Zakoni ponašanja

Označimo s $\rho(x)$ linearnu gustoću mase žice u točki $x$ u čas $t.$ Linearna gustoća mase je masa po jedinici duljine. Tada je količina gibanja po jedinici duljine u točki $x$ u čas $t$ jednaka umnošku mase po jedinici duljine u točki $x$ i brzine u točki $x$ u čas $t.$ Tako imamo prvi zakon ponašanja

$$\vec{\,\varphi}(x,t) = \rho(x)\,\frac{\partial\vec{\,u}(x,t)}{\partial{}t}.$$

Usvojimo sada sljedeća pojednostavljenja. Pretpostavljamo da se gibanje odvija u ravnini $xy,$ i to tako da je

$$\vec{\,u}(x,t) = u(x,t)\,\vec{\,\jmath},$$

tj. tako da je komponenta progiba u smjeru osi $x$ jednaka nuli. U skladu s ovom pretpostavkom možemo progib smatrati skalarnim poljem $u(x,t).$

Promatrat ćemo male progibe žice, tako da možemo pretpostaviti da je

$$\left\vert\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right\vert\ll 1,$$   za svaki $$x \in \langle 0,\ell\rangle.$$

U tom slučaju ćemo reći da je deformacija mala. Odatle

$$\vert u(x,t)-u(0,t)\vert = \left\vert\int_0^x \frac{\partial u(\... ...l u(\xi,t)}{\partial \xi}\right\vert\,d\xi \ll \int_0^x d\xi = x\leqslant\ell,$$

odnosno

$$\frac{\vert u(x,t)-u(0,t)\vert}{\ell} \ll 1.$$

To znači da je apsolutni prirast progiba u odnosu na progib u ishodištu vrlo malen prema duljini žice.

Slika 2.3: Kontaktna sila pri malim deformacijama

Budući da je deformacija mala, možemo pretpostaviti da je kontaktna sila $\vec{\,\psi}(x,t)$ u točki $P(x,t)$ kolinearna s jediničnim tangencijalnim vektorom na progib žice $u(x,t)$ u točki $P(x,t),$ tj.

$$\vec{\,\psi}(x,t) = p(x,t)\,\vec{\,T}(x,t).$$

Funkcija $p(x,t)$ se zove napetost žice u točki $P(x,t)$ u čas $t.$ U daljnjem ćemo pretpostavljati da napetost ne ovisi o vremenu, i da je u svakoj točki pozitivna, tj. da je

$$p(x,t) = p(x) > 0,$$   za svaki $$x \in [0,\ell].$$

Tako je

$$\vec{\,\psi}(x,t) = p(x)\,\vec{\,T}(x,t).$$

Progib možemo shvatiti kao krivulju u ravnini s parametrizacijom $([0,\ell],\vec{\,r}),$ gdje je

$$\vec{\,r}(x,t) = x\,\vec{\,\imath}+ u(x,t)\,\vec{\,\jmath}.$$

Slika 2.4: Progib kao krivulja u ravnini.

Tada je

$$\vec{\,T}(x,t)= \frac{\frac{\partial \vec{\,r}(x,t)}{\partial x}}... ...}\,\vec{\,\jmath}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)^2}}.$$

Budući da je $\vert\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\vert\ll 1,$ možemo zanemariti $(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})^2,$ pa imamo

$$\vec{\,T}(x,t) = \vec{\,\imath}+ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\,\vec{\,\jmath},$$

odnosno imamo drugi zakon ponašanja

$$\vec{\,\psi}(x,t) = p(x)\,\vec{\,\imath} + p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\,\vec{\,\jmath}.$$

Vanjska sila po jedinici duljine djeluje u ravnini $x\,y,$ pa možemo pisati

$$\vec{\,f}(x,t) = f_x(x,t)\,\vec{\,\imath} + f_y(x,t)\,\vec{\,\jmath}.$$

Slika 2.5: Vanjska sila po jedinici duljine

Ako se s ovim vratimo u diferencijalnu jednadžbu (2.1), imamo

$$\rho(x)\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}\vec{\,\jmath} - \f... ...)\vec{\,\jmath} - f_x(x,t)\vec{\,\imath} - f_y(x,t)\vec{\,\jmath} = \vec{\,0},$$

što se raspada na dvije skalarne jednadžbe

$$\frac{dp(x)}{dx} + f_x(x,t) = 0,$$

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f_y(x,t).$$

Prva jednadžba omogućava izračunavanje napetosti žice. Da bi napetost bila neovisna o vremenu, nužno mora $f_x$ biti neovisno o vremenu. Tako imamo

$$p'(x) + f_x(x) = 0.$$ (2.2)

Integrirajmo ovu jednadžbu

$$\int_x^{\ell} p'(\xi)\,d\xi + \int_x^{\ell} f_x(\xi)\,d\xi = 0,$$

$$p(\ell) - p(x) + \int_x^{\ell} f_x(\xi)\,d\xi = 0,$$

$$p(x) = p(\ell) + \int_x^{\ell} f_x(\xi)\,d\xi.$$

Ako vanjska sila djeluje poprečno na žicu, onda je $f_x(x) = 0,$ pa je $p(x) = p(\ell),$ tj. napetost je konstantna, i jednaka napetosti na desnom rubu. Ako vanjska sila ima komponentu u smjeru osi $x$ različitu od nule, onda napetosti na desnom rubu treba dodati još doprinos od vanjske sile po jedinici duljine.

