Varijacijski račun

U 2.4.1 smo razmatrali problem minimizacije funkcionala energije određenog rubnog problema. Ovdje ćemo razmatrati problem minimizacije općenitijeg funkcionala.

Neka je dana neprekidno derivabilna funkcija od tri varijable

$$\varphi:[0,\ell]\times \mathbb{R}\t... ...bb{R}\rightarrow \mathbb{R},\hspace{1cm}\varphi:(x,y,z)\mapsto \varphi(x,y,z).$$

Neka je $y=u(x)$ i $z=u'(x).$ Tada imamo kompoziciju funkcija (složenu funkciju) od jedne varijable

$$x\mapsto \varphi(x,u(x),u'(x)).$$

U vezi s tom funkcijom možemo promatrati sljedeći funkcional

$$\Phi(u) = \int_0^{\ell}\,\varphi(x,u(x),u'(x))\,dx.$$

Ovo je općenitiji funkcional od onih koje smo promatrali. Na pr. ako stavimo

$$\varphi(x,y,z) = \frac{1}{2}\,q(x)\,y^2 + \frac{1}{2}\,p(x)\,z^2 - f(x)\,y,$$

onda kompozicija kao gore daje funkcional energije (2.39).

Osim same formule, važno je odrediti domenu funkcionala. Kao što se iz formule vidi, funkcional $\Phi$ pridružuje funkciji $u$ broj. Važno je definirati kojem skupu pripada funkcija $u.$ To naravno ovisi o problemu o kojem se radi. Pretpostavimo da je funkcional $\Phi$ definiran na skupu

$$D(\Phi) = \{u \in C^2[0,\ell];\; u(0)=0\}.$$

Skup $D(\Phi)$ je vektorski prostor, jer je bilo koja linearna kombinacija elemenata iz $D(\Phi)$ opet element iz $D(\Phi).$ Elemente iz $D(\Phi)$ ćemo zvati dopustivim funkcijama.

Posebno nas interesiraju funkcije na kojima funkcional poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Svaka takva funkcija se zove ekstremala. Nađimo sada uvjet koji treba ispunjavati funkcija $u_0$ da bude ekstremala funkcionala $\Phi.$ U tu svrhu stavimo $u = u_0 + \lambda\,v,$ gdje je $v$ dopustiva funkcija.

$$\Phi(u) = \Phi(u_0+\lambda\,v) = \int_0^{\ell}\, \varphi(x,u_0(x)+\lambda\,v(x),u'_0(x)+\lambda\,v'(x))\,dx$$

je funkcija od $\lambda,$ i za $\lambda=0$ ona ima ekstrem. Budući da je funkcija

$$\lambda\mapsto \Phi(u_0+\lambda\,v)$$

neprekidno derivabilna, to znači da mora biti

$$\left.\frac{d}{d\lambda}\,\Phi(u_0+\lambda\,v)\right\vert _{\lambda=0}=0.$$ (2.38)

Kako je $\varphi$ neprekidno derivabilna, imamo

$$\frac{d}{d\lambda}\,\Phi(u_0+\lambda\,v) = \frac{d}{d\lambda}\,\int_0^{\ell}\, \varphi(x,u_0(x)+\lambda\,v(x),u'_0(x)+\lambda\,v'(x))\,dx$$

$$= \int_0^{\ell}\, \frac{d}{d\lambda}\, \varphi(x,u_0(x)+\lambda\... ...i}{\partial u}\,v(x) + \frac{\partial \varphi}{\partial u'}\,v'(x)\right]\,dx.$$

Preciznije

$$\frac{d}{d\lambda}\,\Phi(u_0+\lambda\,v) = \int_0^{\ell}\, \frac{... ... \varphi(x,u_0(x)+\lambda\,v(x),u'_0(x)+\lambda\,v'(x))}{\partial u}\,v(x)\,dx$$

$$+ \int_0^{\ell}\,\frac{\partial \varphi(x,u_0(x)+\lambda\,v(x),u'_0(x)+\lambda\,v'(x))}{\partial u'} \,v'(x)\,dx.$$

