Primjer 3.

Odrediti dijagram momenata na zadanom nosaču.

Vanjska su djelovanja: K₁ = 80  kN, K₂ = 150  kN, M = 60  kNm, t_s = - 10^oC, $\Delta$h = 0, 5  mm, $\varphi_{t}^{}$ = 10^-4.

Poprečni presjeci svih elemenata su pravokutni:

• grede 2- 3 i 3- 4: b₁ = 36  cm, h₁ = 80  cm;
• stupovi 2- 6 i 4- 8: b₂ = 72  cm, h₂ = 80  cm;
• kosi stup 3- 7: b₃ = 90  cm, h₃ = 80  cm.

Karakteristike gradiva su E = 3 ^. 10⁷  kN/m² za sve elemente i $\alpha_{t}^{}$ = 10^-5  K^-1 za stup  4- 8.

Za rješavanje zadatka pomoću inženjerske metode pomaka nepoznanice su:

• kut zaokreta čvora  3: $\varphi_{3}^{}$;
• kut zaokreta čvora  4: $\varphi_{4}^{}$;
• translacijski pomak grede 1- 2- 3- 4- 5: u.

Momenti tromosti greda i stupova su: I₁ = 0, 01536  m⁴, I₂ = 0, 03072  m⁴, I₃ = 0, 03840  m⁴. Odaberemo li E₀I₀ = EI₁, proračunske fleksijske krutosti bit će: k₂₃ = ${\dfrac{{EI_1}}{{l_{23}EI_1}}}$ = ${\frac{{1}}{{2}}}$, k₃₄ = ${\dfrac{{EI_1}}{{l_{34}EI_1}}}$ = ${\frac{{1}}{{5}}}$, k₂₆ = ${\dfrac{{EI_2}}{{l_{26}EI_1}}}$ = ${\frac{{1}}{{2}}}$, k₃₇ = ${\dfrac{{EI_3}}{{l_{37}EI_1}}}$ = ${\frac{{1}}{{2}}}$, k₄₈ = ${\dfrac{{EI_2}}{{l_{48}EI_1}}}$ = ${\frac{{1}}{{2}}}$. Za izračunavanje momenata upetosti potrebne su i (stvarne) krutosti k₃₄^* = ${\dfrac{{EI_1}}{{l_{34}}}}$ = 92160, 0 kNm, k₃₇^* = ${\dfrac{{EI_3}}{{l_{37}}}}$ = 230400, 0 kNm, k₄₈^* = ${\dfrac{{EI_2}}{{l_{48}}}}$ = 230400, 0 kNm.

Moment u čvoru  2 konzolne istake  1- 2 je M₂₁ = - K₁ ^. l₁₂ = - 80 kN. Iz ravnoteže momenata u čvoru  2 slijedi da je M₂₃ = - M₂₁ = 80 kN, pa će moment upetosti na upetom kraju jednostrano upete grede  2- 3 biti $\overline{{M}}_{{32}}^{}$ = ${\frac{{1}}{{2}}}$ M₂₃ = 40 kN.

Na obostrano upetoj gredi 3- 4 momenti upetosti nastaju zbog djelovanja sile K₂ i zbog vertikalnog pomaka čvora 4 do kojeg dolazi zbog skraćenja stupa 4- 8 zbog djelovanja temperature t_s. To je skraćenje $\delta_{{t_s}}^{}$ = $\alpha_{t}^{}$ ^. t_s ^. l₄₈ = 10^{-5 .} (- 10) ^. 4 = - 4 ^. 10^-4 m, pa će vertikalni pomak čvora 4 biti $\bar{v}_{{43}}^{}$ = $\delta_{{t_s}}^{}$. Greda 3- 4 se (u zglobnoj shemi⁶) zbog pomaka $\bar{v}_{{43}}^{}$ zakreće za kut $\bar{\psi}_{{34}}^{}$ = $\bar{v}_{{43}}^{}$/l₃₄ = - ${\frac{{4}}{{5}}}$ ^. 10^-4. Momenti upetosti su:

$$\overline{{M}}_{{34}}^{} {\dfrac{{K_2 a b^2}}{{l_{34}^2}}} \bar{\psi}_{{34}}^{} {\dfrac{{150\cdot 3 \cdot 4}}{{25}}} {\frac{{4}}{{5}}}$$

$$\overline{{M}}_{{34}}^{} {\dfrac{{K_2 a^2 b}}{{l_{34}^2}}} \bar{\psi}_{{34}}^{} {\dfrac{{150\cdot 2 \cdot 9}}{{25}}}$$

Na obostrano upetoj gredi 3- 7 momenti upetosti nastaju zbog zaokreta temelja za kut $\varphi_{t}^{}$:

$$\overline{{M}}_{{37}}^{} \varphi_{t}^{}$$

$$\overline{{M}}_{{73}}^{} \varphi_{t}^{}$$

U čvoru 4 jednostrano upete grede 4- 8 moment upetosti nastaje zbog horizontalnog pomaka ležaja 8. Greda 4- 8 se (u zglobnoj shemi⁷) zakreće za kut $\bar{\psi}_{{48}}^{}$ = $\Delta$h/l₄₈ = 0, 0005/4 = 1, 25 ^. 10^-4, pa je moment upetosti

$$\overline{{M}}_{{48}}^{}$$ = - 3 ^. k₄₈^{* .} $$\bar{\psi}_{{48}}^{}$$ = - 3 ^. 230400, 0 ^. 1, 25 ^. 10⁴ = - 86, 40 kNm.