Druga jednadžba

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f_y(x,t)$$ (2.3)

se zove valna jednadžba. To je parcijalna diferencijalna jednadžba. Napetost izračunamo iz prve jednadžbe, $f_y$ je zadano time što je zadana vanjska sila po jedinici duljine. $\rho$ je zadana linijska gustoća mase žice. Nepoznanica u jednadžbi je progib $u(x,t).$ Osnovni problem je, dakle, izračunati $u(x,t)$ iz valne jednadžbe. Ako pretpostavimo da je napetost konstantna duž žice, valna jednadžba poprima oblik

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = p\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} + f_y(x,t).$$

Također je prirodno pretpostaviti da je $\rho(x)>0.$ Tada možemo podijeliti jednadžbu s $\rho(x),$ pa imamo

$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = a(x)^2\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} + b_y(x,t),$$

gdje je $b_y$ sila po jedinici duljine i po jedinici gustoće mase u smjeru osi $y.$ (U ovom slučaju to je akceleracija vanjske sile u smjeru osi $y.$)

Ako žica oscilira u nekom sredstvu koje pruža otpor gibanju, onda treba uzeti u obzir silu otpora. Budući da su oscilacije male, može se pretpostaviti da sredstvo reagira kao elastično, tj. da je sila otpora po jedinici duljine proporcionalna progibu i suprotnog smjera $F_{otp}=-q(x)\,u(x,t),$ gdje je $q(x)\geq 0,$ za $x \in [0,\ell]\,$ faktor proporcionalnosti. U tom slučaju imamo jednadžbu oscilacija

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial... ...eft(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) - q(x)\,u(x,t) + f_y(x,t).$$

Primjer 2.1   Homogena teška žica, gustoće mase $\rho,$ duljine $\ell,$ razapeta je između točaka $A$ na zemlji i $B$ na visini $h$ kao na slici.

Naći napetost žice u svakoj točki, ako je žica napeta u točki $A$ napetošću $p_0.$

Rješenje. Kad kažemo teška žica, mislimo na to da se njezina težina ne može zanemariti. To znači da na žicu djeluje vanjska sila, sila teža. U izvodu jednadžbi mi smo koristili linearnu gustoću vanjske sile (silu po jedinici duljine). Ona je ovdje u svakoj točki po iznosu $\rho\,g,$ a po smjeru okomita je prema površini zemlje.

Postavimo koordinatni sustav tako da os $x$ prolazi žicom. Gustoća sile se može rastaviti na komponentu koja djeluje duž žice i onu drugu koja je okomita na žicu. Napetosti pridonosi samo komponenta duž žice.

Iz slike vidimo (pomoću sličnosti trokuta) da je

$$f_x = -\rho\,g\,\frac{h}{\ell}.$$

Integrirajmo jednadžbu (2.2) od 0 do $x$

$$\int_0^x p'(\xi)\,d\xi + \int_0^x f_x(\xi)\,d\xi = 0,$$

$$p(x) - p(0) + \int_0^x f_x(\xi)\,d\xi = 0,$$

$$p(x) = p(0) - \int_0^x f_x(\xi)\,d\xi,$$

$$p(x) = p_0 + \int_0^x \rho\,g\,\frac{h}{\ell}\,d\xi,$$

$$p(x) = p_0 + \rho\,g\,\frac{h}{\ell}\,x.$$

Ako žica nije homogena, onda treba znati gustoću mase kao funkciju od $x,$ tj. tada $\rho$ nije konstanta, već funkcija od $x,$ pa je tada

$$p(x) = p_0 + g\,\frac{h}{\ell}\,\int_0^x \rho(x)\,d\xi.$$

Primjer 2.2   Izvesti jednadžbu malih oscilacija napete žice u sredstvu s otporom, koji je proporcionalan brzini.

Rješenje. Budući da se radi o malim oscilacijama, možemo usvojiti ona pojednostavnjenja i zanemarivanja, koja smo usvojili kod izvoda valne jednadžbe (2.3). Dakle, možemo pretpostaviti da žica oscilira u smjeru okomitom na njezin ravnotežni položaj. U tom smjeru se javlja i sila otpora, no kako se ona opire kretanju, ona djeluje suprotno od smjera kretanja. Postavimo koordinatni sustav tako da žica u ravnoteži leži na osi $x.$ Tada se kretanje događa u smjeru osi $y,$ pa imamo jednadžbu za napetost

$$p'(x) + f_x(x) = 0.$$

U smjeru osi $y$ osim vanjske sile po jedinici duljine i kontaktne sile imamo još i silu otpora po jedinici duljine

$$f_{otp} = -k^2\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}.$$

Prema tome sada valna jednadžba glasi

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial}... ...u(x,t)}{\partial x}\right) -k^2\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + f_y(x,t),$$

odnosno

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} + k^2\,\frac{\pa... ...{\partial x} \left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f_y(x,t).$$