Pojam slučajne varijable generalizira se za dvije i n varijabli. U ovom poglavlju posebno će se obraditi diskretni dvodimenzionali slučajni vektor. Pojam n-dim slučajnog vektora važan je za definiciju slučajnog uzorka.
Definicija 9.1 (n-dim SLUČAJNI VEKTOR, engl. random vector)
Neka su su X1 : Ω → ℝ, X2 : Ω → ℝ ,..., Xn : Ω → ℝ slučajne varijable
definirane na vjerojatnosnom prostoru (Ω,
,P). Funkciju (X1,X2,...,Xn) : Ω →
ℝn zovemo n-dim slučajni vektor ako vrijedi ∀x1,x2,...,xn ∈ ℝ,
i označavamo (X1,X2,...,Xn)(ω) = (X1(ω),X2(ω),...,Xn(ω)), ω ∈ Ω.
Definicija 9.2 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE n-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. distribution function of random vector)
Neka je (X1,X2,...,Xn) : Ω → ℝn n-dim diskretni slučajni vektor. Funkciju F : ℝn → ℝ definiranu na sljedeći način:
 |
zovemo funkcija distribucije diskretnog n-dim slučajnog vektora (X1,X2,..,Xn).
MOTIV 9.1
Promatramo slučajni pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj 1 ako su pali jednaki brojevi, inače 0. (a) Nadite funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora (X,Y ). (b)Izračunajte vjerojatnost da je zbroj brojeva koji su pali veći od 3 a manji ili jednak 6 i da su pali isti brojevi? (c) Jesu li X i Y nezavisne varijable? (d) Izračunajte kovarijancu. (e) Jesu li X i Y korelirane varijable?
Definicija 9.3 DISKRETNI n-dim SLUČAJNI VEKTOR
Ako su slučajne varijable X1, X2,...,Xn diskretne slučajne varijable, onda za slučajni vektor (X1,X2,...,Xn) kažemo da je diskretni n-dim slučajni vektor.
Definicija 9.4 (FUNKCIJA VJEROJATNOSTI n-dim SLUČAJNOG
VEKTORA, engl. probability function of random vector)
Neka je (X1,X2,...,Xn) : Ω → ℝn n-dim diskretni slučajni vektor. Funkciju f : ℝn → ℝ definiranu na sljedeći način:
 |
zovemo funkcija vjerojatnosti diskretnog n-dim slučajnog vektora (X1,X2,...,Xn).
Definicija 9.5 DISKRETNI 2-dim SLUČAJNI VEKTOR
Ako su slučajne varijable X i Y diskretne slučajne varijable, onda za slučajni vektor (X,Y ) kažemo da je diskretni dvodimenzionalni slučajni vektor.
Definicija 9.6 (FUNKCIJA VJEROJATNOSTI diskretnog 2-dim SLUČAJNOG
VEKTORA)
Neka su X : Ω → ℝ , Y : Ω → ℝ diskretne slučajne varijable sa slikama
(X) = {x1,x2,...}, (Y ) = {y1,y2,...} Funkciju f : ℝ2 → ℝ definiranu na
sljedeći način:
 |
zovemo funkcija vjerojatnosti diskretnog 2-dim slučajnog vektora (X,Y ).
T: SVOJSTVA funkcije vjerojatnosti slučajne varijable X.
(i) 0 ≤ f(xi,yj) ≤ 1,
(ii) ∑
i=1∞∑
j=1∞f(xi,yj) = 1.
Dokaz: tko želi znati više
(i) Za (xi,yj) ∈ ℝ2, P(X = xi,Y = yj) = P({ω : X(ω) = xi,Y (ω) = yj})
⇒ 0 ≤ f(xi,yi) ≤ 1.
(ii) Za (xi,yj)≠(xk,yl) ⇒
{ω : X(ω) = xi,Y (ω) = yj}⋂
{ω : X(ω) = xk,Y (ω) = yl} = ∅,
svojstvo (ii) slijedi prema svojstvu (P3), prebrojive aditivnosti funkcije P:
NAPOMENA 9.1 Diskretni 2-dim slučajni vektor je zadan sa svojom slikom
((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...} i funkcijom vjerojatnosti f slučajne
varijable, vrijednostima {f(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...}.
U literaturi se zato može naći zapis slučajnog vektora (X,Y ) kao uredene sheme:
gdje su pij = f(xi,yj), i,j ∈{1,2,...}.
PRIMJER 9.1 Neka je (Ω,
(Ω),P) diskretni vjerojatnosni prostor slučajnog
pokusa bacanje igraće kocke. Ω = {ω1,ω2,ω3,...,ω6}, P({ωi}) = 
, i = 1,..,6.
Neka je X : Ω → ℝ slučajna varijabla definirana na sljedeći način: X = broj koji
je pao.
Neka je Y : Ω → ℝ slučajna varijabla definirana na sljedeći način: Y = 1 ako je
pao paran broj veći od 3, inače 0.
X je slučajna varijabla. Slika slučajne varijable je skup (X) = {1,2,3,4,5,6}.
Y je slučajna varijabla. Slika slučajne varijable je skup (Y ) = {0,1}.
Naći funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora (X,Y ).
Rješenje: Funkcija vjerojatnosti slučajne varijable X je f : ℝ2 → ℝ
Slučajni vektor (X,Y) možemo za zadati s
PRIMJER 9.2 Neka je (X,Y) slučajni vektor za slučajni pokus izbora dva broja iz {1,2,3}, pri čemu je X= prvi izabrani broj, Y= izabrani broj nije manji od prvog. Naći funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora.
Rješenje:
Definicija 9.7 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE DISKRETNOG 2-dim
SLUČAJNOG VEKTORA)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa slikom
((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...}. Funkciju F : ℝ2 → ℝ definiranu na sljedeći
način:
 |
zovemo funkcija distribucije diskretnog 2-dim slučajnog vektora (X,Y ).
T: SVOJSTVA funkcije distribucije diskretnog 2-dim slučajnog vektora:
(F1) limx→-∞,y→-∞F(x,y) = F(-∞,-∞) = 0
limx→-∞F(x,y) = F(-∞,y) = 0
limy→-∞F(x,y) = F(x,-∞) = 0
(F2) limx→∞,y→∞F(x,y) = F(∞,∞) = 1
(F3) 0 ≤ F(x,y) ≤ 1
(F4)
 |
a1,b1,a2,b2 ∈ ℝ, a1 < b1, a2 < b2.
(F6) F je rastuća funkcija po svakoj varijabli.
Dokaz: tko želi znati više
(F1) Kako je dogadaj X ≤-∞,Y ≤-∞ nemoguć dogadaj
 |
(F3) tvrdnja slijedi iz svojstava (F1) i (F2).
(F4) Neka su a,b ∈ ℝ,a1 < b1,a2 < b2. Računamo
(F6) Neka su a1,b1 ∈ ℝ,a1 < b1.
Iz svojstva (F5) slijedi da je F(a1,y) ≤ F(b1,y), funkcija je rastuća po prvoj varijabli.
PRIMJER 9.3 Za slučajni vektor (X,Y ) iz primjera zadan s
odredite vrijednost funkcije distribucije F(1,0), F(1,1),F(2,0),F(2,1),F(4,0). Izračunajte vjerojatnost P(1 < X ≤ 2,0 < Y ≤ 1) i P(1 < X ≤ 4,Y ≤ 0).
Rješenje:
 |
F(1,0) = f(1,0) = p11 = 
,
F(1,1) = f(1,0) + f(1,1) = p11 + p12 = 
,
F(2,0) = f(1,0) + f(2,0) = p11 + p21 = 
,
F(2,1) = f(1,0) + f(1,1) + f(2,0) + f(2,1) = p11 + p12 + p21 + p22 = 
,
F(4,0) = f(1,0) + f(2,0) + f(3,0) + f(4,0) = p11 + p21 + p31 + p41 = 
.
Koristimo formule
ili
P(1 < X ≤ 2,0 < Y ≤ 1) = P(∅) = 0,
P(1 < X ≤ 4,Y ≤ 0) = P({ω2}) + P({ω3}) = 
+ 
= 
.
PRIMJER 9.4 Bacimo istovremeno dva novčića od 1 kune i od 5 kuna. Neka su X i Y slučajne varijable definirane:
X=1 ako je pao slavuj, inače 0
Y= 1 ako je pao medo, inače 0.
Promatramo slučajni vektor (X,Y). Napišite funkciju vjerojatnosti slučajnog
vektora. Odredite F(1,1), P(0 < X ≤ 1,0 < Y ≤ 1) i P(0 < X ≤ 1,Y ≤ 0).
Rješenje: (X) = {0,1}, (Y ) = {0,1}.((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,2;j = 1,2} = {(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}.
 |
(X,Y ) ~
, f(0,0) = f(1,0) = f(0,1) = f(1,1) = 
.
 |
F(0,0) = f(0,0) = p11 = 
F(0,1) = f(0,0) + f(0,1) = p11 + p12 = 
+ 
= 
.
F(1,0) = f(0,0) + f(1,0) = p11 + p21 = 
+ 
= 
F(1,1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) + f(1,1) = p11 + p12 + p21 + p22 = 1
Koristimo formule
ili
P(0 < X ≤ 1,0 < Y ≤ 1) = P({(s,m)}) = 
⋅
= 
,
P(0 < X ≤ 1,Y ≤ 0) = P({s,5}}) = 
⋅
= 
.
PRIMJER 9.5 motiv
Promatramo slučajni pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj 1 ako su pali jednaki brojevi, inače 0. (a) Nadite funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora (X,Y ). (b) Izračunajte vjerojatnost da je zbroj brojeva koji su pali veći od 3 a manji ili jednak 6 i da su pali isti brojevi?
Rješenje: (a) (X,Y ) ~
(b) P(3 < X ≤ 6,Y = 1) = f(4,1) + f(5,1) + f(6,1) = 
+ 0 + 
= 
.
Definicija 9.8 (MARGINALNA FUNKCIJA VJEROJATNOSTI
komponenata 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. marginal distribution)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa slikom
((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...} i funkcijom vjerojatnosti
f : ℝ2 → [0,1]
 |
Funkciju f1(x) = f(X = x,Y = proizvoljno) = ∑
jf(x,yj), zovemo
marginalna funkcija vjerojatnosti komponente X slučajnog vektora (X,Y ).
Funkciju f2(y) = f(X = proizvoljno,Y = y) = ∑
if(xi,y) zovemo
marginalna funkcija vjerojatnosti komponente Y slučajnog vektora (X,Y ).
PRIMJER 9.6 U prethodnim primjerima slučajnih vektora odredite marginalne funkcije vjerojatnosti komponenti X i Y slučajnog vektora (X,Y ).
Rješenje:
(a) 
, X ~
, Y ~
(b) 
(c) 
(d) 
Definicija 9.9 (MARGINALNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE
VJEROJATNOSTI komponenata 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. marginal
distribution)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa slikom ((X,Y )) =
{(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...} i funkcijom distribucije vjerojatnosti F : ℝ2 → [0,1]
Funkciju F1(x) := F(x,∞) = P(X ≤ x,-∞ < Y ≤∞) = ∑
u≤xf1(u), zovemo
marginalna funkcija distribucije vjerojatnosti komponente X slučajnog
vektora (X,Y ).
Funkciju F2(y) := F(∞,y) = P(-∞ < X ≤∞,Y ≤ y) = ∑
u≤yf2(u) zovemo
marginalna funkcija distribucije vjerojatnosti komponente Y slučajnog
vektora (X,Y ).
Definicija 9.10 (NEZAVISNE SLUČAJNE VARIJABLE 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. independent variables)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 2-dim slučajni vektor sa funkcijom distribucije vjerojatnosti F(x,y). Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nezavisne ako je za svaki (x,y)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa funkcijom vjerojatnosti f(x,y). Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nezavisne ako je za svaki (x,y)
Inače su X i Y zavisne.
PRIMJER 9.7 U primjerima provjeri jesu li slučajne varijable u slučajnim vektorima (X,Y) nezavisne.
Rješenje:
(a) nisu jer je npr. f(4,1)≠f1(4) ⋅ f2(1), f(4,1) = 
, f1(4) = 
, f2(1) = 
;
(b) nisu jer je npr. f(1,1)≠f1(1) ⋅ f2(1), f(1,1) = 
, f1(4) = 
, f2(1) = 
;
(c) jesu jer je f(xi,yj) = f1(xi) ⋅ f2(yj), i,j = 1,2;
(d) nisu jer je npr. f(6,1)≠f1(6) ⋅ f2(1), f(6,1) = 
, f1(6) = 
,
f2(1) = 
.