Ukupni su momenti M_ij na krajevima elemenata zbroj momenata upetosti $\overline{{M}}_{{ij}}^{}$ i momenata m_ij zbog zaokreta i pomaka njihovih čvorova:

M_ij = m_ij + $$\overline{{M}}_{{ij}}^{}$$.

Pomake čvorova v_ij treba izraziti kao funkcije translacijskog pomaka u. U prikazanom planu pomaka na zglobnoj shemi, za u = 1,

očitavamo:⁸

v23(u = 1) = 0,		v32(u = 1) = 3/4,		$\psi_{{23}}^{}$(u = 1) = - ${\dfrac{{v_{23}(u\!=\!1) - v_{32}(u\!=\!1)}}{{l_{23}}}}$ = - ${\tfrac{{0 - 3/4}}{{2}}}$ = 3/8;
v34(u = 1) = 3/4,		v43(u = 1) = 0,		$\psi_{{34}}^{}$(u = 1) = - ${\dfrac{{v_{34}(u\!=\!1) - v_{43}(u\!=\!1)}}{{l_{34}}}}$ = - ${\tfrac{{3/4 - 0}}{{5}}}$ = - 3/20;
v26(u = 1) = 1,		v62(u = 1) = 0,		$\psi_{{62}}^{}$(u = 1) = - ${\dfrac{{v_{26}(u\!=\!1) - v_{62}(u\!=\!1)}}{{l_{26}}}}$ = - ${\tfrac{{1-0}}{{4}}}$ = - 1/4;
v37(u = 1) = 5/4,		v73(u = 1) = 0,		$\psi_{{37}}^{}$(u = 1) = - ${\dfrac{{v_{37}(u\!=\!1) - v_{73}(u\!=\!1)}}{{l_{37}}}}$ = - ${\tfrac{{5/4 - 0}}{{5}}}$ = - 1/4;
v48(u = 1) = 1,		v84(u = 1) = 0,		$\psi_{{48}}^{}$(u = 1) = - ${\dfrac{{v_{48}(u\!=\!1) - v_{84}(u\!=\!1)}}{{l_{48}}}}$ = - ${\tfrac{{1-0}}{{4}}}$ = - 1/4.

Izrazi za momente na krajevima grednih elemenata sada su:

M₂₁ = - 80,

M₂₃ = 80,

$$\varphi_{3}^{} \psi_{{23}}^{} \overline{{M_{23}}}$$ M₃₂

$${\tfrac{{1}}{{2}}} \varphi_{3}^{} {\tfrac{{1}}{{2}}} {\tfrac{{3}}{{8}}}$$

$${\tfrac{{3}}{{2}}} \varphi_{3}^{} {\tfrac{{9}}{{16}}}$$

$$\varphi_{3}^{} \varphi_{4}^{} \psi_{{34}}^{} \overline{{M_{34}}}$$ M₃₄

$${\tfrac{{1}}{{5}}} \varphi_{3}^{} {\tfrac{{1}}{{5}}} \varphi_{4}^{} {\tfrac{{1}}{{5}}} \bigl( {\tfrac{{3}}{{20}}} \bigr)$$

$${\tfrac{{4}}{{5}}} \varphi_{3}^{} {\tfrac{{2}}{{5}}} \varphi_{4}^{} {\tfrac{{9}}{{50}}}$$

$$\varphi_{3}^{} \varphi_{4}^{} \psi_{{34}}^{} \overline{{M_{43}}}$$ M₄₃

$${\tfrac{{1}}{{5}}} \varphi_{3}^{} {\tfrac{{1}}{{5}}} \varphi_{4}^{} {\tfrac{{1}}{{5}}} \bigl( {\tfrac{{3}}{{20}}} \bigr)$$

$${\tfrac{{2}}{{5}}} \varphi_{3}^{} {\tfrac{{4}}{{5}}} \varphi_{4}^{} {\tfrac{{9}}{{50}}}$$

