Jednadžba provođenja

Jednodimenzionalno provođenje topline opisano je sljedećim rubno-početnim problemom

$$% latex2html id marker 41284 \begin{cases} \frac{\textstyle... ...[1mm] u(x,0) = g(x),& \text{za $x \in [0,\ell].$} \end{cases}$$

Neka je

$$h = \frac{\ell}{n}$$

korak mreže po osi $x,$ a $\tau$ korak po osi $t.$ Tako imamo točke podjele na $x$ osi, odnosno $t$ osi

$$x_i = i\,h,\quad i=0,1,2,\ldots{},n\hspace{1cm}t_j = j\,\tau,\quad j=0,1,2,\ldots{}$$

Primijetimo da po $t$ mreža ide u beskonačnost.

Interesira nas što se događa u čvorovima, tj. točkama

$$(x_i,t_j) = (i\,h,j\,\tau),\qquad i=0,1,2,\ldots{},n,\;j=0,1,2,\ldots{}$$

Stavimo

$$u(x_i,t_j) = u_{i\,j}.$$

Iz rubnih i početnih uvjeta slijedi

$$u_{0\,j} = u_{\ell\,j} = 0,\quad j=0,1,2,\ldots{}\qquad u_{i\,0} = g(x_i) = g_i,\quad i=0,1,2,\ldots{},n.$$

Dakle ostaje odrediti $u_{i\,j}$ u unutrašnjim čvorovima. U tu svrhu derivacije aproksimiramo koristeći neke od mogućih formula, na pr.

$$\frac{\textstyle{\partial u(x_i,t_j)... ..._j)}{\partial{}x^2} \approx{} \frac{u_{i-1\,j} -2\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j}}{h^2}.$$

U unutrašnjem čvoru $ij$ diferencijalna jednadžba postaje

$$\frac{u_{i\,j+1}-u_{i\,j}}{\tau} = c^2\,\frac{u_{i-1\,j} -2\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j}}{h^2}.$$

Pomnožimo jednadžbu s $\tau,$ i stavimo

$$\sigma = \frac{\tau}{h^2}.$$

Tada jednadžba u čvoru $ij$ glasi

$$u_{i\,j+1} = c^2\,\sigma\,u_{i-1\,j} + (1 -2\,c^2\,\sigma)\,u_{i\,j} + c^2\,\sigma\,u_{i+1\,j}$$ (3.34)

Sada, za razliku od postupka kod jednadžbe ravnoteže, rješenje tražimo sukcesivno. Zahvaljujući upotrebljenoj diferencijskoj shemi,

najprije računamo $u_{i\,1}$ po formuli (3.35)

$$u_{i\,1} = c^2\,\sigma\,u_{i-1\,0} + (1 -2\,c^2\,\sigma)\,u_{i\,0} + c^2\,\sigma\,u_{i+1\,0},\qquad i=1,2,\ldots{},n-1.$$

Zatim formulom (3.35) za $j=2$ računamo $u_{i\,2},$

$$u_{i\,2} = c^2\,\sigma\,u_{i-1\,1} + (1 -2\,c^2\,\sigma)\,u_{i\,1} + c^2\,\sigma\,u_{i+1\,1},\qquad i=1,2,\ldots{},n-1$$

itd.

Da bi ovako definiran postupak bio korektan, on treba biti

konvergentan, tj. sa smanjivanjem koraka mora približno rješenje težiti k točnom rješenju, i

stabilan, tj. male promjene ulaznih podataka (greške zaokruživanja) ne smiju prouzročiti velike razlike u rješenju.

Može se pokazati da su oba uvjeta ispunjena, ako je

$$c^2\,\sigma\leqslant{}\frac{1}{2},$$   tj.$$\quad \tau\leqslant{}\frac{1}{2\,c^2}\,h^2.$$

Ovdje opisan postupak rješavanja, zasnovan na formuli (3.35) se zove eksplicitan. On je kao što se vidi vrlo jednostavan. Nedostatak postupka je u tome što se zbog potrebe stabilnosti i konvergencije mora korak po osi $t$ uzeti vrlo malen. Za $c=1$ i $h=0.1$ treba biti $\tau\leqslant{}0.005.$

Postoji implicitni postupak, kod kojeg nema zahtjeva na $\sigma.$ Međutim on vodi na rješavanje sustava jednadžbi, pa se tu pojavljuju drugi problemi, osobito kad su koraci maleni. Osim toga kod implicitnog postupka moramo unaprijed ograničiti vrijeme, kako bismo imali konačno mnogo čvorova, dok kod eksplicitnog postupka ne treba unaprijed ograničavati vrijeme.