2.2.7. Projiciranje ravnine

Tragovi ravnine

Pored tri koordinatne ravnine \(\small (\Pi_1,\Pi_2,\Pi_3)\), koje su ravnine projekcije, ističemo još tri vrste ravnina koje su u posebnom položaju za Mongeovo projiciranje. To su:

• 1. projicirajuća ravnina – svaka ravnina okomita na \(\small \Pi_1\)
• 2. projicirajuća ravnina – svaka ravnina okomita na \(\small \Pi_2\)
• 3. projicirajuća ravnina – svaka ravnina okomita na \(\small \Pi_3\).

Ako neka ravnina nije projicirajuća, ona se u tlocrtu, nacrtu i bokocrtu projicira redom u cijelu ravninu \(\small \Pi_1\), \(\small \Pi_2\) i \(\small \Pi_3\).

Stoga za prikaz ravnine u Mongeovom projiciranju moramo istaknuti neke njezine posebne linije, a to će biti njezine presječnice s ravninama projekcije koje nazivamo tragovima ravnine. Ravnine ćemo (kao što smo spomenuli u uvodu) označavati velikim grčkim slovima, a njihove tragove odgovarajućim malim latinskim slovima (primjerice \(\small \mathrm A\leftrightarrow a\), \(\small \mathrm B\leftrightarrow b\), \(\small \Gamma\leftrightarrow g,\Delta\leftrightarrow d\), \(\small \mathrm P\leftrightarrow r\), \(\small \Sigma\leftrightarrow s\)).

Neka je \(\small\mathrm P\) neka ravnina prostora, tada

• pravac \(\small r_1 = \mathrm P\cap\Pi_1\) nazivamo njenim 1. tragom, \(\small (r_1'' = x,\,\, r_1''' = y)\)
• pravac \(\small r_2 = \mathrm P\cap\Pi_2\) nazivamo njenim 2. tragom, \(\small (r_2' = x,\,\, r_2''' = z)\)
• pravac \(\small r_3 = \mathrm P\cap\Pi_3\) nazivamo njenim 3. tragom, \(\small (r_3' = y,\,\, r_3'' = z)\).

Zadavanje ravnine u koordinatnom sustavu s tri broja

Svaku ravninu, koja ne prolazi ishodištem \(\small O\) koordinatnog sustava \(\small O(x,y,z)\), osi tog sustava probadaju u tri točke:

• \(\small X=x\cap\mathrm P\), probodište osi \(\small x\) i ravnine \(\small \mathrm P\)
• \(\small Y=y\cap\mathrm P\), probodište osi \(\small y\) i ravnine \(\small \mathrm P\)
• \(\small Z=z\cap\mathrm P\), probodište osi \(\small z\) i ravnine \(\small \mathrm P\)

Označimo li koordinate tih točaka \(\small X=(\xi,0,0)\), \(\small Y=(0,\eta,0)\), \(\small Z=(0,0,\zeta)\), jasno je da položaj ravnine \(\small \mathrm P\) u prostoru, a time i njezine tragove u ravnini crteža, možemo jednoznačno odrediti pomoću trojke brojeva \(\small (\xi,\eta,\zeta)\), kao što je prikazano na slici 129.

Iz definicije tragova je jasno da se po dva traga uvijek sijeku na koordinatnim osima:

• \(\small r_1 \cap r_2 = X \in x\), \(\small \quad r_1 \cap r_3 = Y \in y\), \(\small \quad r_2 \cap r_3 = Z \in z\).

Na slici 130 je prikazan i način na koji ćemo, zbog preglednosti, ucrtavati tragove ravnine u Mongeovom projiciranju. Dakle, ako crtamo sva tri traga, punom ćemo linijom iscrtati one dijelove koje vidimo iz I. oktanta.

