Varijacijski princip

Neka je zadan rubni problem ravnoteže žice

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f(x) = 0,\hspace{1cm}u(0)=0,\;u'(\ell)=0,$$ (2.30)

i pretpostavimo da je $u$ ravnotežni položaj. Pretpostavljamo da je proizvoljni pomak iz položaja ravnoteže žice određen neprekidnom funkcijom $v,$ klase $C^1[0,\ell],$ takvom da je $v(0)=0.$

Nazovimo sve takve funkcije dopustivima. Funkciju $v$ ćemo zvati perturbacijom ravnotežnog stanja (položaja). Naglasimo da je $v$ pomak od ravnotežnog stanja a ne od osi $x.$ U odnosu na os $x$ položaj je $w=u+v.$

Neka je $v(x)$ proizvoljna perturbacija (dopustiva funkcija). Pomnožimo jednadžbu iz (2.31) s $v(x)$ i integrirajmo duž žice. Dobit ćemo

$$\int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(x)\right)'\,v(x)\, dx - \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx = 0.$$

Parcijalno integrirajmo prvi integral

$$p({\ell})\,u'({\ell})\,v({\ell}) - p(0)\,u'(0)\,v(0) - \int_0^{\ell}\,p(x)\,u'(x)\,v'(x)\,dx$$

$$- \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx = 0.$$

Zbog $u'({\ell})=0,$ i $v(0)=0,$ slijedi

$$-\int_0^{\ell}\,p(x)\,u'(x)\,v'(x)\,dx - \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx = 0.$$ (2.31)

Jednakost (2.32) predstavlja Bernoullijev princip sačuvanja rada. Prvi član je rad kontaktne sile $p(x)\,u'(x)$ koja se opire deformaciji $v'(x),$ iz ravnotežnog stanja. Drugi član je rad sile otpora, a treći rad vanjske sile čija je gustoća $f.$ Bernoullijev princip tvrdi da je ukupni rad vanjskih i unutarnjih sila na perturbaciji ravnotežnog položaja jednak $0.$ Drugim riječima, ako žicu perturbiramo, svaki komadić žice prijeđe neki put iz ravnotežnog stanja. Vanjske sile na tom putu izvrše neki rad. Rad uslijed sile napetosti žice, koja nastoji vratiti žicu u ravnotežni položaj jednak je po apsolutnom iznosu radu vanjskih sila, ali suprotnog predznaka. Tako je suma svih radova jednaka nuli.

Možemo zaključiti sljedeće. Ako $u$ rješava zadani rubni problem, onda vrijedi jednakost (2.32) za svaku dopustivu funkciju (perturbaciju) $v.$

Pretpostavimo da je funkcija $u$ takva da je $u(0)=0$ i da zadovoljava uvjet (Bernoullijev princip)

$$\int_0^{\ell}\,p(x)\,u'(x)\,v'(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx$$

za svaku dopustivu funkciju $v.$ Integrirajmo parcijalno prvi član na lijevoj strani. Dobivamo

$$p({\ell})\,u'({\ell})\,v({\ell}) - p(0)\,u'(0)\,v(0) - \int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(x)\right)'\,v(x)\, dx +$$

$$\int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx.$$

Za dopustivu funkciju $v$ to je, zbog $v(0)=0,$

$$p({\ell})\,u'({\ell})\,v({\ell}) - \int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(x)\right)'\,v(x)\, dx +$$

$$\int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx.$$ (2.32)

Ovo vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i takvu za koju je $v(\ell)=0.$ Za takvu $v$ ova jednakost postaje

$$- \int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,u'(x)\right)'\,v(x)\, dx + \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\,dx,$$

odnosno

$$\int_0^{\ell}\,\left[\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f(x)\right]v(x)\,dx = 0.$$ (2.33)

Lema 2   Neka je $h$ neprekidna funkcija na $[0,\ell],$ i neka je

$$\int_0^{\ell}\,h(x)\,v(x)\,dx=0,$$

za svaku funkciju $v \in C^1[0,\ell],$ takvu da je $v(0)=v(\ell)=0.$ Tada je $h=0,$ tj. $h(x)=0$ za svaki $x \in [0,\ell].$

