Ritzova metoda

Iz varijacijskog principa slijedi da se umjesto rješavanja jednadžbe, rješenje rubnog problema može dobiti rješavanjem problema minimizacije odgovarajućeg funkcionala.

Ima raznih metoda koje koriste varijacijsku formulaciju. Jedna od njih je Ritzova. Pogledajmo kako ona funkcionira kad se radi o rubnom problemu

$$% latex2html id marker 40786 \begin{cases} (p(x)\,u'(x))' +f(x) = 0,& \\ u(0) = 0,\quad u'(\ell{}) = 0,& \end{cases}$$

gdje je $p(x)>0$ za svaki $x.$

Izaberemo $n$ linearno nezavisnih funkcija $v_i, i=1,2,\ldots, n$ koje zadovoljavaju Dirichletov homogeni rubni uvjet. Dakle $v_i(0)=0.$ Rješenje se pretpostavi u obliku

$$u_n(x) = \sum_{i=1}^n c_i\,v_i(x),$$

i neodređeni koeficijenti $c_i$ se odrede iz uvjeta da $u_n$ minimizira pripadni funkcional energije (v. teorem 18)

$$F(u) = \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,{u'}^2\,dx - \int_0^{\ell}\,f\,u\,dx.$$

Tako dobiveni $u_n$ leži u vektorskom prostoru razapetom s funkcijama $v_1,$ $v_2,$ $\ldots,$ $v_n,$ tj. u vektorskom prostoru svih linearnih kombinacija funkcija $v_1,$ $v_2,$ $\ldots,$ $v_n.$ Rješenje ne mora biti linearna kombinacija tih funkcija, pa u tom slučaju $u_n$ nije točno već samo približno rješenje. No, grešku koju tom pretpostavkom činimo, možemo umanjiti uzimanjem većeg $n.$

Prvi problem s kojim se susrećemo kod Ritzove metode je određivanje funkcija $v_i,$ koje se često zovu koordinatne funkcije. One se obično biraju u skladu s problemom koji se rješava. Na pr. ako iz fizikalnih razloga očekujemo periodičko rješenje, onda ćemo takvima pretpostaviti i funkcije $v_i.$ Inače se za koordinatne funkcije mogu koristiti polinomi.

Nakon što smo izabrali funkcije $v_i,$ pretpostavljeno rješenje uvrstimo u funkcional

$$F(u_n) = \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,\left(\sum_{i=1}^n c_i\,v'_i\right)^2\,dx - \int_0^{\ell}\,f\,\sum_{i=1}^n c_i\,v_i\,dx$$

$$= \frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n c_i\,c_j\,\int_0^{\ell}\,p\,{v'}_i\, v'_j\,dx - \sum_{i=1}^n c_i\,\int_0^{\ell}\, f\,v_i\,dx$$

$$= \Phi(c_1,c_2,\ldots,c_n).$$

$\Phi$ je derivabilna funkcija od $n$ varijabli $c_1,c_2,\ldots,c_n,$ pa jednadžbe

$$\frac{\partial \Phi}{\partial c_i} = \sum_{j=1}^n c_j\,\int_0^{\ell}\, p\,v'_i\, v'_j\,dx - \int_0^{\ell}\,f\,v_i\,dx = 0,\quad i=1,2,\ldots,n,$$

predstavljaju nužan uvjet za ekstrem funkcije $\Phi$ u točki $(c_1,c_2,\ldots,c_n).$ Ovo je sustav od $n$ linearnih algebarskih jednadžbi s $n$ nepoznanica. Ako stavimo

$$K_{i\,j} = \int_0^{\ell}\,p\,v'_i\,v'_j\,dx,\hspace{1cm}b_i = \int_0^{\ell}\, f\,v_i\,dx,$$

dobivamo sustav jednadžbi

$$\sum_{j=1}^n K_{i\,j}\,c_j = b_i,\qquad i=1,2,\ldots,n.$$

On se može matrično zapisati

$$K\,\boldsymbol{c} = \boldsymbol{b},$$ (3.27)

gdje je $K = [K_{ij}],\; \boldsymbol{c}=[c_j],\; \boldsymbol{b}=[b_i].$

Matrica $K,$ koja se inače zove matrica krutosti, je očito simetrična, jer je

$$K_{i\,j} = \int_0^{\ell}\,p\,v'_i\,v'_j\,dx = \int_0^{\ell}\,p\,v'_j\,v'_i\,dx = K_{ji}.$$

Ona je i pozitivno definitna. Doista,

$$K\,\boldsymbol{c}\cdot{}\boldsymbol{c} = \left[\sum_{j=1}^n K_{ij}\,c_j\right]\cdot{}[c_i] = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n K_{ij}\,c_j\,c_i =$$