Ostale ćemo dijelove, ako ih trebamo, crtati izlomljenom linijom. U projekcijama to znači da ćemo primjerice 1. trag ravnine crtati punom linijom ispod osi \(\small x\) i desno od osi \(\small y'\). (Definirajte, na isti način, područja u kojima ćemo punom linijom iscrtati 2. i 3. trag ravnine).

U našim ćemo zadacima vrlo često, i gotovo uvijek kad to zadatak dozvoljava, koristiti samo dvije projekcije (najčešće tlocrt i nacrt). Pa, ako crtamo samo dva traga ravnine, punom ćemo linijom iscrtati dijelove koje vidimo iz I. kvadranta.

Zadatak 1: Nacrtajte i označite tragove ravnina \(\small \mathrm A(4,2,3),\,\,\mathrm B(3,2,-4),\,\,\Gamma (4,2,\infty),\,\,\Delta (4,\infty,2)\) i \(\small \mathrm E(\infty,4,2)\).

Zadatak 2: Nacrtajte i označite 1. i 2. tragove sljedećih ravnina: \(\small \Sigma(-4,2,5)\), \(\small \mathrm K (-4,-2,5)\), \(\small \Omega (-4,-2,-5)\), \(\small \Lambda (-4,-2,\infty) \), \(\small \Phi (-4,\infty,-5)\), \(\small \Psi (\infty,-2,-5)\), \(\small \mathrm Z (\infty,\infty,2)\), \(\small \mathrm T (\infty,2,\infty)\) i \(\small \Theta (2,\infty,\infty)\).

Vizualizacije promjene tragova

Animacija 11 prikazuje promjenu 2. i 3. traga ravnine, ako ona rotira oko svog 1. traga. Uočite da se 2. i 3. trag ravnine uvijek sijeku na osi \(\small z\).

Posebni položaji ravnina

Projicirajuće ravnine (ravnine prometalice)

Projicirajuće ravnine, nazvane i ravnine prometalice, su ravnine okomite na barem jednu ravninu projekcije, odnosno paralelne su s barem jednom osi. One će se stoga, barem u jednoj projekciji, projicirati u pravac - svoj trag za tu projekciju.

Na donjim slikama dan je pregled projicirajućih ravnina, položaja njihovih tragova, a istaknuta su područja na koja se projiciraju one točke ravnine koje leže u prvom oktantu.

Ravnine kroz ishodište \(\small O\) koordinatnog sustava

Postoje slučajevi kada nam trojka brojeva \(\small (\xi,\eta,\zeta)\) ne daje dovoljno podataka o ravnini da bismo mogli odrediti njezine tragove.

Primjerice, \(\small\mathrm P (0,0,0)\) znači samo to da ravnina \(\small\mathrm P \) prolazi ishodištem, a \(\small\mathrm P (\infty,0,0)\), \(\small\mathrm P(0,\infty,0)\) ili \(\small\mathrm P (0,0,\infty)\) znači da ravnina sadrži redom os \(\small x\), \(\small y\) ili \(\small z\).

U tim će slučajevima za konstrukciju tragova (ako nam ne odgovara promijeniti položaj ishodišta), morati biti zadan još neki podatak o ravnini.

• U slučaju \(\small\mathrm P (0,0,0)\) poznata nam je samo jedna točka ravnine. Stoga je za određivanje te ravnine potrebno zadati još dvije točke ili jedan pravac te ravnine koji nisu incidentni s ishodištem. Na pitanje kako se u tom slučaju konstruiraju tragovi ravnine moći ćemo uskoro odgovoriti, vidi zadatak 3.

• U slučajevima kad ravnina sadrži neku os sustava, ta se os podudara s njezina dva traga. Za projekciju u kojoj trag nije moguće odrediti ta je ravnina projicirajuća. Stoga je dovoljno zadati još samo jednu točku izvan osi koja leži u ravnini pa će projekcija te točke odrediti i traženi trag. Primjeri su ravnina simetrije i ravnina koincidencije čiji su tragovi, na slikama 143 i 144, iscrtani prema njihovoj vidljivosti u I. oktantu.