Zbog (2.40) imamo

$$\int_0^{\ell}\, \frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partia... ...{\ell}\, \frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\,v'(x)\,dx = 0.$$ (2.39)

Jednom parcijalno integrirajmo drugi integral

$$\int_0^{\ell}\,\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial... ...rac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\,v(x)\right\vert _0^{\ell}$$

$$- \int_0^{\ell}\,\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\right)\,v(x)\,dx.$$

Funkcija $v$ je dopustiva, pa je $v(0)=0.$ Tako imamo

$$\int_0^{\ell}\, \frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\,v'(x)\,dx =$$

$$- \int_0^{\ell}\,\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \varphi(x,u_0(x... ...,dx + \frac{\partial \varphi(\ell,u_0(\ell),u'_0(\ell))}{\partial u'}\,v(\ell).$$

Kad to uvrstimo u (2.41), dobivamo

$$\int_0^{\ell}\,\left[\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\p... ...(\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\right)\right]\,v(x)\,dx$$

$$+ \frac{\partial \varphi(\ell,u_0(\ell),u'_0(\ell))}{\partial u'}\,v(\ell) = 0.$$ (2.40)

Ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i za takve za koje je $v(\ell)=0.$ Za takve dopustive funkcije imamo

$$\int_0^{\ell}\,\left[\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\... ...{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\right)\right]\,v(x)\,dx = 0.$$

Na osnovu leme 2 slijedi

$$\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial \varphi(x,u_0(x),u'_0(x))}{\partial u'}\right) = 0,$$

ili kraće

$$\frac{\partial \varphi}{\partial u} - \frac{d}{dx}\frac{\partial \varphi}{\partial u'} = 0.$$ (2.41)

Ako se s time vratimo u jednadžbu (2.42), te zbog proizvoljnosti dopustive funkcije $v,$ uzmemo $v$ takvu da je $v(\ell)\neq 0,$ slijedi da mora vrijediti također

$$\frac{\partial \varphi(\ell,u_0(\ell),u'_0(\ell))}{\partial u'} = 0.$$

Ova jednakost se zove prirodni uvjet na rubu $x=\ell.$

Jednadžba (2.43) se zove Eulerova diferencijalna jednadžba za dani funkcional. Dakle, da bi funkcija $u$ bila ekstremala funkcionala $\Phi,$ nužno mora zadovoljavati pripadnu Eulerovu diferencijalnu jednadžbu. To je nužan uvjet, ali ne i dovoljan. Dovoljne uvjete ovdje nećemo razmatrati. Napomenimo da se iz prirode problema često može zaključiti da li ekstremala postoji ili ne. Ako postoji, i ima neprekidne derivacije dovoljno visokog reda, onda je dovoljno naći rješenje Eulerove jednadžbe, koje zadovoljava rubne uvjete.

Primjer 2.19   Problem brahistohrone. Interesira nas koji oblik putanje treba izabrati tako da se za najkraće vrijeme, u polju sile teže, stigne iz točke $O$ u točku $C.$

Krivulja s tim svojstvom se zove brahistohrona.^2.2

Rješenje. Zakon o sačuvanju energije glasi

$$E_k + E_p =$$   konst.

Nadalje

$$E_k = \frac{m\,v^2}{2},\hspace{1cm}E_p = -m\,g\,h.$$

Predznak $-$ dolazi stoga što smo pozitivni dio osi $y$ okrenuli prema dolje. Tako je

$$\frac{m\,v^2}{2} -m\,g\,h =$$   konst.

