Slučaj $\boldsymbol{q\neq 0.}$ (sredstvo pruža otpor gibanju)

Uvjet $q\neq 0$ znači ustvari da je $q(x)>0$ za barem jedan $x.$ U ovom slučaju sva tri rubna problema imaju jedinstveno rješenje. To ćemo dokazati pomoću energetske jednadžbe.

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f(x) = 0 \hspace{1cm}/\,u(x)\;\left/\int_0^{\ell}\,dx,\right.$$

$$\int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(x)\right)'\,u(x)\, dx - \int_0^{\ell}\,q(x)\,u^2(x)\, dx + \int_0^{\ell}\,f(x)\,u(x)\, dx = 0.$$

Jednom parcijalno integriramo prvi integral

$$\int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(x)\right)'\,u(x)\, dx = p({\ell})\,u'({\ell})\,u({\ell}) - p(0)\,u'(0)\,u(0) - \int_0^{\ell}\,p(x)\,(u'(x))^2\,dx,$$

i rezultat uvrstimo. Dobivamo

$$p({\ell})\,u'({\ell})\,u({\ell}) - p(0)\,u'(0)\,u(0) - \int_0^{\ell}\,p(x)\,(u'(x))^2\,dx -$$

$$- \int_0^{\ell}\,q(x)\,u^2(x)\, dx + \int_0^{\ell}\,f(x)\,u(x)\, dx = 0.$$ (2.12)

Ova jednadžba se zove energetska jednadžba. Naziv ima opravdanje u sljedećem razmatranju. $f(x)\Delta x$ predstavlja približno vanjsku silu koja djeluje na komadić žice $\Delta x,$ a $f(x)u(x)\Delta x$ je rad te sile na putu progiba $u(x).$ Prema tome zadnji integral na lijevoj strani jednadžbe (2.13) je rad vanjske sile koji djeluje na cijelu žicu na putu progiba. Sila otpora je $-q(x)u(x),$ pa je srednji integral ukupni rad sile otpora duž cijele žice na putu progiba. Prvi integral predstavlja energiju deformacije, $p({\ell})u'({\ell})u({\ell})$ je rad kontaktne sile na desnom rubu na putu $u({\ell}),$ a $-p(0)u'(0)u(0)$ je rad kontaktne sile na lijevom rubu na putu $u(0).$

Neka su $u_1(x)$ i $u_2(x)$ dva rješenja bilo kojeg od tri rubna problema koja promatramo. Funkcija

$$w(x)=u_1(x)-u_2(x)$$

rješava homogenu jednadžbu

$$\left(p(x)\,w'(x)\right)' - q(x)\,w(x) = 0,$$

i pri tom zadovoljava homogene rubne uvjete. Energetska jednadžba (2.13) sada glasi

$$\int_0^{\ell}\,p(x)\,(w'(x))^2\,dx + \int_0^{\ell}\,q(x)\,w^2(x)\, dx = 0,$$

$$\int_0^{\ell}\,\left[p(x)\,(w'(x))^2 + q(x)\,w^2(x)\right]\, dx = 0.$$

Budući da je $p(x)>0$ i $q(x)\geq 0,$ slijedi

$$p(x)\,(w'(x))^2 + q(x)\,w^2(x)\geq 0,\hspace{1cm}\forall x \in [0,\ell].$$

Kako je podintegralna funkcija neprekidna, nenegativna, i njezin je integral duž žice jednak $0,$ slijedi da je sama podintegralna funkcija jednaka nuli

$$p(x)\,(w'(x))^2 + q(x)\,w^2(x) = 0,\hspace{1cm}\forall x \in [0,\ell].$$

Zbroj dvije nenegativne funkcije može biti jednak nuli samo tako da je svaka od njih jednaka nuli. Tako je

$$w'(x) = 0,\hspace{1cm}\forall x \in [0,\ell],$$

pa je $w$ konstanta, tj. $w(x) = C.$ S druge strane je

$$q(x)\,w^2(x) = q(x)\,C^2= 0,\hspace{1cm}\forall x \in [0,\ell].$$

Kako je $q(x)>0$ za barem jedan $x,$ slijedi da je $C=0.$ Prema tome

$$w(x)=u_1(x)-u_2(x)=0,\hspace{1cm}\forall x \in [0,\ell],$$

tj.

$$u_1 = u_2.$$

Dakle rješenje je doista jedinstveno.