Probodište pravca i ravnine u općem položaju

U prethodnom smo poglavlju ustanovili da se u Mongeovom projiciranju položaj neke točke \(\small T\) u nekoj ravnini \(\small\mathrm P\) određuje pomoću bilo kojeg pravca te ravnine koji prolazi točkom \(\small T\). Stoga ćemo pri konstrukciji probodišta \(\small P\) nekog pravca \(\small p\) s nekom ravninom \(\small\mathrm P\) (kad pravac ne leži u ravnini i nije s njom paralelan, a ravnina je u općem položaju prema ravninama projekcije) postupati tako da prvo odredimo takav pravac ravnine \(\small\mathrm P\) za koji znamo da se s pravcem \(\small p\) siječe upravo u njegovu probodištu s ravninom \(\small\mathrm P\). Ta se konstrukcija svodi na provođenje sljedećeg postupka:

  1. Pravcem \(\small p\) postavljamo bilo koju ravninu \(\small \Sigma\)
  2. Određujemo presječnicu \(\small f\) ravnina \(\small \mathrm P\) i \(\small \Sigma\)
  3. Točka \(\small P\), sjecište pravaca \(\small p\) i \(\small f\), je traženo probodište

Na prezentaciji 12 prikazana je vizualizacija tog prostornog postupka.

Prezentacija 12

  1. \(\small \Sigma,\,\,p\subset\Sigma\)
  2. \(\small f=\mathrm p\cap\Sigma\)
  3. \(\small P=p\cap f=p\cap\mathrm P\)

Kako se taj postupak provodi u Mongeovom projiciranju proučite preko sljedećih poveznica:

  1. Probodište pravca i ravnine pomoću opće ravnine postavljene pravcem (Prezentacija 13)
  2. Probodište pravca i ravnine pomoću projicirajuće ravnine postavljene pravcem (Prezentacija 14)

Usporedimo li slike 163 i 164 (završne slike prezentacija 13 i 14), jasno je zašto ćemo u provođenju postupka za konstrukciju probodišta pravca i ravnine pravcem postavljati uglavnom neku od projicirajućih ravnina.

Slika 163: Pomoćna ravnina \(\small\Sigma\) je u općem položaju
Slika 164: Pomoćna ravnina \(\small\mathrm E\) je projicirajuća

Zadatak 1: Konstruirajte tlocrt i nacrt probodišta pravca \(\small p=AB[A(0,5,3),B(6,-1,-1)]\) s ravninom \(\small \mathrm P(\infty,3,2)\). Kao pomoćnu ravninu, pravcem \(\small p\) položite 2. projicirajuću ravninu \(\small \mathrm E\). U obje projekcije naznačite vidljivost pravca \(\small p\) u odnosu na ravninu \(\small \mathrm P\). RJEŠENJE (Prezentacija 15)

Zadatak 2: Konstruirajte tlocrt i nacrt probodišta pravca \(\small a=A_1A_2[A_1(5,3,0),A_2(-1,0,4)]\) s ravninom \(\small \Delta (3,2,-3)\). Kao pomoćnu ravninu, pravcem \(\small a\) položite 1. projicirajuću ravninu \(\small \mathrm E\). U obje projekcije naznačite vidljivost pravca \(\small a\) u odnosu na ravninu \(\small \Delta\). RJEŠENJE (Prezentacija 16)

Probodište pravca s projicirajućom ravninom

Gore navedene postupke nećemo trebati primjenjivati u slučajevima kada je ravnina s kojom tražimo probodište projicirajuća. Naime, tada će se u jednoj projekciji (u onoj za koju je ta ravnina projicirajuća) cijela ravnina projicirati u svoj trag, pa će se i probodište nekog pravca \(\small p\) s tom ravninom u toj projekciji projicirati na taj trag ravnine.

Vidi slike 165 i 166.

Slika 165: Konstrukcija probodišta pravca \(\small p\) i 1. projicirajuće ravnine \(\small \Sigma\)
Slika 166: Konstrukcija probodišta pravca \(\small p\) i 2. projicirajuće ravnine \(\small \Sigma\)