U točki $O$ je $h=0,$ i $v=0,$ pa slijedi da je konstanta jednaka nuli. Odatle

$$v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\,g\,u(x)},$$

jer ćemo u daljnjem visinu označavati s $u(x).$ Zadatak je naći funkciju $u(x).$

S druge strane brzina je

$$v = \frac{ds}{dt} = \sqrt{1+u'(x)^2}\,\frac{dx}{dt}.$$

Odatle je

$$\frac{dt}{dx} = \frac{\sqrt{1+u'(x)^2}}{\sqrt{2\,g\,u(x)}},$$

pa je vrijeme gibanja po krivulji

$$T(u) = \int_0^{\ell}\,\frac{\sqrt{1+u'(x)^2}}{\sqrt{2\,g\,u(x)}}\,dx.$$

Od svih puteva $u(x)$ treba izabrati onaj uz koji ovaj funkcional poprima najmanju vrijednost uz uvjete

$$u(0) = 0,\hspace{1cm}u(\ell{}) = u_1.$$

Budući da konstanta $\frac{1}{\sqrt{2\,g}}$ ne utječe na to da li je $u$ ekstremala ili ne, možemo uzeti

$$\varphi(x,u,u') = \sqrt{\frac{1+u'(x)^2}{u(x)}}.$$

Budući da u $\varphi$ ne dolazi eksplicitno $x,$ Eulerova jednadžba glasi

$$\frac{\partial \varphi}{\partial u} - \frac{d}{dx}\frac{\partial ... ...ial u\partial u'}\,u' - \frac{\partial{}^2\varphi}{\partial{}{u'}^2}\,u'' = 0.$$

S druge strane

$$\frac{d}{dx}\left(\varphi - \frac{\partial{}\varphi}{\partial{}u... ...rphi}{\partial{}{u'}^2}\,u''\,u' - \frac{\partial{}\varphi}{\partial{}u'}\,u''$$

$$= u'\left(\frac{\partial \varphi}{\partial u} - \frac{\partial^2... ...rtial u'}\,u' - \frac{\partial{}^2\varphi}{\partial{}{u'}^2}\,u''\right) = 0,$$

jer je izraz u zagradi upravo lijeva strana Eulerove jednadžbe. Dakle

$$\frac{d}{dx}\left(\varphi - \frac{\partial{}\varphi}{\partial{}u'}\,u'\right) = 0.$$

Odatle

$$\varphi - \frac{\partial{}\varphi}{\partial{}u'}\,u' = C.$$

U našem slučaju

$$\sqrt{\frac{1+u'(x)^2}{u(x)}} - u'(x)\,\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)(1+u'(x)^2)}} = C,$$

$$\frac{1}{\sqrt{u(x)(1+u'(x)^2)}} = C,$$

tj.

$$u(x)\,(1+u'(x)^2) = D.$$

Stavimo

$$u' = {\rm ctg}\,\psi{},$$

gdje je $\psi{}$ parametar.

$$1+{u'}^2 = 1+{\rm ctg}\,^2\psi{} = \frac{1}{\sin^2\psi{}},$$

pa je

$$u = D\,\sin^2\psi{} = \frac{D}{2}\,(1-\cos 2\psi{}).$$

Sada treba $x$ izraziti kao funkciju od $\psi{},$ pa ćemo tako dobiti parametarski određenu traženu krivulju.

$$du = u'\,dx = {\rm ctg}\,\psi{}\,dx.$$

Isto tako

$$du = \left(\frac{D}{2}\,(1-\cos 2\psi{})\right)'d\psi{} = D\,\sin 2\psi{}\,d\psi{}.$$

Tako je

$$dx = 2\,D\,\sin^2\psi{}\,d\psi{}.$$

Odatle

$$x = 2\,D\int \sin^2\psi{}\,d\psi{} = D\,\left(\psi{}-\frac{\sin 2\psi{}}{2}\right) + D_1.$$

Mora biti $D_1=0,$ da bi istovremeno $x$ i $\psi{}$ težili k nuli. Stavimo $2\psi{}=\phi{}.$ Tada je

$$x = \frac{D}{2}\,(\phi{}-\sin\phi{}),$$

dok je

$$u = \frac{D}{2}\,(1-\cos\phi{}).$$

Konstanta $D$ se određuje iz preostalog rubnog uvjeta $u(\ell{})=u_1,$ ili preciznije $\left. u\right\vert _{x=\ell}=u_1.$ Ove parametarske jednadžbe predstavljaju cikloidu.