MOTIV 3.1

Vjerojatnost da jedna vrsta gume ima rok trajanja veći od 10000 km je 0.95. Kolika je vjerojatnost da će na autu
(a) sve gume trajati duže od 10000 km?
(b) barem jedna guma puknuti prije predenih 10000 km?

MOTIV 3.2

(a) Tri bagerista su slučajno uzimali ključeve svojih strojeva iz kutije. Kolika je vjerojatnost da je bar jedan izabrao ključeve svog vozila?

tko želi znati više

(b)Ako je bilo n bagerista kolika je vjerojatnost da je bar jedan sjeo u svoj bager?

Definicija 3.1 (SKUP SVIH MOGUĆIH DOGAĐAJA SLUČAJNOG POKUSA)

Neka je Ω prostor elementarnih dogadaja. Partitivni skup ili skup svih podskupova od Ω, (Ω) zovemo skup svih mogućih dogadaja slučajnog pokusa.
Podskup ⊂(Ω) zovemo familija dogadaja iz Ω.

Definicija 3.2 (SIGMA ALGEBRA DOGAĐAJA)

Neka familija dogadaja ⊂(Ω) ima svojstva:

(i) ∅∈

(ii) A ⊂⇒A^c ⊂

(iii) Ako je A_i ∈,i ∈ ℕ ⇒⋃ _i=1^∞A_i ∈
Takvu familiju skupova zovemo sigma algebra dogadaja (σ-algebra).
Ako je Ω konačan skup onda je i svaka σ-algebra ⊂(Ω) konačna i naziva se algebra dogadaja.

PRIMJER 3.1

Familija skupova ₀ = {∅,Ω} je σ-algebra (minimalna).
Familija skupova = (Ω) je σ-algebra (maksimalna).

Definicija 3.3 (AKSIOMATSKA DEFINICIJA VJEROJATNOSTI)

Neka je Ω prostor elementarnih dogadaja slučajnog pokusa. neka je σ-algebra skupova na Ω . Funkcija P:→ ℝ zove se vjerojatnost  na ako vrijedi:
(P1) P(A) ≥ 0,A ⊂ (svojstvo nenegativnosti);
(P2) P(Ω) = 1 (svojstvo normiranosti);
(P3) A_i ∈,i ∈ ℕ,A_i ∩ A_j = ∅,i≠j ⇒ P(⋃ _i=1^∞A_i) = ∑ _i=1^∞P(A_i)  (svojstvo prebrojive aditivnosti).

Definicija 3.4 (VJEROJATNOSNI PROSTOR)

Uredena trojka (Ω,,P) gdje je σ-algebra na Ω, a P vjerojatnost na , zove se vjerojatnosni prostor.
Ako je Ω prebrojiv ili konačan skup elementarnih dogadaja onda uredenu trojku (Ω,, P) zovemo diskretni vjerojatnosni prostor.
Ako je Ω konačan skup elementarnih dogadaja, |Ω| = n,onda uredenu trojku (Ω,(Ω),P) zovemo n dimenzionalni diskretni vjerojatnosni prostor.

Definicija 3.5 (DOGAĐAJ)

Neka je (Ω,,P) vjerojatnosni prostor. Elemente od zovemo dogadaji.

TEOREM 3.1 (svojstva funkcije P)

Neka je (Ω,,P) vjerojatnosni prostor. Tada za funkciju vjerojatnosti P vrijedi:
(a) P(∅) = 0;
(b) A_i ∈,i ∈{1,...,n},A_i ∩ A_j = ∅,i≠j ⇒ P(⋃ _i=1ⁿA_i) = ∑ _i=1ⁿP(A_i) 

(svojstvo konačne aditivnosti);
(c) A,B ∈, A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) (svojstvo monotonosti);
(d) A ∈⇒ P(A^c) = 1 - P(A);
(e) A,B ∈⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

(f) A_n ∈,n ∈ ℕ, A₁ ⊂ A₂ ⊂ ... ⊂ A_n,A_n = ⋃ _i=1ⁿA_i,

⇒ P(lim_n→∞A_n) = P(⋃ _i=1^∞A_i) = lim_n→∞P(A_n);

(svojstvo neprekidnost vjerojatnosti u odnosu na rastući niz);
(g) A_n ∈,n ∈ ℕ,A_n ⊂ A_n-1 ⊂ ... ⊂ A₁,A_n = ⋂ _i=1ⁿA_i

⇒ P(lim_n→∞A_n) = P(⋂ _i=1ⁿA_i) = lim_n→∞P(A_n),

(svojstvo neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na padajući niz);

NAPOMENA 3.1

Vjerojatnost je funkcija P : → [0,1].

NAPOMENA 3.2

Neka je Ω = {ω₁,ω₂,...,ω_n} konačan skup elementarnih dogadaja koji su svi jednako vjerojatni, a (Ω,(Ω),P) vjerojatnosni prostor. Prema svojstvu normiranosti i zahtjevu da je vjerojatnost svakog elementarnog dogadaja jednaka:

Neka je dogadaj A = {ω_i1,ω_i2,...,ω_ik}. Koristeći svojstvo konačne aditivnosti vjerojatnost dogadaja A ⊂ P(Ω) je onda jednaka

Uočimo da je P(A)= klasičnoj definiciji vjerojatnosti a priori.

PRIMJER 3.2

Bacamo dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da će pasti jednaki brojevi ili paran produkt?

PRIMJER 3.3 Pokažite da vrijedi A_i ∈ ,i ∈ {1,2,3},⇒ P(⋃ _i=1³A_i) = ∑ _i=1³P(A_i) - P(A₁ ∪ A₂) - P(A₁ ∩ A₃) - P(A₂ ∩ A₃) + P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) 

PRIMJER 3.4 motiv

(a) Tri bagerista su slučajno uzimali ključeve svojih strojeva iz kutije. Kolika je vjerojatnost da je bar jedan izabrao ključeve svog vozila?

tko želi znati više

(b)Ako je bilo n bagerista kolika je vjerojatnost da je bar jedan sjeo u svoj bager?

PRIMJER 3.5 motiv

Ako je vjerojatnost da jedne vrsta gume ima rok trajanja veći od 10000 km jednaka 0.95, kolika je vjerojatnost da će na autu
(a) sve gume trajati duže od 10000 km?
(b) barem jedna guma puknuti prije prdenih 10 000 km?