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \int_0^{\ell}\, p\,v'_i\,v'_j\,dx\,c_j\... ...\,c_j\,v'_j\,dx = \int_0^{\ell}\,p\,\left(\sum_{i=1}^n c_i\,v'_i\right)^2\,dx.$$

Budući da je $p(x)>0,$ za svaki $x,$ ovaj integral se može poništavati samo tako da bude

$$\left(\sum_{i=1}^n c_i\,v'_i(x)\right)^2 = 0,\quad \forall x \in [0,\ell],$$

odnosno

$$\sum_{i=1}^n c_i\,v'_i(x) = \left(\sum_{i=1}^n c_i\,v_i(x)\right)' = 0,\quad \forall x \in [0,\ell].$$

Odatle

$$\sum_{i=1}^n c_i\,v_i(x) = C,\quad \forall x \in [0,\ell],$$

a kako je $\sum_{i=1}^n c_i\,v_i(0) = 0,$ slijedi $C=0,$ odnosno

$$\sum_{i=1}^n c_i\,v_i = 0.$$

Zbog linearne nezavisnosti koordinatnih funkcija $v_i,$ slijedi da je $c_i=0$ za svaki $i,$ tj. $\boldsymbol{c}=\textbf{0}.$ Dakle $K\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c}>0,$ za $\boldsymbol{c}\neq\textbf{0},$ pa je matrica $K$ pozitivno definitna.

Kao što smo vidjeli, takva matrica se može dijagonalizirati i ima pozitivne vlastite vrijednosti. To znači da je regularna. Zaista, neka su njezine vlastite vrijednosti $\lambda{}_1,\lambda{}_2,\ldots,\lambda{}_n.$ Tada je

$$\det{}K = \det{}(X^{-1}[\lambda{}_i\,\delta_{ij}]\,X) = \det{}X^... ...\,\delta_{ij}]\,\det{}X = \lambda{}_1\,\lambda{}_2\,\cdots{}\,\lambda{}_n > 0.$$

Odatle slijedi da jednadžba (3.28) ima jedno i samo jedno rješenje.

Nedostatak ove metode je u tome što je matrica ${K}$ puna matrica, tj. općenito je svaki njezin element različit od nule.

Primjer 3.20   Riješimo Ritzovom metodom sljedeći rubni problem

$$% latex2html id marker 40909 \begin{cases} ((1+x^2)\,u'(x))' + x(x-1)=0,& \\ u(0)=0,\qquad u'(1)=0.& \end{cases}$$

Rješenje. Za koordinatne funkcije uzmimo polinome. Budući da na lijevom rubu imamo homogen Dirichletov uvjet, polinomi se moraju poništavati u nuli. Neka su, dakle, koordinatne funkcije

$$v_i(x) = x^i,\qquad i=1,2,3,4.$$

Rješenje pretpostavljamo u obliku

$$u_4(x) = {c_1}\,{v_1}(x) + {c_2}\,{v_2}(x) + {c_3}\,{v_3}(x) + {c_4}\,{v_4}(x).$$

Kad s $u_4$ uđemo u funkcional, i njegove derivacije po koeficijentima $c_1,$ $c_2,$ $c_3,$ $c_4$ izjednačimo s nulom, dobivamo sustav jednadžbi

$$1.33333\,{c_1} + 1.5\,{c_2} + 1.6\,{c_3} + 1.66667\,{c_4} = -0.0833333$$

$$1.5\,{c_1} + 2.13333\,{c_2} + 2.5\,{c_3} + 2.74286\,{c_4} = -0.05$$

$$1.6\,{c_1} + 2.5\,{c_2} + 3.08571\,{c_3} + 3.5\,{c_4} = -0.0333333$$

$$1.66667\,{c_1} + 2.74286\,{c_2} + 3.5\,{c_3} + 4.06349\,{c_4} = -0.0238095$$

Odavde dobijemo za koeficijente

$$c_1 = -0.171183,\quad c_2 = 0.038559,\quad c_3 = 0.141054,\quad c_5 = -0.0831691.$$

pa je rješenje

$$u_4(x) = -0.171183\,x + 0.038559\,{x^2} + 0.141054\,{x^3} - 0.0831691\,{x^4}.$$

Točno rješenje je

$${{u(x)} = {{\frac{x}{2}} - {\frac{{x^2}}{6}} - {\frac{2\,{\rm Arctg}\,x}{3}} + {\frac{\ln (1 + {x^2})}{6}}}}.$$

Greška računata u točkama $0,.1,.2,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9,1$ iznosi

$$0,-0.00014589,0.0000281161, 0.000191892,0.000195642,0.000056621,$$

$$-0.000107126,-0.000166607, -0.0000700444,0.0000853256, 2.45198\,{{10}^{-6}}.$$