Dokaz. Ako je $h(0)>0,$ onda zbog neprekidnosti funkcije $h,$ postoji točka $x_0 \in \langle0,\ell\rangle$ blizu točke $0,$ takva da je $h(x_0)>0.$ Isto možemo zaključiti i za desni rub $\ell.$ Odatle slijedi da je dovoljno dokazati tvrdnju leme za $x \in \langle0,\ell\rangle.$
Pretpostavimo suprotno, da postoji $x_0 \in \langle0,\ell\rangle$ takav da je $h(x_0)>0.$ Tada, zbog neprekidnosti funkcije $h,$ postoji interval $I$ oko točke $x_0$ takav da je $h(x)>0,$ za svaki $x \in I.$ Izaberimo neprekidnu funkciju $v$ tako da je $v(x)=0$ za svaki $x \in [0,\ell]\setminus I,$ i da je $v(x)>0$ za svaki $x \in I.$

Tada je

$$\int_0^{\ell}\,h(x)\,v(x)\,dx = \int_I h(x)\,v(x)\,dx > 0$$

što je u kontradikciji s pretpostavkom u iskazu leme. Prema tome nije moguće da bude $h(x_0)>0$ u nekoj točki $x_0 \in [0,\ell].$ Na sličan način se dokazuje da nije moguće da bude $h(x_0)<0.$ Prema tome je $h(x)=0$ za svaki $x \in [0,\ell].$ $\heartsuit$

Na temelju ove leme zaključujemo da iz 2.35 nužno slijedi

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f(x) = 0.$$ (2.34)

Dakle $u$ zadovoljava diferencijalnu jednadžbu. Po pretpostavci zadovoljava homogeni kinematički uvjet $u(0)=0.$ Dokažimo na kraju da $u$ zadovoljava i dinamički uvjet $u'(\ell)=0.$ Zbog (2.36), jednadžba (2.34) se sada svodi na

$$p({\ell})\,u'({\ell})\,v({\ell}) = 0.$$

Kako ona vrijedi za svaku dopustivu funkciju, vrijedi i za takvu za koju je $v(\ell)\neq 0.$ Osim toga je $p({\ell})>0,$ pa prema tome mora biti $u'({\ell})=0.$

Možemo zaključiti sljedeće. Ako $u$ zadovoljava Bernoullijev princip, i $u(0)=0,$ onda $u$ rješava rubni problem (2.31).

Tako smo dokazali sljedeći teorem.

Teorem 17  

1. Neka je funkcija $u \in C^2[0,\ell]$ rješenje rubnog problema

   $$\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f(x) = 0,\hspace{1cm}u(0)=0,\;u'(\ell)=0.$$ (2.35)

   
   
   Tada vrijedi

   $$\int_0^{\ell}\,p(x)\,u'(x)\,v'(x)\,dx + \int_0^{\ell}\,q(x)\,u(x)\,v(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v(x)\, dx$$ (2.36)

   
   
   za svaku dopustivu funkciju $v.$
2. Neka je funkcija $u \in C^2[0,\ell],$ neka je $u(0)=0,$ i neka funkcija $u$ zadovoljava uvjet (2.38) za svaku dopustivu funkciju $v.$ Tada $u$ rješava rubni problem (2.37).

Primijetimo da se u drugoj tvrdnji zahtijeva od funkcije $u$ samo zadovoljavanje kinematičkog rubnog uvjeta, dok dinamički rubni uvjet $u'(\ell)=0$ nužno slijedi iz činjenice da $u$ zadovoljava Bernoullijev princip.

Promatrajmo i dalje rubni problem (2.37). Stavimo

$$w(x) = u(x) + v(x),$$

gdje je $u$ ravnotežni položaj, $v$ perturbacija, a $w$ rezultanta. Svakom takvom rezultantnom položaju $w$ možemo pridružiti broj

$$F(w) = \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p(x)\,(w'(x))^2\,dx - \int_0^{\ell}\,f(x)\,w(x)\,dx + \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,q(x)\,w(x)^2\,dx.$$ (2.37)

$F$ je funkcija koja funkcijama $w$ pridružuje brojeve (kao na pr. kod određenog (Riemannovog) integrala). Takva funkcija se zove funkcional. Prvi integral je unutrašnja potencijalna energija uslijed deformacije žice, drugi integral je potencijalna energija vanjske sile, dok je treći integral potencijalna energija elastične sile otpora. Zato se ovaj funkcional zove funkcional energije. Interesira nas čime se odlikuje ravnotežno stanje $u$ među svim mogućim funkcijama $w$ u odnosu na ponašanje funkcionala $F,$ zadanog formulom (2.39).

