom točkom), odnosno paralelne su s njegovim izvodnicama. Sve ostale točke valjka su regularne, dakle u svakoj od njih postoji jedinstvena tangencijalna ravnina.

  • Svaka tangencijalna ravnina valjka dodiruje taj valjak duž jedne izvodnice.

  • Sve točke koje leže na istoj izvodnici valjka imaju istu tangencijalnu ravninu.

  • Tangencijalna ravnina valjka u bilo kojoj njegovoj regularnoj točki određena je izvodnicom valjka koja prolazi tom točkom i bilo kojom tangentom valjka u toj točki.
Animacija 58


U okviru našega nastavnog predmeta konstruktivno ćemo obrađivati isključivo rotacijske valjke. Takav valjak nastaje rotacijom pravca koji je paralelan s osi rotacije. Rotacijski valjci su eliptički pa njihovi pravi presjeci mogu biti samo elipse ili kružnice. Sve ravnine okomite na os rotacijske plohe, sijeku tu plohu po kružnicama. Valjak ćemo uglavnom zadavati jednim njegovim kružnim presjekom, kojeg nazivamo kružnicom baze, i visinom. Točku izvodnice koja leži na kružnici baze nazivamo nožištem te izvodnice. Vidi sliku 364.
  • Svakom točkom prostora, koja ne leži na valjku, prolaze dvije tangencijalne ravnine valjka. Te ravnine mogu biti realne ili imaginarne. Princip konstrukcije tih ravnina dan je u prezentaciji 71.
  • Tangenta u nekoj točki presječne krivulje valjka i ravnine je presječnica tangencijalne ravnine valjka u toj točki i ravnine presjeka.
Slika 364 Prezentacija 71


Konstrukcijski zadaci

  • Probodišta pravca i valjka.
         PRIMJER: Prezentacija 72

  • Tangencijalna ravnina u nekoj točki valjka.
         PRIMJER: Prezentacija 73

  • Tangencijalne ravnine kroz točku koja ne leži na valjku.
         PRIMJERI: Prezentacije 74 i 75




    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu