Primjer 4.

Grafičkim postupkom konstruirati momentni dijagram ako je K₁ = 3 ^. K₂.

Slijedit ćemo osnovne korake grafoanalitičkog postupka i momentni dijagram konstruirati superpozicijom dijagrama prema izrazima

M(x) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} M^0(x) - Z_2 \cdot y_2 (x)... ... M^0(x) - Z_3 \cdot y_3 (x), & x_H \leq x \leq x_I, \\ \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{ll} M^0(x) - Z_2 \cdot y_2 (x), & x_F \leq x \leq ... ...x_H, \\ M^0(x) - Z_3 \cdot y_3 (x), & x_H \leq x \leq x_I, \\ \end{array}$$

gdje su:

M(x)

moment na gredi zadanog nosača u presjeku s apscisom x;

M⁰(x)

moment na zamjenjujućoj gredi u presjeku x;

Z_k ^. y_k(x)

moment sile Z_k u zategi k, k $\in$ {1, 2, 3}, oko težišta presjeka x grede zadanog nosača; krak y_k(x) vertikalna je udaljenost od zatege k do težišta presjeka.

Dijagram M⁰ na zamjenjujućoj gredi, koji se u grafoanalitičkom postupku određuje analitički, konstruirat ćemo u ovom primjeru grafički. `Zamjenjujuća' je greda greda s prepustima. Dijagram momenata na toj je gredi, kao što znamo, afino pridružen verižnom poligonu.

`Izravnavanje' verižnoga poligona daje dijagram  M⁰ u mjerilu koje ovisi o odabranoj polnoj udaljenosti. Od tog dijagrama treba sada oduzeti dijagram  M^Z, sastavljen od tri segmenta koji nastaju afinim preslikavanjima grede zadanoga nosača.³

Afina preslikavanja zadana su silama u zategama, M^Z_k(x) = Z_k ^. y_k(x), pa su u polju nosača pravci pripadnih zatega osi tih preslikavanja, dok je u polju momenata os uvijek nulta linija momenata: Z_k ^. 0 = 0.

Da bismo mogli započeti konstrukciju afine slike, moramo, osim osi, znati i par pridruženih točaka. Na konačnom dijagramu mora biti M_C = 0, odnosno M⁰_C = Z₁ ^. y₁(x_C), pa je afino preslikavanje y₁(x) $\mapsto$ M^Z₁(x), M^Z₁(x) = Z₁ ^. y₁(x), mjerodavno za dio grede između točaka G i H, na kojem leži zglob C, zadano pridruženim točkama C i M⁰_C. Slika dijela grede između G i H leži na pravcu koji, osim točkom M⁰_C, prolazi projekcijom sjecišta pravca grede i pravca zatege  1 na nultu liniju momenata. (Slika: Sljedeći korak)

Konstrukcijom slike dijela G- H dobili smo i parove pridruženih točaka koji određuju druga dva preslikavanja. Naime, budući da na zadanom nosaču momenti u gredi neposredno lijevo i neposredno desno od točke G moraju biti međusobno jednaki (što slijedi iz uvjeta ravnoteže čvora G -- naime, zbog zglobnog priključka stupa na gredu, moment je na vrhu stupa jednak nuli), točka G i njoj pridružena točka, označena sa M^Z_G, čine ujedno par pridruženih točaka u preslikavanju y₂(x) $\mapsto$ M^Z₂(x), M^Z₂(x) = Z₂ ^. y₂(x). Točka F sjecište je pravca grede i pravca zatege  2, pa slika dijela grede između točaka F i G, nastala tim preslikavanjem, leži na spojnici projekcije točke F na nultu liniju momenata s točkom M^Z_G.

Na sličan ćemo način konstruirati i sliku dijela grede između točaka H i I, koja nastaje preslikavanjem y₃(x) $\mapsto$ M^Z₃(x), M^Z₃(x) = Z₃ ^. y₃(x). Iz uvjeta ravnoteže čvora H slijedi da su momenti u gredi neposredno lijevo i desno od njega međusobno jednaki, pa su točka H i njena slika M^Z_H u preslikavanju y₁(x) $\mapsto$ M^Z₁(x) pridružene i u preslikavanju y₃(x) $\mapsto$ M^Z₃(x). Projekcija točke I, sjecišta grede i zatege  3, na nultu liniju momenata, druga je točka koja određuje sliku dijela grede između H i I.

Time smo završili grafičku konstrukciju momentnog dijagrama na gredi F- I, te ga možemo prenijeti os te grede. (Slika: Sljedeći korak)

U desnom stupu nema momenata savijanja. Naime, reakcija je u ležaju B vertikalna, pa na dijelu B- J postoji samo uzdužna sila. Kad horizontalne komponente sila Z₁ i Z₃ ne bi po iznosu bile jednake, a suprotno usmjerene, pojavili bi se iznad čvora J moment i poprečna sila. Kako, međutim, na vrhu stupa, u zglobu H, moment mora biti jednak nuli, a između točaka J i H nema vanjskih poprečnih djelovanja, zaključujemo da su na cijelom tom dijelu moment i poprečna sila jednaki nuli.

Kako je i reakcija u ležaju A vertikalna, na dijelu lijevoga stupa između točaka A i D nema momenta ni poprečne sile, no, oni će se iznad točke D, zbog horizontalne komponente sile Z₂ u zategi  2, pojaviti. Moment će se između točaka D i E linearno mijenjati od vrijednosti nula do M_E. Da bismo mogli odrediti moment M_E, moramo poznavati horizontalnu komponentu sile Z₂ (ili sile Z₁ u zategi 1). Presiječemo li zategu  2 i gredu nosača neposredno lijevo od točke G, iz uvjeta ravnoteže dijela F- G dobivamo Z₂^v = M_G/1 (vrijednost M_G očitavamo iz momentnog dijagrama), pa možemo izračunati i Z₂^h.

... nosača.³

Konstrukciju možemo nastaviti i na dobivenom verižnom poligonu uzmemo li u obzir da nultu liniju momenata čine stranice 3 i  2. Preglednosti i jasnoće prikaza radi, `izravnali' smo dijagram, iako pri prenošenju veličina na crtežu često dolazi do stanovite grafičke pogreške.