Jednadžba ravnoteže

Neka je dan rubni problem

$$% latex2html id marker 41203 \begin{cases} \Delta\,u(x,y) =... ... u(x,y) = g(x,y),& \text{na $\partial{}\Omega{},$} \end{cases}$$

gdje je $f$ neprekidna funkcija na ${\Omega{}},$ a $g$ neprekidna na rubu $\partial{}\Omega{}.$

Područje $\Omega{}$ prekrijemo mrežom koju dobijemo tako da segmente na osi $x$ i osi $y$ podijelimo ekvidistantno na podsegmenate. Tako imamo

$$h = \frac{b-a}{n},\hspace{1cm}k = \frac{d-c}{m}.$$

Broj $h$ se zove korak mreže po $x$ osi, a $k$ korak mreže po $y$ osi. Tako imamo točke podjele

$$x_i = a + i\,h,\quad i=0,1,2,\ldots{},n\hspace{1cm}y_j = c + j\,k,\quad j=0,1,2,\ldots{},m$$

na osima. Točku s koordinatama

$$(x_i,y_j) = (a + i\,h,c + j\,k)$$

zovemo $ij$-tim čvorom mreže. Čvor zovemo unutrašnjim, ako je $1\leqslant{}i\leqslant{}n-1$ i $1\leqslant{}j\leqslant{}m-1.$ U protivnom kažemo da je čvor rubni. Stavimo

$$u(x_i,y_j) = u_{i\,j},\hspace{1cm}f(x_i,y_j) = f_{i\,j}.$$

Kao i u slučaju običnih derivacija, aproksimacije parcijalnih derivacija možemo dobiti pomoću Taylorove formule za funkcije od dvije varijable. Tako imamo

$$\frac{\partial{}^2u(x_i,y_j)}{\parti... ..._j)}{\partial{}y^2} \approx{} \frac{u_{i\,j-1} -2\,u_{i\,j} +u_{i\,j+1}}{k^2}.$$

Neka je $ij$ unutrašnji čvor. Tada diferencijalnu jednadžbu u tom čvoru možemo zamijeniti algebarskom jednadžbom

$$\frac{u_{i-1\,j} -2\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j}}{h^2} + \frac{u_{i\,j-1} -2\,u_{i\,j} +u_{i\,j+1}}{k^2} = f_{i\,j}.$$

Ako je čvor $ij$ rubni, onda imamo

$$u_{i\,j} = g_{i\,j}.$$

Time smo dobili onoliko linearnih algebarskih jednadžbi koliko imamo nepoznanica $u_{i\,j}.$ Rješavati treba samo sustav jednadžbi unutrašnjih čvorova. Pretpostavimo, radi jednostavnosti, da su $a,b,c,d,n,m$ takvi da je $h=k.$ Tada, nakon množenja s $h^2,$ jednadžba $ij$-tog čvora postaje

$$u_{i\,j-1}+u_{i-1\,j} -4\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j} + u_{i\,j+1} = h^2\,f_{i\,j}.$$

Vidimo da u svakom retku matrice ima najviše pet elemenata različitih od nule. Na sljedećoj slici su istaknuti oni čvorovi, čije vrijednosti funkcije $u$ dolaze u jednadžbi, i upisani su koeficijenti kojima ih treba množiti.

Jednadžbe trebamo na neki način poredati. To možemo učiniti tako da poredamo čvorove. Njih možemo poredati na različite načine. Jedan od njih je poredak kao na slici

Dakle

$$1\,1,\quad 2\,1,\quad 1\,2,\quad 3\,1,\quad 2\,2,\quad 1\,3,\quad4\,1,\quad3\,2,\quad2\,3,\quad1\,4,\quad\ldots{}\ .$$

Stavimo

$$u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} =... ...= u_{1\,2},\quad u_{\text{\footnotesize\ding{195}}} = u_{3\,1},\quad \ldots\ .$$

Na taj način dobivamo sljedeći sustav linearnih algebarskih jednadžbi

$$-4\,u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{193}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{194}}} = h^2\,f_{1\,1} - g_{1\,0} - g_{0\,1}$$

$$u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} -... ...93}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{195}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{196}}} = h^2\,f_{2\,1} - g_{2\,0}$$

$$u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} -... ...94}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{196}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{197}}} = h^2\,f_{1\,2} - g_{0\,2}$$

$$u_{\text{\footnotesize\ding{193}}} -... ...95}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{198}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{199}}} = h^2\,f_{3\,1} - g_{3\,0}$$

$$u_{\text{\footnotesize\ding{193}}} +... ...96}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{199}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{200}}} = h^2\,f_{2\,2}$$

$$\ldots$$

Prilikom izbora poretka treba paziti na to da matrica dobivenog sustava jednadžbi bude što uža.