Odrediti dijagram momenata na nosaču sa slike za K = 100 kN.
U proračunu po inženjerskoj metodi pomaka nepoznanice su kut zaokreta
čvora
2, , i horizontalni (translacijski) pomak grede
1-
2-
3, u. Dodavanjem (zamišljenih) veza koje
sprečavaju zaokret čvora i
translacijski pomak nastaje osnovni sistem sastavljen od jednostrano
upetih greda
1-
2 i
2-
3 te obostrano upete grede
2-
4.
Kako sila K djeluje u čvoru
2, svi su momenti upetosti jednaki
nuli, pa su (konačni) momenti Mij na krajevima grednih elemenata
jednaki momentima mij za stanje slobodnih pomaka, koji
nastaju zbog zaokreta čvora
2, te zbog pomaka
krajeva elemenata pri translacijskom pomaku u (uz spriječene zaokrete
čvorova):
Mij = mij.
Označimo li komponente pomaka čvorova i i j elementa i-j na pravcima okomitim na njegovu os sa vij i vji, tada je, za obostrano upetu gredu,
Za jednostrano upetu gredu, sa zglobom u čvoru j, je:
Pomake vij, odnosno, kuteve zaokreta
treba izraziti kao funkcije (neovisnoga) translacijskog pomaka
u. Crtamo stoga plan pomaka zglobne sheme za u = 1:
Iz crteža možemo očitati:
v12(u = 1) = 0, |
v21(u = 1) = - ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
||
v23(u = 1) = - ![]() |
v32(u = 1) = 0, |
![]() ![]() ![]() ![]() |
||
v42(u = 1) = 0, |
v24(u = 1) = - ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
Predznaci pomaka ovise o izboru lokalnog koordinatnog sustava
na elementu. Stoga smo ishodište lokalnoga koordinatnog sustava
elementa
1-
2 odabrali u čvoru
1, elementa
2-
3 u
čvoru
2, a elementa
2-
4 u čvoru
4.
Predznaci kutevi zaokreta, s druge strane, ne ovise o lokalnom
koordinatnom sustavu; primjerice, stavimo li na elementu
2-
4
ishodište u čvor
2, bit će
v24(u = 1) = i
v42(u = 1) = 0,
pa je
(u = 1) = -
= = -
, dakle, ponovo
(u = 1) = -
.
Ako su
vij(u = 1) i
(u = 1) pomak i kut
zaokreta koji nastaju pri translacijskom pomaku u = 1, tada su pri
općem pomaku u pomak i kut zaokreta
vij = vij(u = 1) . u i
=
(u = 1) . u.
Momente na krajevima grednih elemenata možemo sada izraziti kao
funkcije kuta zaokreta i translacijskog pomaka u:
M21 | = 3 k21 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
M23 | = 3 k23 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
M24 | = 4 k24 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
M42 | = 2 k24 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Na kraju smo uvrstili i proračunske koeficijente fleksijske krutosti: k12 = 1/3, k23 = 1/3, k24 = 2/5. Kako u ovom primjeru nisu zadani prisilni pomaci ni promjene temperature, ne treba poznavati stvarne vrijednosti modula elastičnosti i momenata tromosti; važan je samo njihov omjer, odnosno, omjer krutosti kij.
Uvjet ravnoteže momenata u čvoru 2 (odnosno, uvjet iščezavanja reakcije u zamišljenoj vezi koja sprečava rotaciju),
Druga jednadžba može se izvesti iz uvjeta iščezavanja reakcije u zamišljenoj vezi koja sprečava translacijski pomak, drugim riječima, iz uvjeta ravnoteže horizontalnih sila. Često je, međutim, drugu jednadžbu lakše izvesti primjenom teorema o virtualnim pomacima. Iz jednadžbe (virtualnog) rada na pomacima i deformacijama pri virtualnom pomaku u = 1:
Sustav jednadžbi za određivanje i u je, dakle:
![]() ![]() ![]() |
||
![]() ![]() ![]() |
M21 | = 19, 23 kNm | |
M23 | = - 96, 15 kNm | |
M24 | = 76, 92 kNm | |
M42 | = 107, 69 kNm |