Primjer 1.

Odrediti momentni dijagram na zadanom kontinuiranom nosaču.

Neka su E = 3 ^. 10⁷  kN/m² i $\alpha_{t}^{}$ = 10^-5  K^-1. Poprečni presjek greda vanjskih polja neka je b/h = 24/60  (cm).

Vanjska su djelovanja: K₁ = K₂ = 90  kN, q = 60  kN/m' te $\Delta$t = 10^oC i $\Delta$v = 1  mm.

Kontinuirani je nosač nosač bez neovisnih translacijskih pomaka, pa su nepoznanice u inženjerskoj metodi pomaka samo kutovi zaokreta čvorova 2 i  3: $\varphi_{2}^{}$ i $\varphi_{3}^{}$. (U čvorovima 1 i  4 momenti su poznati, pa zaokrete tih čvorova ne smatramo nepoznanicama.)

Osnovni sistem za metodu pomaka nastat će dodavanjem veza koje sprečavaju nepoznate zaokrete. Time se zadani nosač `raspada' na obostrano upetu gredu 2- 3 te na jednostrano upete grede 1- 2 i  3- 4.

U obzir, naravno, treba uzeti i prepust 4- 5, odnosno, opterećenje na njemu. Utjecaj tog opterećenja `prenosi' se na gredu  3- 4 te u proračun ulazi kao dio momenta upetosti $\overline{{M}}_{{34}}^{}$. Sila K₂ na kraju prepusta daje konzolni moment⁴ M₄₅ = K₂ ^. l₄₅ = 90 kNm. Uvjet ravnoteže momenata u čvoru  4 daje M₄₃ = - 90 kNm. Djeluje li nad zglobnim ležajem jednostrano upete grede koncentrirani moment M, u upetom će ležaju moment biti  ${\frac{{1}}{{2}}}$ M (pokažite to metodom sila), pa je, stoga, $\overline{{M}}_{{34}}^{}$(K₂) = - ${\frac{{1}}{{2}}}$ M₄₃ = - 45  kNm.

Na gredi 3- 4 djeluje i nejednolika temperatura (po visini poprečnog presjeka). Doprinos te promjenjive temperature momentu upetosti je $\overline{{M}}_{{34}}^{}$($\Delta$t) = - ${\frac{{3}}{{2}}}$ EI ${\frac{{\alpha_t \Delta t}}{{h}}}$ = - 32, 4  kNm (za zadani je poprečni presjek I = 0, 00432  m⁴), te je ukupni moment upetosti

$$\overline{{M}}_{{34}}^{} \overline{{M}}_{{34}}^{} \overline{{M}}_{{34}}^{} \Delta$$

$${\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{3}}{{2}}} {\frac{{\alpha_t \Delta t}}{{h}}}$$ = - 45, 0 - 32, 4 = - 77, 4  kNm.

Na gredu 1- 2 djeluje sila K₁ (sa a i b označit ćemo udaljenosti od ležaja  1 do hvatišta sile i od hvatišta sile do ležaja  2), a zadan je i prisilni vertikalni pomak ležaja  1, pa je

$$\overline{{M}}_{{21}}^{} \overline{{M}}_{{21}}^{} \overline{{M}}_{{21}}^{} \Delta$$

$$\left[\vphantom{-\frac{K_1 a^2 b}{l_{12}^2} - \frac{1}{2} \frac{K_1 a b^2}{l_{12}^2}}\right. {\frac{{K_1 a^2 b}}{{l_{12}^2}}} {\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{K_1 a b^2}}{{l_{12}^2}}} \left.\vphantom{-\frac{K_1 a^2 b}{l_{12}^2} - \frac{1}{2} \frac{K_1 a b^2}{l_{12}^2}}\right] {\frac{{\Delta v}}{{\l _{12}^2}}}$$ = - 40, 0 - 43, 2 = - 83, 2  kNm.

