Primjer 2.

Na zadanom nosaču grafički odrediti reakcije ako je K = 100  kN.

Osi štapova 1, 2 i 3 pravci su na kojima djeluju reakcije $\vec{{R}}_{1}^{}$, $\vec{{R}}_{2}^{}$ i $\vec{{R}}_{3}^{}$. Zadanu silu $\vec{{K}}$ trebamo, dakle, uravnotežiti s tri sile kojima su poznati pravci djelovanja.

(Crtež zadanog nosača, u mjerilu duljina, u kojem određujemo pravce djelovanja sila, nazivamo poljem sila. Iznose sila i njihove smjerove određujemo u poligonu sila, crtanom u mjerilu sila.)

1. postupak: uravnoteženje triju sila

Pravci djelovanja reakcija $\vec{{R}}_{1}^{}$ i $\vec{{R}}_{2}^{}$ sijeku se u točki  A, te će kroz tu točku proći pravac rezultante tih reakcija, koju ćemo označiti sa $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$.

Zadatak smo time sveli na problem uravnoteženja triju sila: $\vec{{K}}$, $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$ i $\vec{{R}}_{3}^{}$. Pritom poznajemo: iznos, pravac i smjer djelovanja jedne sile ($\vec{{K}}$), pravac djelovanja druge sile ($\vec{{R}}_{3}^{}$ na osi štapa 3), te jednu točku kroz koju prolazi pravac treće sila ( $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$ kroz  A). Znamo da su tri sile u ravnini u ravnoteži samo ako pravci na kojima djeluju prolaze kroz istu točku.¹ (Poznato je iz projektivne geometrije da paralelni pravci prolaze zajedničkom beskonačno dalekom točkom.) Pravac sile $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$ mora, stoga, prolaziti kroz točku  B u kojoj se sijeku pravci sile $\vec{{K}}$ i reakcije $\vec{{R}}_{3}^{}$. Zaključujemo da je taj pravac određen točkama A i  B.

Budući da sada znamo pravce s kojima su paralelne stranice trokuta sila (pravci djelovanja sila $\vec{{K}}$, $\vec{{R}}_{{3}}^{}$, $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$) i duljinu jedne njegove stranice (iznos sile $\vec{{K}}$), možemo taj trokut konstruirati (drugim riječima, silu $\vec{{K}}$ uravnotežiti silama $\vec{{R}}_{3}^{}$ i $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$), te odrediti smjerove sila $\vec{{R}}_{3}^{}$ i $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$. Silu $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$ rastavljamo potom na sličan način na komponente $\vec{{R}}_{1}^{}$ i $\vec{{R}}_{2}^{}$. (Obratite pozornost na smjerove djelovanja sila -- silu $\vec{{K}}$ uravnotežujemo silama $\vec{{R}}_{3}^{}$ i $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$; za razliku od toga, silu $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$ rastavljamo na $\vec{{R}}_{1}^{}$ i $\vec{{R}}_{2}^{}$.) Na kraju iz tako dobivenog poligona sila očitavamo, u iskazanom mjerilu ( 1 cm : : 25 kN), iznose sila: R₁ = 49  kN, R₂ = 52 kN, R₃ = 53 kN. (Riješite zadatak i analitičkim postupkom. Očitani iznosi reakcija razlikuju se od analitičkih rezultata zbog nepreciznosti grafičke konstrukcije.)

2. postupak: pomoću Culmannovog pravca

Rješavanje i sada započinjemo određivanjem točke  A kroz koju prolazi pravac rezultante $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$ = $\vec{{R}}_{1}^{}$ + $\vec{{R}}_{2}^{}$. S druge strane, pravac rezultante sile $\vec{{K}}$ i reakcije $\vec{{R}}_{3}^{}$ (označimo je sa $\vec{{R}}_{{K,3}}^{}$) prolazi kroz točku  B u kojoj se sijeku pravci djelovanja tih dviju sila.

Dvije su sile, kao što znamo, u ravnoteži ako leže na istom pravcu te ako su jednakoga iznosa i suprotnoga smjera djelovanja. Rezultante $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$ i $\vec{{R}}_{{K,3}}^{}$ moraju, stoga, obje ležati na pravcu određenom točkama A i  B; taj pravac nazivamo Culmannovim pravcem.

Sada imamo sve potrebne geometrijske podatke za konstrukciju trokuta sila sa stranicama $\vec{{K}}$, $\vec{{R}}_{{3}}^{}$ i $\vec{{R}}_{{K,3}}^{}$. (Smjerovi sila $\vec{{R}}_{{3}}^{}$ i $\vec{{R}}_{{K,3}}^{}$ određeni su izrazom $\vec{{R}}_{{K,3}}^{}$ = $\vec{{K}}$ + $\vec{{R}}_{{3}}^{}$.) Za rezultantu $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$ vrijedi $\vec{{R}}_{{1,2}}^{}$ = - $\vec{{R}}_{{K,3}}^{}$; kao u prethodnom postupku, rastavljamo je na komponente $\vec{{R}}_{1}^{}$ i $\vec{{R}}_{2}^{}$.

(Usporedba opisanih postupaka pokazuje da se u stvari radi o dvije interpretacije iste grafičke konstrukcije.)

... točku.¹

Prisjetite se razlike između matematičkih fraza samo ako i ako.