Definicija 9.11 (OČEKIVANJE 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 2-dim slučajni vektor i neka komponente X i Y su slučajne varijable koje imaju očekivnje E(X) i E(Y) onda se matematičko očekivanje slučajnog vektora definira s
Definicija 9.12 (OČEKIVANJE funkcije DISKRETNOG 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa slikom
((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,.;j = 1,...} i funkcijom vjerojatnosti
f : ℝ2 → [0,1]
 |
Neka je zadana funkcija h : R2 → R. Kažemo da je slučajna varijabla h(X,Y ) funkcija od slučajnog vektora (X,Y) i za nju definiramo očekivanje ako red ∑ i=1∞∑ j=1∞h(x i,yj)f(xi,yj) konvergira i označavamo
PRIMJER 9.8 E(X ⋅ Y ) = ∑ i=1∞∑ j=1∞x i ⋅ yjf(xi,yj) za h(x,y) = x ⋅ y.
PRIMJER 9.9 Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je
 |
jer
PRIMJER 9.10 Ako je (X1,X2,...,Xn) n-dim slučajni vektor i sve varijable nezavisne onda
PRIMJER 9.11 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) za h(x,y) = x + y.
PRIMJER 9.12 Ako je (X1,X2,...,Xn) n-dim slučajni vektor onda
PRIMJER 9.13 Neka je (X,Y ) diskretni 2-dim slučajni vektor takav da Y ne
poprima vrijednost 0. Odredi E(sin
).
Rješenje: h(x,y) = sin
tko želi znati više
MOTIV 9.2 Mladić i djevojka su dogovorili sastanak na trgu u 12 sati. Čekat će se najdulje 20 minuta nakon dolaska. Kolika je vjerojatnost da se susretnu ako su oboje došli na trg od 12 do 13 sati?
Definicija 9.13 KONTINUIRANI 2-dim SLUČAJNI VEKTOR
Ako su slučajne varijable X i Y kontinuirane slučajne varijable, onda za slučajni vektor (X,Y ) kažemo da je kontinuirani dvodimenzionalni slučajni vektor.
Definicija 9.14 (FUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI
kontinuiranog 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA)
Neka su X : Ω → ℝ , Y : Ω → ℝ kontinuirane slučajne varijable sa slikama
(X) i (Y ). Funkciju f : ℝ2 → ℝ definiranu na sljedeći način:
(i) 0 ≤ f(x,y)
(ii) ∫
-∞∞∫
-∞∞f(x,y)dxdy = 1.
zovemo funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuiranog 2-dim slučajnog vektora (X,Y ).
Definicija 9.15 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE
kontinuiranog 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 kontinuirani 2-dim slučajni vektor sa slikom ((X,Y )).
Funkciju F : ℝ2 → ℝ definiranu na sljedeći način:
 |
zovemo funkcija distribucije kontinuiranog 2-dim slučajnog vektora (X,Y ).
NAPOMENA 9.2 Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 kontinuirani 2-dim slučajni vektor
sa slikom ((X,Y )) = [a,b] × [c,d].Tada vrijedi
NAPOMENA 9.3 Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 kontinuirani 2-dim slučajni vektor
sa slikom ((X,Y )). Neka je dogadaj A vezan uz slučajni pokus i vektor (X,Y ).
Ako označimo područje u xy ravnini koje odgovara dogadaju A sa DA onda
vjerojatnost dogadaja A (geometrijsku vjerojatnost) možemo računati pomoću
MOTIV 9.3 Mladić i djevojka su dogovorili sastanak na trgu u 12 sati. Čekat će se najdulje 20 minuta nakon dolaska. Kolika je vjerojatnost da se susretnu ako su oboje došli na trg od 12 do 13 sati?
Rješenje:
Neka su X i Y slučajne varijable koje predtavljaju vrijeme dolaska djevojke i mladića. Pretpostavit ćemo da jednaki vremenski intervali imaju jednaku vjerojatnost, pa su funkcije gustoće vjerojatnosti za obe varijable jednake:
 |
 |
Budući su slučajne varijable X i Y nezavisne možemo odrediti funkciju gustoće vjerojatnosti slučajnog vektora (X,Y ) :
 |
Računamo vjerojatnost dogadaja A = {(x,y) ∈ [0,60] × [0,60] : |x - y| < 20} :
P(A) = P(|X - Y | < 20) = ∫
∫
DAf(x,y)dxdy = 
.
(vidite PRIMJER 2.20 u 2. poglavlju.)
MOTIV 9.4
Promatramo slučajni pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj 1 ako su pali jednaki brojevi, inače 0. (c) Jesu li X i Y nezavisne varijable? (d) Izračunajte kovarijancu. (e) Jesu li X i Y korelirane varijable?