Pravac u ravnini

Prvo i drugo probodište nekog pravca su točke koje leže u ravninama \(\small \Pi_1\) i \(\small \Pi_2\). Stoga pravac leži u ravnini ako i samo ako je njegovo prvo probodište na prvom, a drugo na drugom tragu ravnine. Tada svakako i treće probodište leži na trećem tragu ravnine. Vidi slike 145 i 146.

\(\small p\subset\mathrm P \Longleftrightarrow P_1\in r_1 \,\,\land\,\, P_2\in r_2\)

Točka u ravnini

Točka leži u ravnini ako i samo ako leži na nekom pravcu te ravnine. Vidi slike 147 i 148.

\(\small T\in\mathrm P \Longleftrightarrow \exists p\subset\mathrm P\,\,\land\,\,T\in p\)

Zadatak 3: Konstruirajte 1. i 2. trag ravnine \(\small\mathrm P\) koja prolazi točkama \(\small A(-3,1,4)\), \(\small B(3,3,1)\) i ishodištem. RJEŠENJE (Prezentacija 4)

Određivanje tragova ravnine

Sada vrlo jednostavno možemo konstruirati tragove ravnine ukoliko je ona zadana s dva pravca (koji su paralelni ili ukršteni), pravcem i točkom koja na njemu ne leži ili s tri nekolinearne točke:

• Ravnina je određena s paralelnim pravcima \(\small p\) i \(\small q\).
  Princip konstrukcije tragova tako zadane ravnine dan je na prezentaciji 5. Riječima opišite taj princip.
• Ravnina je određena s ukrštenim pravcima \(\small p\) i \(\small q\).
  Princip konstrukcije tragova tako zadane ravnine dan je na prezentaciji 6.

• Slučajevi kada je ravnina određena s pravcem \(\small p\) i točkom \(\small P\notin p\), ili s tri nekolinearne točke \(\small A\), \(\small B\) i \(\small C\), vrlo se jednostavno svode na jedan od prethodna dva slučaja

Na slikama 149 i 150 prikazano je njihovo svođenje na slučaj paralelnih pravaca.

Dvije ravnine

Ravnine \(\small\mathrm P\) i \(\small \Sigma\) mogu biti ili paralelne ili se sjeći duž presječnice \(\small p\).

• Ako su ravnine \(\small\mathrm P\) i \(\small \Sigma\) paralelne, tada su paralelni i njihovi odgovarajući tragovi, odnosno

  \(\small\mathrm P\parallel\Sigma\Longrightarrow r_1\parallel s_1\,\,\land\,\,r_2\parallel s_2\).

• Ako se ravnine \(\small\mathrm P\) i \(\small \Sigma\) sijeku, tada su probodišta njihove presječnice sjecišta odgovarajućih tragova tih ravnina, odnosno

  \(\small\mathrm P\cap\Sigma=P_1P_2\), gdje je \(\small P_1=r_1\cap s_1\) i \(\small P_2=r_2\cap s_2\).

Zadatak 4: Zadane su projekcije pravca \(\small a\). Konstruirajte tragove nekoliko ravnina koje pripadaju pramenu ravnina \(\small (a)\).RJEŠENJE (Prezentacija 7)

Posebni pravci ravnine

Posebni su pravci ravnine sutražnice i priklonice.

• Sutražnice su pravci ravnine paralelni s ravninama projekcije.

Dijelimo ih u skupine, ovisno o tome s kojom su od ravnina projekcije paralelni:

• Pravac \(\small a\) je sutražnica 1. skupine ravnine \(\small\mathrm P\) ako je \(\small a\subset\mathrm P\,\land \,a\parallel \Pi_1\). Vidi slike 153 i 154.
• Pravac \(\small b\) je sutražnica 2. skupine ravnine \(\small\mathrm P\) ako je \(\small b\subset\mathrm P\,\land \,b\parallel \Pi_2\). Vidi slike 155 i 156.
• Pravac \(\small c\) je sutražnica 3. skupine ravnine \(\small\mathrm P\) ako je \(\small c\subset\mathrm P\,\land \,c\parallel \Pi_3\). Vidi slike 157 i 158.