Momenti upetosti na obostrano upetoj gredi 2- 3 su:

$$\overline{{M}}_{{23}}^{} \overline{{M}}_{{23}}^{} {\frac{{11 q l_{23}^2}}{{192}}}$$

$$\overline{{M}}_{{32}}^{} \overline{{M}}_{{32}}^{} {\frac{{5 q l_{23}^2}}{{192}}}$$

Osnovni se sistem, zbog dodanih veza koje sprečavaju zaokrete čvorova, ne ponaša jednako kao i zadani. Treba stoga na osnovnom sistemu zadati `prisilne' zaokrete čvorova koji će odgovarati onima u zadanom sistemu. Momenti koje u priključenim gredama izazovu ti zaokreti uravnotežuju razliku momenata upetosti u pojedinim čvorovima -- kuteve zaokreta možemo, dakle, izračunati iz jednadžbi ravnoteže momenata u čvorovima.

Zaokreti čvorova i i j za kuteve $\varphi_{i}^{}$ i $\varphi_{j}^{}$ uzrokuju u čvorovima obostrano upete grede momente

$$\varphi_{i}^{} \varphi_{j}^{}$$ m_ij^*

$$\varphi_{i}^{} \varphi_{j}^{}$$ m_ji^*

a zaokret upetog čvora i jednostrano upete grede za kut $\varphi_{i}^{}$ uzrokuje u tom čvoru moment

m_ij^* = 3 k_ij^* $$\varphi_{i}^{}$$,

gdje je k_ij^* = ${\dfrac{{E_{ij} I_{ij}}}{{l_{ij}}}}$.

Umjesto stvarnih krutosti k_ij^* uvodimo proračunske vrijednosti k_ij = ${\dfrac{{k_{ij}^*}}{{E_0I_0}}}$. Za E₀I₀ biramo veličine koje se najčešće pojavljuju; u ovom je primjeru jednostavno E₀I₀ = EI, pa su proračunske krutosti k₁₂ = 1/l₁₂ = 1/3, k₂₃ = 2/l₂₃ = 1/2, k₃₄ = 1/l₃₄ = 1/3.

Ukupni momenti na krajevima grednih elemenata zbroj su momenata od zaokreta čvorova i momenata upetosti:

$$\varphi_{2}^{} \overline{{M}}_{{21}}^{} \varphi_{2}^{}$$ M₂₁

$$\varphi_{2}^{} \varphi_{3}^{} \overline{{M}}_{{23}}^{} \varphi_{2}^{} \varphi_{3}^{}$$ M₂₃

$$\varphi_{2}^{} \varphi_{3}^{} \overline{{M}}_{{32}}^{} \varphi_{2}^{} \varphi_{3}^{}$$ M₃₂

$$\varphi_{3}^{} \overline{{M}}_{{34}}^{} \varphi_{3}^{}$$ M₃₄

Uvrštavanje u jednadžbe ravnoteže momenata u čvorovima  2 i  3:

$$\sum_{i}^{}$$ = M₂₁ + M₂₃ = 0,

$$\sum_{i}^{}$$ = M₃₂ + M₃₄ = 0,

daje sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice:

$$\varphi_{2}^{} \varphi_{3}^{}$$

$$\varphi_{2}^{} \varphi_{3}^{}$$

čije je rješenje:

$$\varphi_{2}^{}$$ = - 2, 225,                $$\varphi_{3}^{}$$ = 34, 875.

Koeficijenti u jednadžbama nastali su zbrajanjem proračunskih, a ne stvarnih krutosti, pa izračunate vrijednosti $\varphi_{2}^{}$ i $\varphi_{3}^{}$ nisu stvarni kutevi zaokreta.⁵ Međutim, kako su i u izrazima () za momente na krajevima elemenata proračunske vrijednosti k_ij, uvrštavanje izračunatih veličina $\varphi_{2}^{}$ i $\varphi_{3}^{}$ u te izraze daje stvarne veličine momenata:

M₂₁ = - 85, 425  kNm

M₂₃ = 85, 425  kNm

M₃₂ = 42, 525  kNm

M₃₄ = - 42, 525  kNm

te je konačni momentni dijagram

... moment⁴

Podsjećamo, moment na kraju grednog elementa M_ij pozitivan je ako djeluje u smjeru suprotnom od smjera vrtnje kazaljke na satu.

... zaokreta.⁵

Stvarni su kutevi zaokreta: $\varphi_{2}^{*}$ = ${\dfrac{{\varphi_2}}{{EI}}}$ i $\varphi_{3}^{*}$ = ${\dfrac{{\varphi_3}}{{EI}}}$.