Linearnost

Opća jednadžba u primjerima koje smo promatrali, nakon uvrštenja drugog zakona ponašanja je

$$\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial u}{\partial x}\right) + f.$$ (2.6)

Funkciju $f$ zovemo slobodnim članom. Ako je $f=0,$ onda jednadžbu

$$\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$ (2.7)

zovemo homogenom, u protivnom je zovemo nehomogenom.

Ograničimo razmatranje na one primjere u kojima je prvi zakon ponašanja glasio

$$\varphi(u) = \rho\,\frac{\partial u}{\partial t} \hspace{1cm}\varphi(u) = \gamma\,u.$$ (2.8)

Interesira nas kakvu strukturu ima skup svih rješenja rubnog problema

$$% latex2html id marker 34136 \begin{cases}\frac{\textstyle{\... ...yle{\partial u(\ell,t)}}{\textstyle{\partial x}}=0. \end{cases}$$ (2.9)

U tu svrhu promatrajmo najprije rubni problem s homogenom jednadžbom, tj. slučaj kad je $f(x,t) = 0.$

Teorem 14   Neka su $u_1$ i $u_2$ dva rješenja rubnog problema (2.9) s pripadnom homogenom jednadžbom, i $\lambda_1$ i $\lambda_2$ proizvoljni brojevi. Tada je

$$\lambda_1\,u_1 + \lambda_2\,u_2$$

također rješenje istog rubnog problema (2.9).

Dokaz. U svrhu dokaza napišimo jednadžbu drukčije

$$\frac{\partial\varphi(u)}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial u}{\partial x}\right) = 0.$$

Bez obzira koji $\varphi$ iz (2.8) bio u jednadžbi, vrijedi

$$\varphi(\lambda_1\,u_1 + \lambda_2\,u_2) = \lambda_1\,\varphi(u_1) + \lambda_2\,\varphi(u_2).$$

Također

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial (\lambda_1\,u_... ..._2\,\frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial u_2}{\partial x}\right).$$

Prema tome

$$\frac{\partial\varphi(\lambda_1\,u_1 + \lambda_2\,u_2)}{\partial ... ...x}\left(p\,\frac{\partial (\lambda_1\,u_1 + \lambda_2\,u_2)}{\partial x}\right)$$

$$= \lambda_1\,\frac{\partial\varphi (u_1)}{\partial t} + \lambda_2... ...a_2\,\frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial u_2}{\partial x}\right)$$

$$= \lambda_1\,\left[\frac{\partial\varphi (u_1)}{\partial t} - \fr... ...partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial u_2}{\partial x}\right)\right] = 0.$$

Dakle, $w=\lambda_1u_1 + \lambda_2u_2$ rješava jednadžbu. Ta funkcija zadovoljava i rubne uvjete, jer je

$$w(0,t) = \lambda_1\,u_1(0,t) + \lambda_2\,u_2(0,t) = 0,$$

$$\frac{\textstyle{\partial w(\ell,t)}}{\textstyle{\partial x}} = ... ...lambda_2\,\frac{\textstyle{\partial u_2(\ell,t)}}{\textstyle{\partial x}} = 0.$$

$\heartsuit$

Iz ovog teorema slijedi da je skup svih rješenja homogene jednadžbe vektorski prostor (skup svih linearnih kombinacija linearno nezavisnih rješenja).

Za rješenja rubnog problema (2.9) s nehomogenom jednadžbom imamo sljedeće tvrdnje.

Teorem 15   Neka je $w$ rješenje rubnog problema (2.9) s nehomogenom jednadžbom, te $u$ rješenje rubnog problema (2.9) s homogenom jednadžbom. Tada je $u+w$ rješenje rubnog problema (2.9) s nehomogenom jednadžbom.

Dokaz. Koristeći svojstva funkcije $\varphi$ iz dokaza prethodnog teorema, možemo napisati

$$\frac{\partial\varphi(w+u)}{\partial t} - \frac{\partial}{\partia... ...t) - \frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial (u)}{\partial x}\right)$$

$$= \frac{\partial\varphi(w)}{\partial t} - \frac{\partial}{\partia... ...artial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial (u)}{\partial x}\right) = f + 0 = f.$$

Dakle $u+w$ rješava nehomogenu jednadžbu. Osim toga $u+w$ očito zadovoljava i rubne uvjete. $\heartsuit$

Teorem 16   Neka su $w_1$ i $w_2$ dva rješenja rubnog problema (2.9) s nehomogenom jednadžbom. Tada je $v=w_1-w_2$ rješenje rubnog problema (2.9) s homogenom jednadžbom.

Dokaz.

$$\frac{\partial\varphi(w_1-w_2)}{\partial t} - \frac{\partial}{\pa... ... + \frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial (w_2)}{\partial x}\right)$$

$$= \frac{\partial\varphi(w_1)}{\partial t} - \frac{\partial}{\part... ...partial x}\left(p\,\frac{\partial (w_2)}{\partial x}\right)\right] = f - f = 0.$$

Osim toga $w_1-w_2$ očito zadovoljava i rubne uvjete. $\heartsuit$

Na temelju ovih teorema imamo sljedeći zaključak.

Neka je $X_f$ skup svih rješenja rubnog problema (2.9) s nehomogenom jednadžbom. Neka je $X_0$ skup svih rješenja rubnog problema (2.9) s homogenom jednadžbom. Tada je

$$X_f = \{w + u;\;u \in X_0\},$$

gdje je $w$ jedno (partikularno) rješenje rubnog problema (2.9) s nehomogenom jednadžbom.