3.2.1. Presjeci i tangencijalne ravnine stošca 2. stupnja
Stošci 2. stupnja su algebarske pravčaste plohe čije su izvodnice spojnice točaka neke prave konike \(\small k\) s vrhom \(\small V\) u konačnosti. Pritom točka \(\small V\) ne leži u ravnini konike \(\small k\). Vrh je singularna točka stošca pa će biti i singularna točka svakog ravninskog presjeka koji njime prolazi.
Ako ravnina prolazi vrhom stošca siječe ga po dvije izvodnice, odnosno presjek je raspadnuta konika.
Naime, postavimo li vrhom stošca neku ravninu ta će ravnina presjeći koniku \(\small k\) u dvije točke, a spojnice tih točaka s vrhom stošca su njegove izvodnice. Ovisno o tome da li su sjecišta ravnine i konike \(\small k\) realne i različite točke, poklopljene ili imaginarne bit će i izvodnice po kojima ravnina siječe stožac redom realne i različite, poklopljene ili imaginarne. Stoga razlikujemo tri sljedeća slučaja presjeka:
dva realna ukrštena pravca
jedan realni dvostruki pravac
dva konjugirano imaginarna pravca s realnim sjecištem u konačnosti.
Animacija 44: Ravnine sijeku stožac po dvije realne i različite izvodnice
Animacija 45: Presjek stošca i njegove dirne ravnine su poklopljene izvodnice
Animacija 46: Ravnine sijeku stožac u parovima imaginarnih izvodnica
Ako ravnina ne prolazi vrhom stošca 2. stupnja ona taj stožac siječe po pravoj (neraspadnutoj) konici.
Tip tog presjeka (hiperbola, parabola ili elipsa) ovisi o broju njegovih realnih beskonačno dalekih točkaka. Točke presječne krivulje probodišta su izvodnica stošca i ravnine presjeka. Ako je izvodnica paralelna s ravninom presjeka, njeno je probodište s tom ravninom realna beskonačno daleka točka. Stoga zaključujemo sljedeće:
Ako je ravnina paralelna s dvije izvodnice stošca, te dvije izvodnice probadaju tu ravninu u dvije realne i različite beskonačno daleke točke. Stoga je presječna krivulja konika s dvije realne i različite beskonačno daleke točke, odnosno hiperbola.
Ako je ravnina paralelna s jednom izvodnicom stošca, ta izvodnica probada tu ravninu u jednoj realnoj beskonačno dalekoj točki. Stoga je presječna krivulja konika s jednom realnom beskonačno dalekom točkom, odnosno parabola.
Ako ravnina nije paralelna niti s jednom izvodnicom stošca, ravnina i stožac nemaju zajedničkih realnih beskonačno dalekih točaka. Stoga je presječna krivulja konika koja nema realnih beskonačno dalekih točaka, odnosno elipsa.
Dakle, ravnina koja ne prolazi vrhom stošca siječe taj stožac po:
hiperboli, ako je paralelna s njegove dvije izvodnice
paraboli, ako je paralelna s njegovom jednom izvodnicom
elipsi, ako nije paralelna niti s jednom njegovom izvodnicom.
Animacija 47: HIPERBOLA -
ravnina paralelna s dvije izvodnice
Animacija 48: PARABOLA -
ravnina paralelna s jednom izvodnicom
Animacija 49: ELIPSA -
ravnina nije paralelna ni s jednom izvodnicom
Budući da je vrh stošca u konačnosti, beskonačno daleka ravnina proširenog euklidskog prostora ne prolazi vrhom stošca. Stoga ona siječe stožac po realnoj neraspadnutoj konici na kojoj leže beskonačno daleke točke svih izvodnica stošca.
Ta konika nije elipsa ni parabola ni hiperbola, sve su njezine točke realne beskonačno daleke točke prostora.
Vidi animaciju 50.
Animacija 50
Tangencijalna ravnina stošca 2. stupnja
Sve tangencijalne ravnine stošca prolaze njegovim vrhom koji je
singularna točka stošca.
Ostale točke stošca su regularne, odnosno u svakoj od njih postoji jedinstvena tangencijalna ravnina.
Svaka tangencijalna ravnina stošca dodiruje taj stožac duž jedne izvodnice.
Sve točke koje leže na jednoj izvodnici stošca imaju istu tangencijalnu ravninu.
Tangencijalna ravnina stošca u bilo kojoj njegovoj regularnoj točki određena je izvodnicom stošca koja prolazi tom točkom i bilo kojom tangentom stošca u toj točki.
Vidi animaciju 51.
Animacija 51
U okviru našega nastavnog predmeta konstruktivno ćemo obrađivati isključivo rotacijske stošce. Kao što smo pokazali kod kvadrika, takav stožac nastaje rotacijom pravca koji siječe os rotacije. Sve ravnine okomite na os rotacijske plohe, sijeku tu plohu po kružnicama. Stožac ćemo uglavnom zadavati njegovim vrhom i jednim kružnim presjekom kojeg nazivamo kružnicom osnovke ili kružnicom baze. Točku izvodnice koja leži na kružnici baze nazivamo nožištem te izvodnice. Vidi sliku 360.
Svakom točkom prostora, koja ne leži na stošcu, prolaze dvije tangencijalne ravnine stošca. Te ravnine mogu biti realne ili imaginarne. Ako su realne, konstruiramo ih po principu koji je dan
u prezentaciji 64.
Tangenta u nekoj točki presječne krivulje stošca i ravnine je presječnica tangencijalne ravnine stošca u toj točki i ravnine presjeka.