Neka je $v$ dopustiva funkcija (perturbacija). Podsjetimo da to znači da je $v$ klase $C^1[0,\ell],$ i da je $v(0)=0.$ Neka je $w=u+v.$ U formulama koje slijede nećemo pisati varijablu $x$ radi kratkoće.

$$F(w) = F(u+v) = \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,(u'+v')^2\,dx - \int_0^{\ell}\, f\,(u+v)\,dx + \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,q\,(u+v)^2\,dx$$

$$= \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,\left[u'\,^2+ 2\,u'\,v' + v'\,^2... ...right]\,dx + \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,q\,\left[u^2+ 2\,u\,v + v^2\right]\,dx$$

$$= \underbrace{\frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,u'\,^2\,dx - \int_0^... ...{\frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,\left[p\,v'\,^2 + q\,v^2\right]\,dx}_{\geqslant 0}$$

$$+ \underbrace{\int_0^{\ell}\, \left[p\,u'\,v' + q\,u\,v - f\,v\right]\,dx}_{=0}.$$

Drugi član je nenegativan zato jer je takva podintegralna funkcija, a treći je nula zbog Bernoullijevog principa. Tako imamo

$$F(w)\geqslant F(u).$$

Dakle možemo zaključiti sljedeće. Rezultanta $u,$ koja predstavlja ravnotežni položaj, se među svim rezultantama $w$ se ističe time da pridaje funkcionalu $F$ najmanju vrijednost. Za funkciju na kojoj funkcional $F$ poprima najmanju vrijednost kažemo da minimizira funkcional $F.$ Tako smo dokazali prvu tvrdnju sljedećeg teorema.

Teorem 18   (Varijacijski princip, Dirichletov princip)

1. Neka je funkcija $u \in C^2[0,\ell]$ rješenje rubnog problema (2.37). Tada $u$ minimizira funkcional $F.$
2. Neka je funkcija $u \in C^2[0,\ell],$ neka je $u(0)=0,$ i neka $u$ minimizira funkcional $F.$ Tada je $u$ rješenje rubnog problema (2.37).

Dokažimo drugu tvrdnju (obrat prve). Pretpostavimo da $u$ minimizira funkcional $F,$ tj. da je $F(u)\leqslant F(w),$ za proizvoljnu rezultantu $w.$ Stavimo $w=u+\lambda v.$ To smijemo, jer ako je $v$ dopustiva funkcija, onda je i $\lambda v,$ za proizvoljan $\lambda \in \mathbb{R},$ dopustiva.

$$F(w) = F(u+\lambda\,v) = \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,(u'+\lamb... ...\, f\,(u+\lambda\,v)\,dx + \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,q\,(u+\lambda\,v)^2\,dx$$

$$= \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,p\,\left[u'\,^2+ 2\,u'\,\lambda\,v... ...da^2\,v'\,^2\right]\,dx - \int_0^{\ell}\,\left[f\,u + f\,\lambda\,v\right]\,dx$$

$$+ \frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,q\,\left[u^2+ 2\,u\,\lambda\,v + \... ...nderbrace{\frac{1}{2}\,\int_0^{\ell}\,\left[p\,v'\,^2 + q\,v^2\right]\,dx}_{a}$$

$$+ \lambda\,\underbrace{\int_0^{\ell}\,\left[p\,u'\,v' + q\,u\,v ... ...t_0^{\ell}\, \left[p\,u'\,^2 + q\,u^2\right]\,dx - \int_0^{\ell}\,f\,u\,dx}_{c}$$

$$= a\,\lambda^2 + b\,\lambda + c.$$

Tako vidimo da je $F$ polinom drugog stupnja u varijabli $\lambda.$ Graf polinoma drugog stupnja je parabola. Kako je koeficijent uz $\lambda^2$ pozitivan parabola ima u svom tjemenu minimum. Apscisa tjemena je $\lambda = -\frac{b}{2\,a}.$ Da bi se minimum dogodio za $\lambda = 0,$ što se mora desiti jer smo pretpostavili da je $F(u)\leqslant F(w),$ mora nužno biti $b = 0.$ To znači da mora biti

$$\int_0^{\ell}\,\left[p\,u'\,v' + q\,u\,v - f\,v\right]\,dx = 0.$$

Dopustiva funkcija $v$ je bila proizvoljna, pa prema tome ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju $v.$ Osim toga pretpostavka je da je $u(0)=0.$ Odatle, po Bernoullijevom principu slijedi da $u$ rješava rubni problem (2.37).

Primijetimo na kraju da teorem 18 izražava poznati mehanički princip: ravnotežno stanje fizikalnog sustava je ono stanje u kojem je njegova potencijalna energija minimalna.