Filtracija kroz cijev

Cijev je ispunjena poroznom sredinom. Izvana nailazi određena masa fluida, u cijevi se također nalazi neki fluid, pa nas interesira kretanje fluida u takvim uvjetima kroz cijev. Ta pojava se zove filtracija. Kretanje je moguće zato jer je sredina porozna. Poroznost se mjeri omjerom volumena praznog prostora u poroznoj sredini i ukupnog volumena porozne sredine. Taj omjer označavamo s $\gamma,$ i zovemo ga poroznošću materijala. Filtracija koja nas zanima događa se obično duboko pod površinom zemlje (kretanje podzemnih voda, crpljenje nafte utiskivanjem vode pod pritiskom u jednoj bušotini da bi se na drugoj crpila), pa se proces može mjeriti tako da spustimo sondu u cijev i da mjerimo tlak u poprečnom presjeku cijevi. Tako imamo ova polja.

$u(x,t)$ - tlak u poprečnom presjeku cijevi u točki $x$ u čas $t,$

$\varphi(x,t)$ - masa fluida u cijevi po jedinici duljine, u točki $x,$ u čas $t,$

${\psi}(x,t)$ - masa fluida, koja se u jedinici vremena prenese s desna na lijevo kroz poprečni presjek u točki $x,$ u čas $t,$

${f}(x,t)$ - masa fluida po jedinici duljine, koja se u jedinici vremena izvana unese u cijev u točki $x,$ u čas $t.$

Budući da je ovdje u igri masa, i da vrijedi zakon o održanju mase, i u ovom slučaju vrijedi opća jednadžba

$$\frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x} + f(x,t).$$