Definicija 9.16 (KOVARIJANCA SLUČAJNOG VEKTORA, engl.covariance of X and Y)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 2-dim slučajni vektor. Kovarijanca slučajnog vektora (X,Y ) je
 |
Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je μXY = 0.
PRIMJER 9.14 (a) V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2μXY
(b) Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je V ar(X + Y ) = V ar(X) +
V ar(Y ).
Dokaz: tko želi znati više
Ako je h(x,y) = x + y onda je Z = X + Y slučajna varijabla, funkcija slučajnog vektora (X,Y ).
Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je μXY = 0 pa tvrdnja slijedi iz (a).
Definicija 9.17 (KOEFICIJENT KORELACIJE, engl. correlation coefficient )
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 2-dim slučajni vektor Neka je μXY kovarijanca slučajnih varijabli X i Y, a σ1 i σ2 njihove standardne devijacije. Koeficijent korelacije komponenti X i Y slučajnog vektora je definiran s
 |
T: SVOJSTVA KOEFICIJENTA KORELACIJE ρXY :
(i) ρXY = ρY X,
(ii) -1 ≤ ρXY ≤ 1,
(iii) ρXY = 1 ako je Y = aX + b, a > 0, ρXY = -1 ako je Y = aX + b, a < 0,
(iv) ρUW = ρXY , ako je U = aX + b, W = cY + d, a,c≠0.
Dokaz: tko želi znati više
(ii) Za slučajnu varijablu U = σ2X - σ1Y , odredimo varijancu:
Budući je varijanca pozitivan broj zaključujemo da je μXY ≤ σ1σ2, ρXY ≤ 1.
Analogno, promatrajući slučajnu varijablu U = σ2X + σ1Y dobit ćemo nejednakost
μXY ≥-σ1σ2, ρXY ≥-1.
(iii)
Definicija 9.18 (NEKORELIRANE SLUČAJNE VARIJABLE)
Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 2-dim slučajni vektor Neka je μXY kovarijanca
slučajnih varijabli X i Y, a σ1 i σ2 njihove standardne devijacije.
Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nekorelirane ako je koeficijent korelacije
ρXY = 0.
Ako je ρXY ≠0 slučajne varijable su korelirane.
PRIMJER 9.15 (a) Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda su one
nekorelirane.
(b) Ako su X i Y nekorelirane slučajne varijable onda one ne moraju biti nezavisne.
Dokaz:
(a) X i Y nezavisne ⇒ μXY = 0 ⇒ ρXY = 0 ⇒ X i Y nekorelirane.
(b) X i Y nekorelirane ⇒ ρXY = 0 ali ne moraju biti X i Y nezavisne (mogu se naći
primjeri).
NAPOMENA 9.4 Neka je zadan slučajni vektor (X,Y ) s funkcijom vjerojatnosti f(x,y), ili funkcija gustoće vjerojatnosti. Tražimo funkcijsku vezu izmedu slučajnih varijabli X i Y npr. Y = g(X) tako da E((Y - g(X)2)) → min. Tada se krivulja dana jednadžbom y = g(x) zove regresijska krivulja od Y po X (u smislu najmanjih kvadrata) i odreduje se kao
Koeficijent a = ρXY ⋅
= 
je koeficijent regresije Y po X.
PRIMJER 9.16 Neka je (X,Y ) : Ω → ℝ2 2-dim slučajni vektor. Neka je μXY
kovarijanca slučajnih varijabli X i Y, ρXY koeficijent korelacije, σ1 i σ2 njihove
standardne devijacije, a μ1,μ2 njihova očekivanja. Pretostavimo da su X i Y
zavisne slučajne varijable takve da je Y = aX+b. Parametre a i b možemo odrediti
metodom najmanjih kvadrata tako da E((Y -(aX+b))2) ima minimalnu vrijednost.
a = ρXY ⋅
= 
je koeficijent regresije Y po X.
b = μ2 - ρXY ⋅
μ1 = μ2 -
⋅ μ1.
y - μ2 = 
(x - μ1),
y - μ2 = ρXY ⋅
(x - μ1) je pravac regresije Y po X.
Analogno, ako je X=aY+b
a = ρXY ⋅
= 
je koeficijent regresije X po Y
x - μ1 = 
(Y - μ2),
x - μ1 = ρXY ⋅
(y - μ2) je pravac regresije X po Y.