Zadatak 5: Zadan je tlocrt točke \(\small T(7,1,-)\). Pomoću sutražnice konstruirajte njezin nacrt ako \(\small T\) leži u ravnini
a) \(\small\mathrm P(3,-2,-3)\)
b) \(\small\Delta (3,-2,4)\).

RJEŠENJE 5a - pomoću sutražnice 1. skupine (Prezentacja 8)

RJEŠENJE 5a - pomoću sutražnice 2. skupine (Prezentacija 9)

RJEŠENJE 5b - pomoću sutražnice 1. skupine (Prezentacija 10)

Zadatak 6: Zadane su točka \(\small T(2,2,3)\) i ravnina \(\small\Sigma (7,4,3)\), \(\small T\notin\Sigma\). Konstruirajte tragove ravnine \(\small\Lambda\) koja prolazi točkom \(\small T\), a parelelna je s ravninom \(\small\Sigma \).

RJEŠENJE (Prezentacija 11)

• Priklonice su pravci ravnine okomiti na njezine tragove.

I te pravce dijelimo u tri skupine, ovisno o tome na koji su trag okomiti:

• Pravac \(\small a\) je priklonica 1. skupine ravnine \(\small\mathrm P\) ako je on pravac u toj ravnini za koji vrijedi \(\small a\perp r_1\).
  Tlocrt takvog pravca okomit je na prvi trag ravnine, odnosno \(\small a'\perp r_1\).
• Pravac \(\small b\) jepriklonica 2. skupine ravnine \(\small\mathrm P\) ako je on pravac u toj ravnini za koji vrijedi \(\small b\perp r_2\).
  Nacrt takvog pravca okomit je na drugi trag ravnine, odnosno \(\small b''\perp r_2\).
• Pravac \(\small c\) je priklonica 3. skupine ravnine \(\small\mathrm P\) ako je on pravac u toj ravnini za koji vrijedi \(\small c\perp r_3\).
  Bokocrt takvog pravca okomit je na treći trag ravnine, odnosno \(\small c'''\perp r_3\).

Na slikama 159 i 160 prikazan je pravac \(\small p\) koji je priklonica 1. skupine ravnine \(\small\mathrm P\).

Prikloni kut ravnine

Prikloni kut ravnine je kut što ga ravnina zatvara s ravninom projekcije.

Ovisno o tome prema kojoj od ravnina projekcije mjerimo kut dane ravnine \(\small\mathrm P\), govorimo o njezinu 1., 2. ili 3. priklonom kutu koji redom označavamo \(\small \omega_1\), \(\small \omega_2\) ili \(\small \omega_3\).

Prema definiciji kuta između dviju ravnina jasno je da vrijedi sljedeće:

• \(\small\omega_1=\angle (a,a')\) , gdje je \(\small a\) bilo koja priklonica 1. skupine ravnine \(\small\mathrm P\)
• \(\small\omega_2=\angle (b,b'')\) , gdje je \(\small b\) bilo koja priklonica 2. skupine ravnine \(\small\mathrm P\)
• \(\small\omega_3=\angle (c,c''')\) , gdje je \(\small c\) bilo koja priklonica 3. skupine ravnine \(\small\mathrm P\)

Na slici 161 prikazan je prvi prikloni kut ravnine \(\small\mathrm P\) kao kut između jedne njezine priklonice 1. skupine i njezinog tlocrta. Na slici 162 prikazana je konstrukcija s kojom se u Mongeovom projiciranju određuje prava veličina tog kuta.