M₄₅ = - M = 60,

$$\varphi_{6}^{} \psi_{{26}}^{} \overline{{M}}_{{26}}^{}$$ M₆₂

$${\tfrac{{1}}{{2}}} \bigl( {\tfrac{{1}}{{4}}} \bigr)$$

$${\tfrac{{3}}{{8}}}$$

$$\varphi_{3}^{} \varphi_{7}^{} \psi_{{37}}^{} \overline{{M_{37}}}$$ M₃₇

$${\tfrac{{1}}{{2}}} \varphi_{3}^{} {\tfrac{{1}}{{2}}} \bigl( {\tfrac{{1}}{{4}}} \bigr)$$

$$\varphi_{3}^{} {\tfrac{{3}}{{4}}}$$

$$\varphi_{3}^{} \varphi_{7}^{} \psi_{{37}}^{} \overline{{M_{73}}}$$ M₇₃

$${\tfrac{{1}}{{2}}} \varphi_{3}^{} {\tfrac{{1}}{{2}}} \bigl( {\tfrac{{1}}{{4}}} \bigr)$$

$$\varphi_{3}^{} {\tfrac{{3}}{{4}}}$$

$$\varphi_{4}^{} \psi_{{48}}^{} \overline{{M_{48}}}$$ M₄₈

$${\tfrac{{1}}{{2}}} \varphi_{4}^{} {\tfrac{{1}}{{2}}} \bigl( {\tfrac{{1}}{{4}}} \bigr)$$

$${\tfrac{{3}}{{2}}} \varphi_{4}^{} {\tfrac{{3}}{{8}}}$$

Jednadžbe ravnoteže momenata u čvorovima 3 i 4 su:

$$\sum\limits_{{i}}^{} \Longrightarrow \varphi_{3}^{} \varphi_{4}^{}$$

$$\sum\limits_{{i}}^{} \Longrightarrow \varphi_{3}^{} \varphi_{4}^{}$$

dok je jednadžba virtualnog rada:

$$\sum\limits_{{\{ik\}}}^{}$$(M_ik$$\psi_{{ik}}^{}$$) + K₁ ^. $$\delta_{1}^{}$$ + K₂ ^. $$\delta_{2}^{}$$ + M$$\psi_{{45}}^{}$$ = 0,

odnosno,

$$\left[\vphantom{ M_{32} \psi_{32} + (M_{34} + M_{43} ) \psi_{34} ... ...si_{45} + M_{62}\psi_{62} + (M_{37}+M_{73})\psi_{37} + M_{48}\psi_{48} }\right. \psi_{{32}}^{} \psi_{{34}}^{} \psi_{{45}}^{} \psi_{{62}}^{} \psi_{{37}}^{} \psi_{{48}}^{} \left.\vphantom{ M_{32} \psi_{32} + (M_{34} + M_{43} ) \psi_{34} ... ...si_{45} + M_{62}\psi_{62} + (M_{37}+M_{73})\psi_{37} + M_{48}\psi_{48} }\right]$$

$${\frac{{3}}{{8}}} \left(\vphantom{ -\tfrac{2}{5}\cdot \tfrac{3}{4} }\right. {\tfrac{{2}}{{5}}} {\tfrac{{3}}{{4}}} \left.\vphantom{ -\tfrac{2}{5}\cdot \tfrac{3}{4} }\right) \psi_{{45}}^{}$$

$$\varphi_{{3}}^{} \varphi_{4}^{}$$

Te tri jednadžbe tvore simetrični sustav s tri nepoznanice:

$$\varphi_{3}^{} \varphi_{4}^{}$$

$$\varphi_{3}^{} \varphi_{4}^{}$$

$$\varphi_{3}^{} \varphi_{4}^{}$$

čije je rješenje:

$$\varphi_{3}^{}$$ = - 33, 0234,            $$\varphi_{4}^{}$$ = 32, 5979,            u = 51, 1607,

pa su konačni momenti na krajevima grednih elemenata:

M₃₂ = - 38, 31  kNm,

M₃₄ = 112, 07  kNm,

M₄₃ = - 41, 68  kNm,

M₆₂ = 19, 18  kNm,

M₃₇ = - 73, 76  kNm,

M₇₃ = - 86, 81  kNm,

M₄₈ = - 18, 32  kNm,

a traženi je momentni dijagram:

... shemi⁶

Plan pomaka crtamo na zglobnoj shemi u kojoj su spriječeni translacijski pomak u i pomak ležaja $\Delta$h, a omogućen je pomak  $\bar{v}_{{43}}^{}$.

... shemi⁷

Sada plan pomaka crtamo na zglobnoj shemi u kojoj su spriječeni translacijski pomak u i pomak  $\bar{v}_{{43}}^{}$, a omogućen je pomak $\Delta$h.

...očitavamo:⁸

Ishodišta lokalnih koordinatnih sustava na pojedinim elementima uvijek su u čvorovima s manjim brojem -- npr. na elementu 2- 6 ishodište je u čvoru  2.