Dokaz: tko želi znati više
(metoda najmanjih kvadrata)
Označimo
K(a,b) je funkcija od 2 varijable i tražimo njen ekstrem. Nužni uvjeti su
Rješavanjem ovog sustava od 2 jed. s 2 nepoznanice dobit ćemo
NAPOMENA 9.5
Pravci regresije sijeku se u točki (μ1,μ2) koja se zove centar zajedničke
distribucije X i Y.
Kut izmedu pravaca regresije tgφ = 
⋅
.
Ako je ρXY = 1 ili -1 pravci regresije se poklapaju i tada postoji potpuna linearna
zavisnost izmedu X i Y.
Ako je ρXY = 0 onda su pravci regresije y = μ2, x = μ1 okpmiti, a ne postoji
linearna zavisnost slučajnih varijabli X i Y.
PRIMJER 9.17 Za primjer slučajnog vektora (X,Y ) nadite kovarijancu, koeficijent korelacije i pravce regresije.
μ1 = E(X) = ∑
xif1(xi) = 1 ⋅
+ 2 ⋅
+ 3 ⋅
= 
μ2 = E(Y ) = ∑
yjf2(yj) = 1 ⋅
+ 2 ⋅
+ 3 ⋅
= 
E(X2) = ∑
xi2f
1(xi) = 1 ⋅
+ 4 ⋅
+ 9 ⋅
= 
E(Y 2) = ∑
yj2f
2(yj) = 1 ⋅
+ 4 ⋅
+ 9 ⋅
= 
σ12 = V ar(X) = 
- (
)2 = 
σ22 = V ar(Y ) = 
- (
)2 = 
Kovarijanca je μXY = E(XY ) - E(X)E(Y ) = 
-
⋅
= 
.
Pravac regresije Y po X je y - μ2 = 
(x - μ1), y -
= 
(x -
),
y = 
x + 
.
Pravac regresije X po Y je x - μ1 = 
(y - μ2), x -
= 
(y -
),
x = 
y + 
, y = 
x -
.
Pravci se sijeku u točki (μ1,μ2) = (2,
).
tgφ = 
= 
; Kut izmedu pravaca regresije je φ = 28.20.
Koeficijent korelacije je ρXY = 
= 
= 0.59409.
PRIMJER 9.18 motiv
Promatramo slučajni pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj 1 ako su pali jednaki brojevi, inače 0. (c) Jesu li X i Y nezavisne varijable? (d) Izračunajte kovarijancu. (e) Jesu li X i Y korelirane varijable?
Rješenje: (c) 
Varijable nisu nezavisne jer je npr. f(6,1)≠f1(6) ⋅ f2(1),
f(6,1) = 
, f1(6) = 
,f2(1) = 
.
(d) E(X) = 7,E(Y ) = 
,E(XY ) = ∑
ixi ∑
jyjf(xi,yj) = 
Kovarijanca je μXY = E(XY ) - E(X) ⋅ E(Y ) = 0, pa je i koeficijnt korelacije jednak
ρXY = 0.
(e) Varijable su nekorelirane jer je koeficijnt korelacije jednak ρXY = 0.
DISKRETNI 2-dim SLUČAJNI VEKTOR
| diskretni 2-dim sl. vek. | (X,Y ) : Ω → ℝ2 |
| funkcija vjerojatnosti | f(xi,yj) = P(X = xi,Y = yj),(xi,yj) ∈((X,Y )) |
| funkcija distribucije vj. | F(x,y) = P(X ≤ x,Y ≤ y) |
| marginalne funkcije vj. | |
| po X | f1(x) = ∑ jf(x,yj) |
| po Y | f2(y) = ∑ if(xi,y) |
| nezavisne sl. var. | f(xi,yj) = f1(xi) ⋅ f2(yj), za sve (xi,yj) ∈((X,Y )) |
| funkcija 2-dim sl. vek. | Z = h((X,Y )),h : ℝ2 → ℝ |
| očekivanje od Z = h((X,Y )) | E(Z) = ∑ i ∑ jh(xi,yj)f(xi,yj) |
| E(X ⋅ Y ) = ∑ i ∑ jxi ⋅ yj ⋅ f(xi,yj) | |
| E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) | |
| ako su X i Y nezavisna | E(X ⋅ Y ) = E(X) ⋅ E(Y ) |
| kovarijanca od (X,Y ) | μXY = E(XY ) - E(X) ⋅ E(Y ) |
| V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2μXY | |
| koef. korelacije od (X,Y ) | ρXY =  |
| nekorelirane sl. var. | ρXY = 0 |
| pravac regresije Y po X | y - μ2 =  (x - μ1) |
